Samarqand davlat universiteti

a) H(x) — kamaymaydigan funksiya;

b) H( - )=0, H(+ ) ;

v) H(x) chapdan uzluksiz funksiya.

Biz deb H sinfning shunday qism to‘plamini olamizki, bunda ya’ni R(x) tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasining xuddi o‘zi.

3.5- ta’rif. Agar ixtiyoriy uzluksiz va chegaralangan h(x) funksiya uchun

(3.6)

tenglik o‘rinli bo‘lsa, funksiyalar ketma-ketligi funksiyaga sust yaqinlashadi deyiladi va qisqa kabi belgilanadi, bu yerda W harfi inglizcha „Weak" - „sust", so‘zining bosh harfidan olingan.

3.1 - teorema. Faraz qilaylik, u holda Bu teoremani H sinfdagi funksiyalar uchun quyidagicha bayon etish mumkin.

3.2 – teorema. Faraz qilaylik, u holda

1) (3.7)

2) (3.8)

Yuqorida aytilganlarga ko‘ra turli yaqinlashishlar orasidagi bog’lanishni ifodalovchi sxema keltirishimiz mumkin . ( 3.2- shakl)

3.2 -shakl

tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi ehtimol bo‘yicha, bir ehtimol bo‘yicha va o‘rtacha tartibda fundamental deyiladi, agar mos ravishda quydagishartlar bajarilsa:

Ixtiyoriy son uchun , deyiladi barcha lar uchun ketma-ketlik fundamental funksiyalar ketma-ketligi manosida fundamental ya’ni

3.3-teorema. a) (deyarli hamma joyda ehtimol bo‘yicha) bo‘lishi uchun son uchun

(3.9)

ning bajarilishi zarur va yetarli.

b) ketma-ketlik bir ehtimol bilan fundamental bo‘ladi faqat va faqat son uchun

(3.10)

bajarilsa yoki bu

(3.11)

gat eng kuchli. F dan olingan hodisalarning biror ketma-ketligi bo‘lsin eslatib o‘tamiz { cheksiz son } deb hodisalardan cheksiz ko‘pi ro‘y beradigan hodisa belgilangan.

Lemma. (Borel-Kontelli)

a) Agar bo‘lsa u holda P{A_n cheksiz son} shu hodisaning ehtimoli nolga teng.

b) Agar va hodisalarga bog’liq bo‘lmagan bo‘lsa, u holda P{A_n cheksiz son}=1.

3.4-teorema. Quyidagi impilikatsiyalar o‘rinli.

(3.12)

(3.13)

(3.14)