Signallar va tizimlar

9.4. Adamar almashtirishi

Adamar almashtirishi yoki Uolsh-Adamar almashtirishi bu ham mazmunan Uolsh almashtirishi bo‘lib, faqat boshqa tartibdagi Uolsh funksiyalari va boshqa almashtirish matrisasi qatoridir. Bunday o‘rin almashtirishlar natijasida olinadigan Adamar matrisasi, ikkinchi tartibli matrisaning massiv ostini o‘z ichiga oladi. 6.6-rasmda Adamarning 8×8 tartibli matrisasi ko‘rsatilgan bo‘lib, u ko‘rinishida belgilanadi.
Uni matrisalar orqali yozish mumkin
Adamarning har qanday tartibli matrisasini dan rekursiv shaklda olish mumkin, ya’ni

(9.25)

9.6-rasm. Adamarning tartibli almashtirish matrisasi.
Bu rekursivlik xossasidan Uolsh funksiyasini Adamar tomonidan aniqlangan tartibda joylashtirish natijasida olingan Uolsh-Adamar tez almashtirishini UDAga nisbatan ancha katta tezlik bilan hisoblash mumkin. Adamar tartibida joylashgan Uolsh (yoki tabiiy tartibda joylashgan) funksiyasi 6.7-rasmda ko‘rsatilgan.

9.7-rasm. Adamar tartibli almashtirish matrisasi uchun diskretizatsiyalash vaqtini ko‘rsatuvchi gacha Adamar tartibida joylashgan Uolsh funksiyasi.

9.5. Veyvlet almashtirishi

Geyzenberg noma’lumlik (noaniqlik) fizik prinsipiga asosan, bir vaqtning o‘zida zarrachaning holati va uning impulsi ni aniq bilish mumkin emas. Amalda
(9.26)

bunda – Plank doimiysi. Eynshteynning tenglamasi asosida bu prinsipni signallarga ishlov berish sohasida ham qo‘llash mumkin. Bunda Geyzenberg prinsipi quyidagicha ta’riflanadi: bir vaqtning o‘zida har qanday aniqlik bilan vaqt va chastotani aniqlash mumkin emas, ya’ni

(9.27)
bunda va chastota va vaqt bo‘yicha farqlanishni ifodalaydi. Agar chastota qiymati yuqori aniqlik bilan farqlansa (aniqlansa), u holda chastota nisbatan kam aniqlik bilan baholanadi va aksincha.

Natijada bir vaqtning o‘zida signal tashkil etuvchilari chastotasini va uning paydo bo‘lish vaqtini yoki signal turli chastotali tashkil etuvchilarini vaqt bo‘yicha ajratish talab darajasidagi yuqori aniqlik bilan o‘lchash yetarli darajada murakkab bo‘lishi mumkin. Bu holat agar signal yuqori chastotali tashkil etuvchilardan iborat bo‘lsa va ular vaqt sohasida uzoq davomiyligi tashkil etuvchilarga juda ham yaqin joylashgan bo‘lsa va ular ham o‘z vaqtida chastota sohasida yaqin joylashgan bo‘lsa, hamda turli onlar (vaqtlar)da hosil bo‘lsa yuz berishi mumkin.
Bunday signallar davriy bo‘lmaydi. Bu chastota-vaqt tahlili umumiy muammosini yechish uchun Veyvlet almashtirishdan foydalaniladi (wavelet transform), u nostasionar signallarni tahlil etish vositasi hisoblanadi. Veyvlet almashtirishdan signallarni filtrlashda, shovqinlarni yo‘qotishda, sinulyarlik joyini topish va ularning taqsimlanishini aniqlash kabi masalalarni yechishda foydalanish mumkin.
Fure almashtirishida signal qiymati darajasi ko‘rsatkichida mavhum bo‘lgan hissa (vesovoy) koeffitsienti bo‘lsa va argument garmonik shaklda bo‘lib chastotaga bog‘liq bo‘lsa, ya’ni sinusoidal tashkil etuvchi bo‘lsa, Veyvlet almashtirishda xususiy xissa koeffitsientlari qiymati sifatida Veyvlet funksiyalardan foydalaniladi.
Hamma Veyvlet funksiyalar asosiy (bazaviy) Veyvlet funksiyasidan olinadi. Ba’zi hissalar bo‘lishini ta’minlash uchun bir qator asosiy (bazaviy) funksiyalardan foydalaniladi. Talab etiladigan xossalarga ega bo‘lish uchun Veyvlet funksiya tebranishlar shaklida bo‘lib, doimiy tashkil etuvchisi bo‘lmasligi kerak, spektri ma’lum bir kichik polosada joylashgan bo‘lishi, kichik vaqt ichida nolga teng qiymatgacha kichiklashishi va aksincha, kichik vaqt oralig‘ida o‘zining eng katta qiymatiga ega bo‘lishi kerak. Bu xususiyat Veyvlet almashtirish bir qiymatli bo‘lishiga kafolat beradi. Asosiy funksiyani ko‘rinishida yozish mumkin. Misol uchun, Morlet yoki Gauss modifikatsiyalangan asosiy funksiyasi (Morle veyvleti) quyidagicha ifodalanadi

(9.28)

Uning Fure ko‘rinishi :
(9.29)

Bu ikki signal 6.8-rasmda keltirilgan bo‘lib, bundan ko‘rinadiki funksiya yuqorida keltirilgan talablarga javob beradi, ya’ni tebranuvchan va nolgacha kichiklashadi.

9.8-rasm.Modifikatsiyalashtirilgan Gauss yoki Morlet, ona (asosiy) veyvlet funksiyasi va uning Fure ko‘rinishi

Qolgan (qiz, ikkilamchi) funksiyalar birlamchi asosiy funksiyalar masshtabini o‘zgartirish natijasida olinadi, bular funksiyalar oilasini tashkil etadilar. Har bir ikkilamchi (qiz) funksiyani quyidagicha ifodalash mumkin

bunda – masshtabni o‘zgartirish o‘zgaruvchan koeffitsienti, – olib o‘tish o‘zgarmas koeffitsienti. Agar ning masshtabi kattalashsa funksiyaning amplitudasi va argumenti kichiklashadi. Amplituda berilgan qiymatida argumentning kichiklashishi chastotaning kichiklashishini anglatadi.
Masshtabni o‘zgartirish koeffitsienti va olib o‘tish o‘zgarmas koeffitsienti yordamida katta va kichik (turli) amplitudali, yuqori va past (turli) chastotali funksiyalarni yaratish mumkin va ularni vaqtning turli onlariga joylashtirish mumkin.
Shunday qilib, turli vaqt oralig‘iga joylashgan turli chastotali tashkil etuvchilarga ega nostasionar signallarni turli veyvlet funksiyalar yig‘indisi orqali ifodalash mumkin. Veyvlet funksiyasidan shu maqsadlarda foydalaniladi.
U zluksiz veyvlet almashtirishni (UVA) ( ) quyidagicha ifodalash mumkin
UVA (9.30)

Bu tenglama paramterlarini diskretlash natijasida diskret parametrli veyvlet almashtirishi (DPVA) ( ) ni olish mumkin, u quyidagicha aniqlanadi

DPVA (9.31)

bunda quyidagi almashtirishlar amalga oshirilgan: . Bu almashtirishlarda va lar va lar uchun diskretizatsiyalash oralig‘i; va lar esa butun sonlar.

Ko‘p hollarda , ga teng deb olinadi. Yuqoridagilarni e’tiborga olinsa

DPVA

1.Diskret vaqt tizimlari. 41
2.To‘g‘ri va teskari z-almashtirishlar. 41
3. z-teskari almashtirish usullarini taqqoslash 41
4. z-almashtirishning xossalari. 41
5. Barqarorlikni tadqiqot qilish 41
6.1. Diskret vaqt tizimlari 41
6.2. To‘g‘ri va teskari z-almashtirishlar 43
Darajali qatorga yoyish usuli 44
Elementar sonlar nisbati (kasr sonlar) ko‘rinishida ifodalash usuli 45
Ayirish usuli 46
z-teskari almashtirish usullarini taqqoslash 47
6.4. z-almashtirishning xossalari 48
Diskret vaqt tizimlarini qutb va nollar orqali ifodalash 49
6.5.Barqarorlikni tadqiqot qilish 52
Farqlanish tenglamasi 53
2.Diskret vaqt tizimlari. 54
3.To‘g‘ri va teskari Z-almashtirishlar. 54
4.z-almashtirishning xossalari. 54
6. Barqarorlikni tadqiqot qilish. 54
7. Ayirish usuli. 54
Nazorat savollari 63
2. Impuls xarakteristikalari chekli va impuls xarakteristikalari cheksiz filtrlar. 64
4. Maxsus talablar ro‘yxati. 64
8.3. Filtrlarni loyihalash bosqichlari 71
8.4. Maxsus talablar ro‘yxati 73
Raqamli filtr koeffitsientlarini hisoblash 75
8.5.Filtrni unga mos keluvchi struktura orqali ifodalash 77
Nazorat savollari 81
1.Fure almashtirishi. 82
2.Fure tezkor almashtirishi. 82
3.Diskret kosinus almashtirish (DKA). 82
4.Adamar almashtirishi. 82
5. Veyvlet almashtirishi. 82
9.1. Fure almashtirishi 83
Fure diskret almashtirishi (FDA) va teskari FDA 86
9.2. Fure tezkor almashtirishi 87
9.3. Diskret kosinus almashtirish (DKA) 91
Uolsh almashtirishi 92
9.4. Adamar almashtirishi 94
9.5. Veyvlet almashtirishi 95
Nazorat savollari 104

Bu vaqt o‘qini marotaba kengaytiradi, natijada veyvlet funksiya vaqt bo‘yicha musbat tomonga kattalikka suriladi.
Veyvlet funksiyani vaqt bo‘yicha diskretizatsiyalash, diskret vaqtli veyvlet almashtirishi (DVVA)ni beradi, u quyidagicha aniqlanadi

DVVA (9.32)

Agar qaytadan va deb hisoblasak u holda DVMI quyidagicha aniqlanadi

DVVA (9.33)

(9.33) ifoda veyvlet diskret almashtirishi hisoblanadi.

Shunday qilib, veyvlet diskret almashtirishi uzluksiz veyvlet almashtirishidan masshtab parametri ni, olib o‘tish o‘zgarmas koeffitsienti va vaqtli diskretizatsiyalash, so‘ngra diskretlash oralig‘i qiymatlari va deb hisoblash natijasida olinadi.
Veyvlet almashtirishlardan signallar chastota-vaqt tarkiblarini o‘rganishda foydalanishdan tashqari, ulardan signallarni filtrlash, ya’ni shovqinning qandaydir qismini olib tashlashda ham foydalanish mumkin. Buning uchun signal tashkil etuvchilarga ajratilishi kerak. So‘ngra taqqoslash asosida shovqin tashkil etuvchilari olib tashlanadi. Va nihoyat, shovqinlardan tozalangan signal tashkil etuvchilari veyvlet funksiyalari orqali qayta tiklanadi. Uzluksiz veyvlet almashtirishidan foydalanilganda signalni qayta tiklash (teskari almashtirishi) ifodasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
(9.34)

b unda

va – asosiy impuls ning Fure ko‘rinishi.

Aloqa kanallari orqali uzatiladigan signallar vaqtning haqiqiy funksiyasi bo‘ladi. Ammo bir qator signallar uzatish muammolariga tegishli masalalarni yechishda signalni vaqt funksiyasi bo‘lgan elementar kompleks tashkil etuvchilar yig‘indisi sifatida qarashni taqazo etadi yoki signalning o‘zini to‘liq kompleks funksiya deb tadqiq etishga ehtiyoj tug‘iladi, ya’ni


(9.35)

bunda, va - signal o‘rovchisi va fazasi. Bu holda haqiqiy signal kompleks signal orqali quyidagicha aniqlanadi:

(9.36)

Signalni bu shaklda ifodalashdan tor polosali signallarni tadqiq qilishda keng foydalaniladi.

Agar va Gilbert o‘zgartirish juftligi orqali bir-biriga bog‘liq bo‘lsa, signal analitik signal deb ataladi, ya’ni
(9.37)

shaklida bog‘langan bo‘lsa, bunday signal analitik signal hisoblanadi. (9.27) ifodalardagi integrallar Koshining asosiy qiymati sifatida qabul qilinadi. funksiya bilan Gilbert bo‘yicha moslashgan hisoblanadi. va ni Gilbert sharti asosida tanlangan bo‘lsa, u holda signal o‘rovchisi va fazasi quyidagicha aniqlanadi:

(9.38)


(9.39)
Agar signal spektri kengligi o‘zining o‘rtacha chastotasi dan kichik bo‘lsa, u holda bu signalning amplitudasi va fazasi signal ning o‘ziga nisbatan sekin o‘zgaradi. Gilbert to‘g‘ri va teskari bir juft o‘zgartirishlari asosida signalga signal va signalga sigal kompleks moslashganligini tasdiqlash mumkin. Xuddi shunga o‘xshash signal bilan signal kompleks moslashgan bo‘ladi.
Shunday qilib oddiy garmonik tebranish signalga analitik signal mos keladi.
Agar signal Fure integrali ko‘rinishida bo‘lsa:


(9.40)

Uning chastota spektri quyidagicha ifodalanadi:

(9.41)


va sigallarning spektri o‘zaro quyidagi bog‘lanishga ega:


, (9.42)

bunda

Shunday qilib, Gilbert o‘zgarishini signalning hamma spektral tashkil etuvchilarini ga suruvchi elektr zanjiridan o‘tishi deb hisoblash kerak. Ushbu elektr zanjirining chastota va faza tavsiflari quyidagicha bo‘ladi:

.
(9.42) ifodani (9.35) ifodaga kiritish natijasi signalning spektri ning “bir tomonlama” ekanini ko‘rsatadi:


(9.43)

Bu analitik sigalning juda muhim hossasi hisoblanadi.

Davriy signal ning Gilbert sharti bo‘yicha moslashgan funksiyasi ham signal davriga teng bo‘ladi. va sigallar ularning davri T oralig‘ida o‘zaro ortogonal bo‘ladi, ya’ni


.

Agar va ortogonal signallardan birini uning Gilbert o‘zlashtirishi sharti asosida moslashtirilganiga almashtirilganda ham ortogonallik hususiyati saqlansa, bunday signallar kuchaytirilgan ma’noda ortogonal signallar deb ataladilar, ya’ni

(9.44)
Bundan tashqari bunday signallardan birini uning kompleks moslashganiga almashtirilganda ham o‘zaro ortogonallik hususiyati saqlanib qiladi, ya’ni
(9.45)

Analitik signal tushunchasi har qanday signalni kompleks shaklga keltirish va uning o‘rovchisini hamda fazasini aniq aniqlash imkoniyatini beradi. Determinant (o‘zgarish qonuniyati ma’lum funksiya) va tasodifiy signallar analitik shaklga keltirilishi mumkin. Signalni analitik shaklga keltirish natijasida, uning o‘rovchisi va fazasi o‘zgarishini alohida-alohida tadqiq qilish mumkin bo‘ladi. Masalan, tasodifiy jarayon tadqiq etilganda uning oniy qiymatlari bilan shug‘ullanish o‘rniga, uning o‘rovchisi yoki fazasini tadqiq etish bilan chegaralanish mumkin.

Umuman olganda va jarayonlarning spektrlari va korrelyatsion funksiyalari bir hil: . va jarayonlarning o‘zaro energetik spektrlari o‘zaro korrelyatsiya funksiyasi quyidagi ifoda orqali aniqlanadi:


(9.46)


Tasodifiy jarayon taqsimot qonuni bilan uning o‘rovchisi va fazasi taqsimot qonunlari bir-birlariga bog‘liq, tasodifiy jarayonning ehtimollik zichligi taqsimot qonuni orqali, uning o‘rovchisi va fazasi ehtimolligi zichligi taqsimoti qonuni va ni aniqlash mumkin.