Sonli qatorlar. Qator yaqinlashuvining zaruriy va yetarli shartlari

Sonli qatorlar. Qator yaqinlashuvining zaruriy va yetarli shartlari

Sonli qatorlar. Qator yaqinlashuvining zaruriy va yetarli shartlari.
Reja

1. Sonli qatorlar. Qator yaqinlashuvining zaruriy sharti.

   
   

2. Qator yaqinlashuvining yetarli shartlari: Taqqoslash belgisi; Dalamber belgisi; Koshi belgisi; integral belgisi.

   
   

3. Ishorasi almashinuvchi qator yaqinlashuvining Leybnits belgisi.

   
   

4. Ixtiyoriy hadli qatorning absolyut va shartli yaqinlashishi.

   
   

Asosiy tushuncha va ta’rifi.

Ta’rif 1: (1) cheksiz sonlar ketma- ketligi berilgan boʻlsin.
Ushbu ifoda sonli qator deyiladi. Bunda sonlar qatorning hadlari deyiladi.
Ta’rif 2: Qatorning n-ta chekli hadlarining yigʻindisi

qatorning n- qismiy yigʻindisi deyiladi. Qismiy yigʻindilarni quyidagicha tuzish mumkin.

Agar - chekli limit mavjud b0`lsa, qator yaqinlashuvchi, S-uning yigʻindisi deyiladi.
Agar limit mavjud boʻlmasa ( ya’ni boʻlsa) u holda qator uzoqlashadi va uning yigʻindisi boʻlmaydi.
Quyidai

ifoda qatorning n-qoldigʻI deyiladi.

Geometrik progressiy hadlaridan tuzilgan qator.
Geometrik progressiyaning hadlaridan tuzilgan

qator boʻlganda uzoqlashuvchi, oʻlganda yaqinlashuvchi( bunda u yigʻindigo ega).

Ushbu

qator garmonik qator deb ataladi, u uzoqlashuvchidir.

Umumiy garmonik qator (yoki Drixli qatori) deb ataluvchi

qator da uzoqlashuvchi, da yaqinlashuvchidir.

Qator yaqinlashuvining zaruriy sharti.
Qatorlarning yaqinlashishi va uzoqlashishi masalasini koʻrib chiqamiz.
Qator yaqinlashuvchi boʻlishining zaruriy sharti:Agar qator yaqinlashsa, u holda .
Qator uzoqlashuvchi boʻlishining 9qator uzoqlashishining) etarli sharti : Agar boʻlsa, qator uzoqlashadi.
Teorema: Agar qator yaqinlashsa, n cheksiz oʻsib borganda uning n- hadi nolga intiladi.
Isboti; Faraz qilaylik,

qator yaqinlashsin, ya’ni tenglik ham oʻrinli, chunki boʻladi. Birinchi tenglikdan ikkinchi tenglik hadlab ayirib, quyidagini hosil qilamiz., lekin

yoki ,lekin ga teng.
Demak,
Natija: Agar da qatorning n- hadi nolga intilmasa, u holda qator uzoqlashadi.
Misol: qator uzoqlashadi, chunki
Bu alomat faqat zaruriy shartlardir, etarli emas, ya’ni n- hadining nolga intlishidan, qatorning yaqinlashishi kelib chiqmasligini, qator uzoqlashuvchi ham boʻlishi mumkinligini takidlaymiz.
Masalan, garmonik qator deb aytiladigan ushbu

Qator boʻlsa ham, uzoqlashadi.

Qatorning xossalari.
Teorema-1: Agar berilgan qatorning bir qancha hadlarini tashlash bilan hosil qilingan qator yaqinlashsa, berilgan qatorning oʻzi ham yaqinlashadi. Aksincha, agar berilgan qator yaqinlashsa, uning bir qancha hadlarini tashlash bilan hosil qilingan qator ham yaqinlashadi.
Demak, qatorning chekli sondagi hadlarini yaqinlashishiga ta’sir qilmaydi.
Teorema. 2: Agar (2) qator yaqinlashsa va yigʻindisi S ga teng boʻlsa, (3)nqator ham yaqinlashadi va yigʻindisi cS ga teng boʻladi, bunda c biror belgilangan oʻzgarmas son.
Isboti: (2) qatorning n- qismiy yigʻindisini bilan, (3) qatorning qismiy yigʻindisini esa bilan belgilaymiz. U holda

Bundan boʻlgani uchun (3) qator n- qismiy yigʻindisining limiti mavjud ekanligi kelib chiqadi. Demak, (3) qator yaqinlashadi va uning yigʻindisi cS ga teng.

Teorema 3: Agar

qatorlar yaqinlsa va ularning yigʻindilari mos ravishda va ga teng boʻladi.

Taqqoslash belgisi.
Agar musbad hadli ikkita va ator berilgan boʻlib, biror N nomerdan boshlab tengsizlik bajarilsa u holda:

1. qatorning yaqinlashishidan qatorning ham yaqinlashishi kelib chiqadi.

   
   

2. qatorning uzoqlashishidan qatorning ham uzoqlashishi kelib chiqadi.

   
   

Misol.
Qator yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanini tekshiring.

Yechish. ekanligi ravshan. qator maxraji boʻlgan geometric progressiya hadlari yigʻindisidan iborat va yaqinlashuvchi.Taqqoslash alomatiga koʻra berilgan qator ham yaqinlashuvchidir.
Misol. Ushbu

qatorning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanini tekshiring.

Yechish. Barcha uchun armonik qatorning uzoqlashuvchanligidan va taqqoslash alomatidan berilgan qatorning ham uzoqlashuvchi boʻlishi kelib chiqadi.

Dalamber belgisi.