Silow teoremalarini qo'llanish an guruhning soddiyligi

---

1
SILOW TEOREMALARINI QO'LLANISH
An GURUHNING SODDIYligi
9-MA'RUZA
Sylou teoremalari
Machine Translated by Google

---

ÿ1
Isbot. {e} = H An bo'lsin .
bular. H = An.
Shunday qilib, H kichik guruhida barcha kichik guruhlarni taxmin qilishimiz mumkin.
Teorema 1. An, n ÿ 5, oddiy (kommutativ bo'lmagan) guruhdir.
= (bda) ÿ H,
Lemma 2. (1 2)(3 4) va (ab)(cd) koÿrinishdagi oÿrin almashishlar An da n ÿ 5 uchun
konjugatdir.
Lemma 1. n ÿ 5 uchun An guruhidagi har qanday ikkita 3-sikl konjugat hisoblanadi.
= (bcad...)(abcd...)
qayerda
oddiy. Oldingi ma'ruzaning asosiy lemmalarini eslaylik.
s = (abc)s(cba) = (abc)(abcd ..)(cba)s2 . . . sk = = (bcad ..)s2 . . .
s ÿ H,
ÿ1
p p
2
n ÿ 5 uchun An guruhi bo'lgan teoremani isbotlaymiz
Keyin
faqat ikki va uch uzunlikdagi tsikllar.
Agar s = (abc) ÿ H bo'lsa, teorema isbotlangan bo'ladi, chunki uzunliklari uch bo'lgan
sikllar Anda konjugat , n ÿ 5 bo'lib, An hosil qiladi.
H o'z ichiga ba'zi bir almashtirish s bo'lsin, uning ajratilgan sikllarga parchalanishi
ge4 uzunlikdagi tsiklni o'z ichiga oladi, ya'ni. s = (abcd ...)s2 . . . sk.
ajratilgan tsikllar mahsulotiga parchalanganda yangi xususiyatlar mavjud
An GURUHNING SODDIYligi
Machine Translated by Google

---

Sylowning birinchi teoremasi
ÿ1
= (acd)(bef)(cba)(fed) = (adbce) ÿ H,
, (ac)(bd) ga teng.
ÿ1
p p
= (ad)(cb)s3 . . . s ÿ H,
keyin
s = (abc)s(cba) = (abc)(ab)(cd)(cba)s3 . . . sk =
= (acd)(bef)s3 . . . s ÿ H,
Keyin
3
Ushbu holatda
Agar s ÿ H almashtirish faqat uch uzunlikdagi tsikllardan iborat bo'lmasa,
uning parchalanishi kamida ikkita transpozitsiyaga ega (chunki u juft bo'ladi):
s = (abc)(def)s3 . . . s ÿ H.
s = (bcd)s(dcb) = (bcd)(abc)(def)(dcb)s3 . . . sk =
s = (ab)(cd)s3 . . . sk.
3 ta uzunlikdagi tsikllar, bunda parchalanishda birdan ortiq tsikllar mavjud:
Lagranj teoremasining qisman teskari yo'nalishidagi chekli guruhlar
nazariyasining ajoyib natijalaridan biri Sylouning quyidagi uchta teoremasidir
(1872).
bu erda H o'rnini o'z ichiga oladi s s Shunday
qilib, H kichik guruhida An hosil qiluvchi barcha ajratilgan transpozitsiyalar
juftlari mavjud. Qolgan yagona holat - s
kesishmaslikning mahsuloti bo'lganda
shuning uchun oldingisiga ko'ra, H = An.
Machine Translated by Google

---

SILOVNING IKKINCHI TEOREMASI
.
k
kÿ1
k
k
k
k
i=1,...,l
2-teorema (Sylou kichik guruhlari mavjudligi haqidagi Sylouning birinchi teoremasi).
G chekli guruh bo'lsin, |G| = n = p km, k ÿ 1, p tub son, (p, m) = 1. Keyin G guruhi H
kichik guruhini o'z ichiga oladi, shundayki |H| = p (bunday kichik guruh G ning Sylow
kichik guruhi deb ataladi).
ya'ni B G ning Sylow kichik guruhidir.
.
. Lekin B¯ = B/A ÿ G/A, bu erda A ÿ B ÿ G, shuning uchun
2-holat. p tartibni |Z(G)|-ga ajratmaydi Guruhning markazi Z (G) G. Guruhning
konjugat elementlar sinflariga parchalanishini ko'rib chiqaylik G = Ci . C1, bo'lsin . . . ,
Cr - konjugatsiyalangan
elementlarning bir elementli sinflari
,
,
mentlar (ya'ni markazning barcha elementlari Z(G), r = |Z(G)|). beri |G| p ga bo'linadi,
lekin r soni p ga bo'linmaydi, Ci = Orb (xi), r + 1 ÿ i ÿ l orbita mavjud, shundayki |G|/|
C(xi)| = |Ci | p ga bo'linmaydi. Keyin |C(xi)| < n, lekin induktiv gipotezaga ko'ra C(xi)
da H kichik guruhi mavjud, shundayki |H| = p ya'ni H - G ning Sylow kichik guruhi
(H ÿ C(xi) ÿ G).
2) Agar |G| = p (ya'ni m = 1), keyin G = H. 3)
Isbotni induktiv tarzda bajaramiz. Holat 1. p |
Z(G)| sonini ajratadi G guruhining Z(G) markazining elementlari. Abel guruhlari
uchun Lagranj teoremasini inversiyalash orqali Z(G) markazida A kichik guruh, |A|
= p. AG, |G/A| = n/p = p kÿ1m < n. Induktiv gipotezaga ko'ra, G¯ = G/A da B¯, |B¯|
kichik guruhi mavjud. = p |B| = |A| |B/A| = ppkÿ1 = p
4
Isbot. 1) Agar G
abel guruhi bo'lsa, |G| = p km, (p, m) = 1, keyin H sifatida biz G guruhining
birlamchi komponenti Gp (ya'ni, kanonik parchalanishning barcha p-birlamchi siklik
guruhlarining to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi) ni, keyin esa Gp = p ni olishimiz mumkin.
Machine Translated by Google

---

SILOVNING UCHINCHI TEOREMASI
k
l
ÿ1
l
k
k
Agar H Sylow p-kichik guruh bo'lsa, ya'ni |H| = p
2) Har qanday ikkita Sylow kichik guruhlari S1 va S2 konjugat (ya'ni S2 =
gS1g)
,
l ÿ k) mavjud
,
5
4-teorema (Sylou kichik guruhlari soni haqidagi Saylouning uchinchi
teoremasi). G chekli guruh bo'lsin, n = |G| = p km, k ÿ 1, (p, m) = 1. n(p) Sylow
p-kichik guruhlar sonini bildirsin. U holda: 1) n(p) n = |G|
sonning bo'luvchisi; 2) n(p) = 1 + pq
(ya'ni, n(p) sonni p tub songa bo'lishda qoldiq 1 ga teng).
1) G guruhining har qanday p-kichik guruhi H (ya'ni,
Sylow p-kichik guruhida |H| = p).
1.
3-teorema (Sylou kichik guruhlari konjugasiyasi haqidagi Sylouning ikkinchi
teoremasi). G chekli guruh bo'lsin, |G| = p km, k ÿ 1, (p, m) =
Isbot. m = 1 bo'lgan holat aniq. m > 1 bo‘lsin va S, |S| bo‘lsin = p - Sylow p-
kichik guruhi (uning mavjudligi Sylowning birinchi teoremasida isbotlangan). H
kichik guruhi tomonidan quyidagi chap harakatni ko'rib chiqing: MH = {xS | x
ÿ G}, (a, xS) ÿ x ÿ G, a ÿ H uchun axS (ya'ni, S kichik guruhining o'ng kosetlari
xS H kichik guruhining elementlari bilan chap ko'paytirish bilan); ko'paytirishning
to'g'riligi aniq: xS = x S =ÿ x = xs, ax = (ax)s =ÿ axS = axS. S kichik guruhi
uchun Lagranj teoremasidan: |M| = |G|/|
S| = p km/pk = m > 1 va (p, m) = 1. Chunki p = |H| = | St(y)| | Orb(y)|
element uchun y ÿ MH, keyin MH ta'sirining har bir yagona elementsiz
orbitadagi elementlar soni p ga bo'linadi. Binobarin, bitta elementli orbita
mavjud xS ÿ MH, x ÿ G, ya'ni xS uchun bizda HxS = xS mavjud. Lekin keyin
Hx ÿ xS, va shuning uchun H ÿ xSxÿ1 . beri |xSxÿ1 | = |S| = p u holda xSxÿ1
Sylow p-kichik guruhi bo'lib, H asl p-kichik guruhini o'z ichiga oladi.
,
,
keyin H = xSxÿ1 .
Bu shuni ko'rsatadiki, har qanday ikkita Sylow kichik guruhlari S1 = S va S2 =
H konjugatdir.
ba'zi g ÿ G uchun).
Machine Translated by Google

---

ÿ1
Si = S1.
ÿ1
k
ÿ1
ÿ1
ÿ1
ÿ1
ÿ1
Si ÿ S, a ÿ S1
ÿ1
ÿ1
ÿ1
ÿ1
ÿ1
S1 = hSih
2) Endi barcha Sylow p-kichik guruhlari SS1 = to'plamini ko'rib chiqamiz
(aniqki, |aSia
ÿ S).
,
| = |Si | = p
= (ba)Si(ba)
= b(aSia
{S1, . . . , Sn(p)}S1 chap S1-ko‘pburchak sifatida (bu yerda S = S1) konjugatsiya bilan:
(ya'ni, G guruhi konjugatsiya bilan G guruhining barcha kichik guruhlari H to'plamiga ta'sir
qiladi).
ÿ S1 uchun = S1 , ya'ni S1 S1 guruhining ta'siri ostida S ning
qo'zg'almas nuqtasi (ya'ni S1 dagi bir elementli orbita ). Keling, S1 yagona sobit nuqta
ekanligini ko'rsataylik. Haqiqatan ham, keling, buning
aksini faraz qilaylik, ya'ni | Orb (Si)| i = 1 uchun = 1, ya'ni barcha a ÿ S1 uchun aSia =
Si . Shuning uchun, S1Si = SiS1 va shuning uchun H = SiS1 = S1Si kichik to'plami kichik
guruhdir.
a) aS1a ekanligi aniq
6
Sylowning ikkinchi teoremasi tufayli barcha Sylow p-kichik guruhlari MGda Orb (S)
orbitalaridan birini tashkil qiladi , bu erda S G guruhining Sylow kichik guruhlaridan biri,
n(p) = | Orb(S)|. beri |G| = | St(S)| · | Orb (S)|, u holda n(p) = | ekanligi aniq bo'ladi Orb(S)|
n = |G| sonning bo'luvchisi.
H kichik guruhi uchun Lagranj teoremasi bo'yicha bizda: |G| = |H| · [G : H], shunday
qilib, S1 va Si ham H guruhidagi Sylow p-kichik guruhlari; H guruhidagi ularga Sylouning
ikkinchi teoremasini qo‘llasak, S1 = hSih a ÿ S1, b ÿ Si ekanligini olamiz . Ammo keyin
(bu erda biz aSia = Si tengligidan foydalandik , chunki Si bir elementdan iborat orbita),
lekin bu i > 1, ya'ni.
MG = L(G) = {H | H ÿ G},
Isbot. 1) G guruhining
chap harakatini ko'rib chiqing
,
= bSib
(H, g) ÿ gHgÿ1 , g ÿ G
,
= Ha
h = ab ÿ H = S1Si uchun
)b
ya'ni asia
(a, Si) ÿ aSia
Machine Translated by Google

---

Saylou teoremalarining xulosalari
lÿ1
k
k
kÿ1
k
kÿ1
l
l
ya'ni, bu orbitalardagi elementlar soni p ga bo'linadi (p ning bo'luvchisi sifatida. Shunday qilib,
bu |H| = p
p
,
,
7
).
= |S1| = | Chorshanba (Si)| | Orb (Si)|,
. Keyin har kim uchun
k p
l p sonining buzoq p
|H| = |H¯ | |(c)| = p
u holda H kichik guruhi kerakli guruhdir.
lÿ1 l · p = p
. . , Sn(p)} orbitalarga
bo'linish, bizda bitta elementli orbita Orb (S1) = {S1}, boshqa orbitalar uchun esa i > 1 (bir
nechta elementni o'z ichiga olgan)
b) Saylou uchinchi teoremasini isbotlashni yakunlash. Shunday qilib, SS1 =
{S1, ko'pburchakni hisobga olsak .
Xulosa 1. Cheklangan guruhda Sylow p-guruhi yagona bo'ladi (ya'ni, n(p) = 1), agar ushbu
Sylow kichik guruhi oddiy kichik guruh bo'lsa.
.
k p
Natija 2 (cheklangan p-guruhlar uchun Lagranj teoremasining inversiyasi). G chekli p-guruh
bo'lsin, |G| = p bo'luvchi pl ÿ k, p soni G guruhining H kichik guruhi
mavjud shundayki
Isbot (k da induksiya bo'yicha). K = 0 holati aniq. |G| bo'lsin = > 1. G p-guruhning Z(G)
markazidagi teorema bo‘yicha: |Z(G)| > 1. Tuzilish teoremasining xulosasi tufayli cheklangan
Abel guruhi Z(G) uchun Lagranj teoremasi teskari. Xususan, del-= |H| uchun Z(G) guruhida p
elementlarning siklik kichik guruhi (c) mavjud. Ko'rinib turibdiki, (c) G. U holda G¯ = G/(c) bo'lak
guruhi uchun bizda: |G¯| = |G|/p = p . Induktiv gipoteza tufayli (chunki
< pk ) G¯ da H¯ kichik guruhi bor, shundayki |H¯ | = p H¯ = H/(c), bu
yerda H G ning kichik guruhi, shundayki (c) ÿ H ÿ G.
, unda
Qanaqasiga
n(p) = 1 + pq.
Machine Translated by Google

---

15 ta elementdan iborat GURUHLARI
hP hÿ1 = gP gÿ1 ,
Shunday qilib,
AG, BG dan AB kichik guruh ekanligi kelib chiqadi. beri |A| = 3, |B| = 5, keyin A ÿ=
Z3, B ÿ= Z5, |A ÿ B| = 1, ya'ni A ÿ B = {e}. Shuning uchun AB = A × B va
g ÿ1hP(g ÿ1h) ÿ1
gP gÿ1 ÿ gMgÿ1 = M,
Shunday qilib,
shuning uchun P va gP gÿ1 M guruhining ikkita Sylow p-kichik guruhidir. Sylowning
ikkinchi teoremasi boÿyicha P va gP gÿ1 kichik guruhlari h ÿ M elementi bilan
konjugatsiyalangan,
va shuning uchun
M · NG(P) = G.
Xulosa 3. Agar MG va P M guruhining Sylow p kichik guruhi bo'lsa va NG(P) G dagi P
kichik guruhining normalizatori bo'lsa, u holda
M · NG(P) = G.
8
Isbot. Unda g ÿ G bo‘lsin
Shunung uchun
= P.
g ÿ1h ÿ NG(P),
G chekli guruh bo'lsin, |G| = 15 = 3 5. 15 sonining barcha bo'luvchilari 1, 3, 5, 15
ni hisobga olsak, biz n(3) = 1 va n(5) = 1 ekanligini ko'ramiz. Shuning uchun yagona
(va shuning uchun normal) 3 Sylow mavjud. -A kichik guruhi va 5-kichik B guruhi.
g = hhÿ1 g = h(g -1h) ÿ M · NG(P).
Machine Translated by Google

---

l
l
l
SILOW TEOREMALARINI FINITENING SODDAY
EMASLIGINI ISOLLASH UCHUN QO'LLANISH.
GURUHLAR
9
Isbot. Buning aksini faraz qilaylik, G shunday guruh bo'lsin. Keyin G tarkibida Sylow p-
kichik guruhi S, |S| mavjud = p, (G: S) = m. Cheklangan abel bo'lmagan p-guruhlari
oddiy bo'lmagani uchun (markaz notrivial normal kichik guruhdir), biz m > 1 deb
taxmin qilishimiz mumkin. Bu aniq (S ga nisbatan G kosetalar to'plamiga harakat)
gomomorfizm mavjudligi. z: G ÿ Sm shunday , bu ker s ÿ S. G oddiy guruh ekan, ker
ÿ = {e}, ya'ni z in'ektsiyadir. Shuning uchun G ÿ= ph(G) ÿ Sm. Lagranj teoremasiga
ko'ra p lm | m!, shuning uchun p | (m ÿ 1)!, bu zid keladi
Lemma 4. Agar p tub son bo'lsa, G chekli p-guruh va |G| > p, keyin G guruhi oddiy
emas.
2) 12 ta elementdan iborat barcha guruhlarni tavsiflang.
bizning taxminimizni o'qiydi.
Lemma 3. |G| tartibli abel bo'lmagan oddiy G guruhlari yo'q = p lm, bu erda p - tub
son, p m bo'lmaydi, p bo'linmaydi (m - 1)!.
1-mashq. 1) isbotlang, agar |G| = 175 = 52 · 7, keyin G guruhi Abeliandir.
|AB| = 3 × 5 = 15, ya'ni AB = G. Demak, G = A × B ÿ= Z3 ÿ Z5 ÿ= Z15, ya'ni faqat 15
ta elementdan iborat yagona (izomorfizmgacha) chekli guruh - Z15 siklik guruhi
mavjud.
Machine Translated by Google

---

a) oddiy G guruh bo'lsin, n = |G| = 30 = 2 · 3 · 5. S oddiy G guruhining Sylow 5 kichik
guruhi boÿlsin, |S| = 5. Konjugat Sylow 5-kichik guruhlarning r5 soni (30 va r5 ÿ 1 (mod
5) ning bo'luvchisi sifatida ) 1 yoki 6 ga teng. Ammo r5 = 1 bo'lsa, SG, bu guruhning
soddaligiga zid keladi. G. Demak, r5 = 6, for Bu holda, har biri besh elementdan iborat
ikki xil Sylow 5-kichik guruhlarning kesishishi {e} ga teng. Shunday qilib, ularning
birlashmasi 24 ni o'z ichiga oladi
v) oddiy G guruh bo'lsin, n = |G| = 56 = 23 7. S G ning Sylow 7 kichik guruhi boÿlsin.
Chunki r7 = 8 (r7 | 56, r7 ÿ 1 (mod 7)) va yetti elementdan iborat har qanday ikkita
alohida kichik guruhning kesishishi { e ga teng. }, keyin ularning birlashmasi 48 ta
noaniq elementni o'z ichiga oladi.
b) oddiy G guruh bo'lsin, n = |G| = 40 = 23 5. S G ning Sylow 5 kichik guruhi bo'lsin.
r5 = 1 (r | 40, r ÿ 1 (mod 5)) bo'lgani uchun PG, shuning uchun G oddiy bo'lishi mumkin
emas.
56 = |G|, lekin r8 > 1 (agar r8 = 1 bo'lsa, sakkizdan iborat bu Sylow kichik guruhi
Isbot. 2, 3, raqamlaridan oldingi ikkita lemma tufayli. . . , 59 faqat n = |G| holatlarini ko'rib
chiqish kerak = 30, 40, 56.
10
|G| bilan = 30 oddiy bo'lishi mumkin emas.
Teorema 5. Tartibi 60 dan kichik bo'lgan G chekli guruhlardan |G| < 60, abel bo'lmagan
oddiy guruhlar mavjud emas.
Sylow 2 kichik guruhi sakkizta elementni o'z ichiga oladi, shuning uchun 48 + 8 =
Xuddi shunday, Sylow 3-kichik guruhlarning r3 soni 10 ga teng (r3 = 1, r3 30 ning
bo'luvchisi, r3 ÿ 1 (mod 3)) va ularning birlashuvi 20 ta noaniq elementni o'z ichiga oladi.
24+20 = 44 > 30 bo'lgani uchun biz qarama-qarshilikni olamiz. Shunday qilib, G guruhi
birlik bo'lmagan elementlar.
bu bizning taxminimizga ziddir.
Isbot. Z(G) ning markazi notrivial, Z(G) esa G. Agar Z(G) = G bo‘lsa, G guruhi
oddiy emas. Agar Z(G) = G bo'lsa, u holda G abel guruhidir.
Agar u oddiy bo'lsa, |G| = p,
Machine Translated by Google

---

elementlar normaldir, bu bizning G guruhimizning soddaligiga ziddir), ammo bizning
guruhimizdagi ikkinchi Sylow 2-kichik guruhining o'ziga xos bo'lmagan elementlari uchun
Balansda elementlarni hisoblash uchun endi joy yo'q. Bizda qarama-qarshilik bor.
11
Machine Translated by Google