Reja: Chiziqli fazoning ta’rifi va misollar

1-teorema. oʻlchovli chiziqli fаzoning har bir elementi bazis vektorlarining chiziqli kombinatsiyasi koʻrinishida bir qiymatli yoziladi.

Isbot. Faraz qilaylik -elementlar sistemasi fazoning bazisi va ixtiyoriy element boʻlsin. U holda elementlar sistemasi fazoda chiziqli bogʻliq boʻladi. U holda barchasi bir vaqtda nolga teng boʻlmagan sonlar ketma-ketligi mavjudki,

(1)

tenglik oʻrinli boʻladi. Bu yerda boʻladi, aks holda tenglikda sonlarning hech boʻlmaganda bittasi noldan farqli boʻlishi kerak, ammo bu elementlar sistemasining bazisligiga ziddir. Chunki

. (1)

tenglikdan quyidagiga ega boʻlamiz:

, yoki belgilashdan,

(2)

yaʻni fazoning ixtiyoriy elementi bazis elementlarining kombinatsiyasi, koʻrinishida ifodalanadi.

Endi (2) yoyilma bir qiymatli yoʻzilishini isbotlaymiz. Faraz qilaylik bu elementni boshqa koʻrinishda ham ifodalash mumkin boʻlsin:

(3)

(2) va (3) ifodalarni hadma-had ayirib quyidagini hosil qilamiz

. Bu tenglikdan va elementlar sistemasining bazisligidan yani . Demak (2) yoʻyilma yagona boʻladi.