Reja: Funksiyaning akstemumlari

MAVZU: Differensial hisobning tadbiqlari
Reja:
1.Funksiyaning akstemumlari
2.Funksiyaning qavariqligi botiqligi
3.Funksiyalarni tekshirish va grafiklarini yasash
4.Lapital qoidalari

Differensial hisobning nazariy va amaliy ahamiyatga ega bo‘lgan teoremalari bilan tanishamiz.

(Ferma teoremasi).  funksiya  intervalda aniqlangan bo‘lib, bu intervalning biror  nuqtasida o‘zining eng katta (eng kichik) qiymatiga erishsin. Agar funksiya  nuqtada chekli hosilaga ega bo‘lsa, u holda

bo‘ladi.
(Roll teoremasi).  funksiya  kesmada aniqlangan, uzluksiz va  bo‘lsin. Agar funksiya  intervalda chekli hosilaga ega bo‘lsa, u holda shunday  nuqta topiladiki,

bo‘ladi.
1.  funksiya uchun  kesmada Roll teoremasi o‘rinli bo‘lishini tekshiramiz.  funksiya  kesmada uzluksiz, differensiallanuvchi va uning chetki nuqtalarida bir xil qiymatga ega:  . Shu sababli, bu funksiya uchun Roll teoremasi o‘rinli bo‘ladi.

• 
  ning  bo‘lgan qiymatini
  
• 
  topamiz:  Bundan  .
  

2. funksiya uchun  kesmada Roll teoremasi o‘rinli bo‘lishini tekshiramiz.  funksiya  kesmada uzluksiz,  ,  . Bu hosila  nuqtada mavjud emas. Demak, bu funksiya uchun Roll teoremasi o‘rinli bo‘lmaydi
(Lagranj teoremasi).  funksiya  kesmada aniqlangan va uzluksiz bo‘lsin. Agar funksiya intervalda chekli hosilaga ega bo‘lsa, u holda shunday  nuqta topiladiki,
(5.4)
bo‘ladi.
Misol
parabolaning urinmasi  va  nuqtalarni tutashtiruvchi  vatarga parallel bo‘lgan nuqtasini topamiz.
funksiya  va  nuqtalarning abssissalari chetki nuqtalar bo‘lgan  kesmada uzluksiz, chekli hosilaga ega. Shu sababli, bu funksiya uchun Lagranj teoremasini qo‘llash mumkin. Teoremaga ko‘ra  parabolada hech bo‘lmaganda bitta  nuqta topiladiki, funksiya grafigiga bu nuqtada o‘tkazilgan urinma  vatarga parallel bo‘ladi.
Lagranj formulasidan topamiz:
yoki .
Bundan U holda  .
Demak,  nuqtada berilgan parabolaning urinmasi  va
nuqtalarni tutashtiruvchi  vatarga parallel bo‘ladi.
. Agar biror intervalda funksiyaning hosilasi nolga teng bo‘lsa, funksiya shu intervalda o‘zgarmas bo‘ladi.
Agar biror intervalda ikkita funksiya teng hosilalarga ega bo‘lsa,
funksiyalar bir-biridan o‘zgarmas qo‘shiluvchiga farq qiladi.
Misol
ekanini ko‘rsatamiz. Bunda
deb olsak,  da  bo‘ladi
U holda natijaga ko‘ra  , ya’ni  bo‘ladi.  ni
topish uchun  ga biror qiymatni, masalan,  ni qo‘yamiz:
yoki . Bundan

(Koshi teoremasi).  va funksiyalar  kesmada aniqlangan va uzluksiz bo‘lsin. Agar funksiyalar  intervalda chekli hosilaga ega bo‘lib,  uchun  bo‘lsa, u holda shunday  nuqta topiladiki,
(5.8)
bo‘ladi.
nuqtaning biror atrofida  va  funksiyalkar uzluksiz, differensiallanuvchi va  bo‘lsin.Agar  va  bo‘lib, 
(chekli yoki cheksiz) limit mavjud bo‘lsa, u holda 
(5.9)
bo‘ladi.
1-teorema  ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish imkonini beradi.  ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish haqidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.
6-teorema 
nuqtaning biror atrofida  va  funksiyalkar uzluksiz, differensiallanuvchi va bo‘lsin. Agar bo‘lib, 
limit mavjud bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
Misol
limitni topamiz.

.
va ko‘rinishdagi aniqmasliklarga asosiy aniqmasliklar deyiladi. 
yoki  ko‘rinishdagi aniqmasliklar algebraik almashtirishlar yordamida asosiy aniqmasliklarga keltiriladi. yoki ko‘rinishdagi aniqmasliklardan formula yordamida asosiy aniqmasliklar
hosil qilinadi. Hosil qilingan asosiy aniqmasliklar yuqorida keltirilgan teoremalar
yordamida ochiladi.
Misollar
1.  .
2. 


3. 

4.
1.
5.

6. Teylor teoremasi
(Teylor teoremasi).  funksiya  nuqtaning biror atrofuda aniqlangan bo‘lib, bu atrofda  tartibligacha hosilalarga ega va hosila  nuqtada uzluksiz bo‘lsin. U holda

(5.11)
bo‘ladi, bunda 
(5.11) tenglikka Teylor formulasi deyiladi.
ga
n-tartibli Teylor ko‘phadi ,  ga Teylor formulasining Lagranj ko‘rinishdagi qoldiq hadi deyiladi 
da Teylor formulasidan yoki tenglik, ya’ni Lagranj formulasi kelib chiqadi. Demak, Lagranj formulasi Teylor formulasining hususiy holi bo‘ladi.
Misol
ko‘phadni  ikkihadning butun musbat darajalari bo‘yicha yoyamiz. Buning uchun funksiyaning hosilalarini topamiz:

( uchun,  ).
Ko‘phad va uning hosilalarining  dagi qiymatlarini topamiz:

U holda


da Teylor formulasining xususiy hollaridan yana biri

hosil bo‘ladi. Bu formulaga Maklorei formulasi deyiladi.
Ayrim funksiyalarning Makloren formulasiga yoyilmasini keltiramiz:
1. , ;




Xususan,  da
.
Formulalardan ayrimlarining isbotini keltiramiz.
1.  bo’lsin. U holda


Makloren formulasi quyidagi ko‘rinishga keladi:
.
2.  bo‘lsin. 
U holda

Bundan

4. bo‘lsin.
Bundan


U holda


Teylor formulasi funksiyalar qiymatlarini va limitlarni berilgan aniqlikda hisoblashda qo‘llaniladi. Masalan, funksiyaning nuqtadagi qiymatini xatoligi  dan katta bo‘lmagan aniqlikda hisoblash uchun Teylor ko‘phadini shunday darajasigacha olinadiki, bunda son
tengsizlikni qanoatilaniradigan  larning eng kichigi qilib tanlanadi.
Misol.
sonini  aniqlikda hisoblaymiz. Shartga ko‘ra  . Makloren formulasiga binoan

ning  shartni qanoatlantiruvchi eng kichik qiymati  , bunda  . 
Demak,


Misol
limitni topamiz:

Differensial hisobning asosiy teoremalari va tatbiqlari. Aniqmasliklarni ochish.O‘rta qiymat haqidagi teoremalar
Matematik analiz kursida o‘rganiladigan asosiy va amaliy masalalarni yechishda katta ahamiyatga ega bo‘lgan funksiyalar sinflaridan (to‘plamlaridan) biri-bu uzluksiz funksiyalar sinfi hisoblanadi. Oldingi bobda biz differensiallanuvchi funksiyalar sinfi uzluksiz funksiyalar sinfining qismi bo‘lishini ko‘rsatgan edik. Differensiallanuvchi funksiyalar o‘ziga xos ahamiyatga ega, chunki ko‘pgina tatbiqiy masalalarni yechish hosilasi mavjud funksiyalarni o‘rganishga keltiriladi. Bunday funksiyalar ba’zi bir umumiy xossalarga ega. Bu xossalar ichida o‘rta qiymat haqidagi teoremalar nomi bilan birlashgan teoremalar alohida ahamiyatga ega. Ushbu teoremalar [a;b] kesmada o‘rganilayotgan funksiya uchun u yoki bu xossaga ega bo‘lgan [a;b] kesmaga tegishli s nuqtaning mavjudligini ta’kidlaydi. Agar f(x) funksiya (a,b) oraliqda aniqlangan va biror ichki c nuqtada eng katta (eng kichik) qiymatga erishsa va shu nuqtada chekli f’(c) hosila mavjud bo‘lsa, u holda f’(c)=0 bo‘ladi
.Isbot. f(c) funksiyaning eng katta qiymati bo‘lsin, ya’ni x(a;b) da f(x) ≤ f(c) tengsizlik o‘rinli bo‘lsin. Shartga ko‘ra bu s nuqtada chekli f’(c) hosila mavjud
Eng kichik qiymat holi shunga o‘xshash isbotlanadi.
Ferma teoremasi sodda geometrik ma’noga ega. U f(x) funksiya grafigiga (c;f(c)) nuqtada o‘tkazilgan urinmaning Ox o‘qiga paralell bo‘lishini ifodalaydi ( 17-chizma).
Eslatma. Ichki s nuqtada f’(s)=0 bo‘lsa ham bu nuqtada f(x) funksiya eng katta (eng kichik) qiymatni qabul qilmasligi mumkin. Masalan, f(x)=2x3-1, x(-1;1) da berilgan bo‘lsin. Bu funksiya uchun f’(0)=0 bo‘ladi, lekin f(0)=-1 funksiyaning (-1;1) dagi eng katta yoki eng 17- chizma
kichik qiymati bo‘lmaydi.
 Agar f(x) funksiya [a;b] kesmada aniqlangan bo‘lib, quyidagi
1) [a;b] da uzluksiz;
2) (a;b) da differensiallanuvchi;
3) f(a)= f(b)
shartlarni qanoatlantirsa, u holda f’(c)=0 bo‘ladigan kamida bitta c (a) nuqta mavjud bo‘ladi.
Isbot. Ma’lumki, agar f(x) funksiya [a;b] kesmada uzluksiz bo‘lsa, u holda funksiya shu kesmada o‘zining eng katta M va eng kichik m qiymatlariga erishadi. Qaralayotgan f(x) funksiya uchun ikki hol bo‘lishi mumkin.
1. M=m, bu holda [a,b] kesmada f(x)=sonst va f’(x)=0 bo‘ladi. Ravshanki, f’(s)=0 tenglamani qanoatlantiradigan nuqta sifatida c(a;b) ni olish mumkin.
2. M>m, bu holda teoremaning f(a)=f(b) shartidan funksiya M yoki m qiymatlaridan kamida birini [a,b] kesmaning ichki nuqtasida qabul qilishi kelib chiqadi. Aniqlik uchun f(c)=m bo‘lsin. Eng kichik qiymatning ta’rifiga ko‘ra x[a,b] uchun f(x)f(c) tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.

Endi f’(c)=0 ekanligini ko‘rsatamiz. Teoremaning ikkinchi shartiga ko‘ra f(x) funksiya (a;b) intervalning har bir x nuqtasida chekli hosilaga ega. Bu shart, xususan c nuqta uchun ham o‘rinli. Demak, Ferma teoremasi shartlari bajariladi. Bundan f’(c)=0 ekanligi kelib chiqadi.
f(c)=M bo‘lgan holda teorema yuqoridagi kabi isbotlanadi.
18-chizma
Roll teoremasiga quyidagicha geometrik talqin berish mumkin (18-chizma)
Agar [a,b] kesmada uzluksiz, (a,b) intervalda differensiallanuvchi f(x) funksiya kesma uchlarida teng qiymatlar qabul qilsa, u holda f(x) funksiya grafigida abssissasi x=c bo‘lgan shunday C nuqta topiladiki, shu nuqtada funksiya grafigiga o‘tkazilgan urinma abssissalar o‘qiga parallel bo‘ladi.

Eslatma. Roll teoremasining shartlari yyetarli bo‘lib, zaruriy hart emas. Masalan, 1) f(x)=x3, x[-1:1] funksiya uchun teoremaning 3-sharti bajarilmaydi.

(f(-1)=-11=f(1)), lekin f’(0)=0 bo‘ladi.