Reja asosiy tushunchalar

b) Dalamber alomati. Agar n_N ning biror n₀ (n₀ 1) qiymatidan boshlab barcha n _ n₀ qiymatlari uchun

aan_n1 q 1 _ ^aan_n1 1_ 
 tengsizlik o’rinli bo’lsa, a_n qator yaqinlashuvchi ( uzoqlashuvchi)
n1
bo’ladi.

Berilgan a_n qator bilan birga yaqinlashuvchi
n1

qⁿ  q  q²  q³  qⁿ (0  q  1)
n1
geometrik qatorni qaraylik. Ushbu ^an1 _ q _1 tengsizlikni a_n aan_n1  q _ qqn_n1
ko’rinishda yozib, so’ngra taqqoslovchi 5—teoremani qo’llaymiz. Shu teore-
  maga ko’ra qⁿ qatorning yaqinlashuvchiligidan a_n qatorning yaqinla-
n1 n1
shuvchiligi kelib chiqadi. ^aaⁿn^1 _1 bo’lganda _n^1a_n qatorning uzoqlashuvchi
bo’lishi ravshan .
Dalamber alomatini ham limit ko’rinishida ifodalash mumkin. Agar ushbu

a^n1 d lim 
n an
limit mavjud bo’lsa, u holda d 1 bo’lganda qator yaqinlashuvchi, d 1 bo’lganda esa qator uzoqlashuvchi bo’ladi
v) Raabe alomati. Ushbu a_n musbat qator berilgan bo’lsin. Agar n_N ning biror n₀ (n₀ 1) qiymatidan boshlab barcha n _ n₀ qiymatlar uchun
 a^n1  r 1 n1 aaⁿ_n^1 1
n1 a_n   

 tengsizlik o’rinli bo’lsa, a_n qator yaqinlashuvchi ( uzoqlashuvchi) bo’ladi.
n1
Avval n  n₀ lar uchun n^_1 ^a_aⁿn^1 _^  r 1 tengsizlik bajarilsin, deylik. Bu tengsizlikni quyidagi

^an1 _1_ ^r (14)
a_n n
ko’rinishda yozib, so’ng r 1 tengsizlikni qanoatlantiradigan _ son olamiz. Ma’lumki,
1 _
1  1

lim_
n

Tanlanishiga ko’ra r bo’lgani uchun shunday n₀  N son
topiladiki, barcha n _ n₀ lar uchun
1 _

1  1
 r

tengsizlik o’rinli bo’ladi. Undan ushbu
^_1_ ^1_^ _1_ ^r (15)
 n n
tengsizlik kelib chiqadi. Endi maxn₀ ,n₀ n₀ deb olsak, barcha n  n ₀ lar uchun ( 14) va (15) tengsizliklardan
^an1 _ ^_1_ ^{1 }_^ 16 a_n  n
tengsizlikka ega bo’lamiz. Agar 16 tengsizlikni ushbu
1

n 1^
 1
ko’rinishda yozsak, unda berilgan qator hadlari bilan ^n1 _n umumlashgan garmonik qator hadlari orasida 12 ko’rinishda munosabat borligini payqaymiz. Ma’lumki,  1 da umumlashgan garmonik qator yaqinlashuvchi.
Demak, 5—teoremaga ko’ra berilgan qator yaqinlashuvchi bo’ladi. Endi barcha n _ n₀ lar uchun
 an1  1
n1 an 

tengsizlik o’rinli bo’lsin. Undan

n 1
tengsizlik kelib chiqadi. Shuning uchun 5—teoremaga asosan _n^1 ¹_n garmo-nik
qatorning uzoqlashuvchi bo’lishidan berilgan qatorning uzoqlashuvchi ekani kelib chiqadi.
Bu alomatni ham quyidagicha limit ko’rinishda ifodalash mumkin.
Agar ushbu
limn^n_1 ^a_aⁿn^1 _^  g (g  const)
limit o’rinli bo’lsa , g 1 bo’lganda qator yaqinlashuvchi, g 1 bo’lganda esa qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
9—misol. Quyidagi

1. 
    1  3  1  1  3  5  1  1  3  5  7  1  2n 1!! 1 
   
2. 
   2 4 2 2 4 6 3 2 4 6 8 4 2n!! n
   

qatorni yaqinlashuvchilikka tekshirilsin.
Bu qator uchun

n1 aann1   n1 22nn12!!!!11n  2n2n1!!!! 1n  2n32n2 4n3n 2, limnn1 aann1   32 1
bo’ladi. Demak, Raabe alomatiga ko’ra berilgan qator yaqinlashuvchi.

g) Integral alomat (Koshining integral alomati). Ushbu a_n musbat
n1 qator berilgan bo’lsin.
Faraz qilaylik, 1, oraliqda aniqlangan, uzluksiz, o’smaydigan hamda manfiy bo’lmagan f (x) funksiya uchun f (n)  a_n (n 1,2,) bo’lsin.
U holda berilgan qator quyidagi
 
a_n  f (n) n1 n1
ko’rinishni oladi. Ravshanki, nxn1 bo’lganda
f (n)  f (x)  f (n1)
ya’ni a_n  f (x)  a_n1 tengsizliklar o’rinli. Keyingi tengsizliklarni n,n1 oraliq bo’yicha integrallab topamiz:
n1 a_n1   f (x)dx  a_n 17
n
Endi berilgan qator bilan birga ushbu
_ n1
 _ f (x)dx (18)
n1 0
qatorni ham qaraylik. Bu qatorning qismiy yig’indisini yozamiz:
n k1 n1
 _ f (x)dx _{ } f (x)dx . (19)
k1 k 1
Faraz qilaylik, f (x) funksiya 1, oraliqda F(x) boshlang’ich funksiyaga ega bo’lsin F(x)  f (x). 1, oraliqda f (x)  0 bo’lgani uchun F(x) funksiya shu oraliqda o’suvchi bo’ladi. F(x) funksiyani yuqori chegarasi o’zgaruvchi bo’lgan aniq integral ko’rinishda yozish mumkin:
x
F(x)  f (t)dt, F(1) 0
1
Natijada 19 tenglik ushbu
_ k1
  f (x)dx  Fn 1
n1 k
ko’rinishga keladi. Demak, (18) qatorning qismiy yig’indisi Fn1 ga teng.
Agar n_ da Fn_1 chekli songa intilsa, shu qator yaqinlashuvchi bo’ladi. Unda 17 tengsizlik hamda 5—teoremaga ko’ra qaralayotgan qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi. n_ da Fx _ bo’lsa, berilgan qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
Shunday qilib, quyidagi integral alomatiga (Koshi alomatiga) kelamiz:
Agar f (x) funksiya 1, oraliqda aniqlangan, uzluksiz va o’smaydigan
 bo’lib, F(x) shu funksiya uchun boshlang’ich funksiya va a_n qator
n1
uchun f (x)  a_n (n 1,2,) bo’lsa, u holda berilgan qator lim F(x)  A limit
n chekli bo’lganda yaqinlashuvchi, cheksiz bo’lganda uzoqlashuvchi bo’ladi.
10—misol. Quyidagi ^ _n¹_ umumlashgan garmonik qator yaqinla-
n 1
shuvchilikka tekshirilsin.
f (x) _ ¹_ _ 0 deb olaylik. Ravshanki , bu funksiya 1,_ da x
uzluksiz, kamayuvchi hamda shu oraliqda manfiy emas. Shu bilan birga
xn bo’lganda f (n)  ¹_ . Ravshanki , n
1 t
F(x)  ^x f (t)dt  ^x t dt  1__1 1x  1_1__ x1₁ 1_.
1 1
Bundan quyidagi natija kelib chiqadi:
 1


limFx lim 1  x11 11, agar  1 bo'lsa, x x 1   , agar  1 bo'lsa
Agar  1 bo’lsa, x_ da
x
1
F(x) ^1 t dt ln x 
bo’ladi.
Demak , integral alomatiga ko’ra berilgan qator  1 bo’lganda yaqinlashuvchi, 1 bo’lganda esa uzoqlashuvchi bo’ladi.

XULOSA
Biz mazkur ishda, sonli qatorlarni, ularning yaqinlashishi, uzoqlashishi, yaqinlashish alomatlari hamda yaqinlashuvchi qatorlarning xossalarini o’rganamiz.
Matematik analiz fanining dastlabki elementlari hozirda akadenik litsey va kollejlar matemika kursida uchraydi. Shunday ekan, bunday ta’lim muassasalarida o’qituvchi bo’lib ishlashni maqsad qilgan talaba fanni puhta o’rganishi muhim.
Kurs ishni tayyorlash davomida matematik analiz fani qiziqarli fan ekanligini yana bir bor his qildim. Ayniqsa ishning mavzusi nazariyada eng ko’p o’rganilgan mavzulardan biridir. Hosilaga nisbatan yechilmagan tenglamalarni integrallashda ularni hosilaga nisbatan yechilgan tenglamaga aylantirishga harakat qilinadi. Yoki yuqori tartibli differensial tenglamalarni integrallashda, ularning tartibi pasaytirilib hosilaga nisabatan yechilgan tenglamaga olib kelishga urinamiz. Hulosa qilib aytganda hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli tenglamalar differensial tenglamalar fanning negizi deb aytish mumkin. Fanning boshqa fanlar bilan chambarchas bog’langanligi, uning tadbiq ko’lamini kengligidandir. Lekin bu fanga oid adabiyotlarni o’zbek tilida kam ekanligi va o’zimni rus tilini yahshi bilmasligim ishni tayyorlashim qiyin kechishiga sabab bo’ldi.

Foydalanilgan Adabiyotlar Ro'yxati

1. 
   Azlarov T., Mansurov H. Matematik analiz, 1-qism, Toshkent,
   

«O’qituvchi», 1994;

2. 
   Azlarov T., Mansurov H. Matematik analiz, 2-qism, Toshkent,
   

«O’zbekiston», 1995;

3. 
   Azlarov T., Mansurov H. Matematik analiz asoslari, 1-qism, Toshkent, 2005;
   
4. 
   Фихтенгольц Г. Курс дифференциального и интегрального исчисления,
   

т. I, II, III, Москва, «Физматлит», 2001;

5. 
   Архипов Г., Садовничий В., Чубариков В. Лекции по математическому анализу. Москва, «Высшая школа», 1999;
   
6. 
   Дороговцев А. Математический анализ (спровочное пособие) Киев, «Высшая школа», 1985;
   
7. 
   Хинчин А.Я. Восемь лекций по математическому анализу, Москва, «Наука», 1977;
   
8. 
   Саъдуллаев А., Мансуров Х., Худойберганов Г., Ворисов А.,
   

Гуломов Р. Математик анализ курсидан мисол ва масалалар туплами T. I, II,
Tошкент, «Узбекистон», 1993, 1995