Reja: Funksiyaning differensiali

Yuqori tartibli hosilalar
Agar f funksiyaning hosilasi yana hosilaga ega bo‘lsa, u holda funksiyaning hosilasi kabi belgilanadi va f funksiyaning ikkinchi hosilasi deyiladi(ikkinchi tartibli hosila). Hosila olish mumkin bo‘laversa, yana hosila olishda davom etib, f funksiyaning uchinchi, to‘rtinchi vaxokazo hosilalarini topishimiz mumkin. Bu hosilalar ketma-ket quyidagicha belgilanadi:¹
, , , , , …
Ular mos ravishda, birinchi, ikkinchi, uchinchi va xokazo hosilalar deyiladi. Uchinchi hosiladan keyingilarida hosila belgisi murakkablashib boradi. Shu sababli, butun sonlarni qavs ichiga olib belgilaymiz. Bunday belgilashda, yuqori tartibli hosilalar qulay belgilanadi:
,
bu f funksiyaning n-tartibli hosilasi.
1-misol. Ko‘phadning yuqori tartibli hosilalari.
Agar beshinchi darajali

ko‘phad berilgan bo‘lsa, uning yuqori tartibli hosilalari topilsin.
Yechish. Birinchi tartibli hosila quyidagicha:

Ikkinchi tartibli hosila quyidagicha:

Uchinchi tartibli hosila quyidagicha:

To‘rtinchi tartibli hosila quyidagicha:

Beshinchi tartibli hosila quyidagicha:

oltinnchi tartibli hosila nolga teng bo‘ladi, chunki, beshinchi tartibli hosila o‘zgarmas sondan iborat:
.
Oltinchi tartibli hosila va undan yuqori barcha hosilalar ham nolga ten
Agar funksiya uchun oraliqning har bir nuqtasida hosila mavjud bo‘lsa, u holda oraliqda yangi funksiyani hosil qilamiz. Bu funksiya nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, u holda nuqtada funksiya ikkinchi tartibli hosilaga ega deyilib, bu xossa

shaklda belgilanadi. Demak, ikkinchi tartibli hosila, quyidagi tenglik orqali topilar ekan.

Xuddi shuningdek funksiya uchun uchinchi, to‘rtinchi va n-tartibli hosilani aniqlash mumkin. Umumiy holda, agar funksiya uchun oraliqning har bir nuqtasida -tartibli hosilaga ega bo‘lib, mana shu hosil bo‘lgan funksiyani deb belgilasak o‘z navbatida funksiya nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, bu hosila funksiyaning nuqtadagi n-tartibli hosilasi deyiladi. n-tartibli hosilani quyidagi ko‘rinishlarda ifoda etish mumkin:
.
Demak, ta’rifga ko‘ra n-tartibli hosila

tenglik orqali aniqlanar ekan. Bu tenglikni umumiy holda kuyidagicha yozishimiz mumkin

bu yerda .
Yuqori tartibli hosila uchun quyidagi tengliklar o‘rinli bo‘ladi:
1.
2.
3.
4.
Bu tengliklarni barchasini matematik induksiya usuli bilan isbot qilish mumkin.
4-tenglik Leybnits formulasi deb nomlanadi.
Endi ayrim elementar funksiyalarning yuqori tartibli hosilalarini keltiramiz. Bu formulalar ham matematik induktsiya usuli bilan isbot qilinadi.
1. , – istalgan haqiqiy son. Agar natural son bo‘lsa, uchun va uchun .
2. , xususan .
3. .
4. .