Sumqayit döVLƏt universitetiNİN

Əyrixətli sektorun sahəsi

Müstəvi üzərində OA və OB radius – vektorları və AB əyrisi ilə hüdudlanmış fiqura baxaq. Belə fiqura mərkəzi koordinat başlanğıcında olan əyrixətli sektor deyilir.

Polyar koordinat sistemində AB əyrisinin 𝜌 = 𝑓⁽𝜃⁾(𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽) tənliyi verildikdə OAB əyrixətli sektorunun sahəsini hesablayaq.𝐵𝜃

𝜃₁𝜃₀

O 𝛼𝜃_𝑘 𝜃_𝑘+1𝜌

Bu məqsədlə [𝛼, 𝛽 ] parçasını 𝜃₀ = 𝛼 < 𝜃₁ < 𝜃₂ < ⋯ < 𝜃_𝑛−1 < 𝜃_𝑛 = 𝛽 bölgüsünü götürək və 𝜃 = 𝜃₀ = 𝛼, 𝜃 = 𝜃₁, 𝜃 = 𝜃₂, … 𝜃 = 𝜃_𝑛 = 𝛽 şüaları verilmiş sektoru n hissəyə bölək. Çəkilmiş radius-vektorlar arasındakı bucaqları uyğun olaraq ∆𝜃₁∆𝜃₂, … ∆𝜃_𝑛 ilə işarə edək.

𝜃_𝑘 𝑣ə 𝜃_𝑘+1 arasında yerləşən 𝜃_𝑘 bucağına uyğun radius-vektroun uzunluğunu 𝜌_𝑘

ilə işarə edək.
Radiusu 𝜌_𝑘 və mərkəzi bucağı∆𝜃_𝑘 olan dairə vektorunun sahəsi
1 ₂

∆𝑆_𝑘 = ₂ 𝜌_𝑘 ∆𝜃_𝑘
olduğundan
𝑛 𝑛


1 ₂ 1 _{| 2|}

𝑆_𝑛 = ₂ ∑ 𝜌_𝑘

𝑘=1
cəmi pilləvari sektorun sahəsini verər.

∆𝜃_𝑘 = ₂ ∑

𝑘=1

𝑓(𝜃_𝑘)

∆𝜃_𝑘

Bu cəm 𝜌 = 𝑓(𝜃) funksiyasının (𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽) parçasında inteqral cəmidir və ona görə 𝜆 → 0 şərtində onun limiti

^{S=1 𝑝2𝑑𝜃 𝑣ə 𝑦𝑎 𝑆 = 1} ∫^{𝛽 𝑓2 (𝜃)𝑑𝜃 (5)}

2 2 ^𝛼

əyrixətli sektorun sahəsini verər.

2. 
   Əyri qövsünün uzunluğu
   

Tutaq ki, Г=(AB) müstəvi əyrisi düzbucaqlı koordinat sistemində y=f(x) (a≤x≤b) tənliyi ilə verilmişdir. [a, b] parçasının ixtiyari a=𝑥₀ < 𝑥₁ < 𝑥₂ < ⋯ < 𝑥_𝑛−1 < 𝑥_𝑛 = 𝑏 bölgüsünə, əyri üzərində, koordinatları uyğun olaraq

𝑥_𝑘 𝑣ə 𝑦_𝑘 = 𝑓⁽𝑥_𝑘⁾⁽𝑘 = 0, 1, … 𝑛⁾ 𝑜𝑙𝑎𝑛 𝐴 = 𝑀₀, 𝑀₁, … 𝑀_𝑛−1, 𝑀_𝑛 = 𝐵 nöqtələri uyğun olar.

Bu nöqtələri ardıcıl olaraqdüz xətt parçaları ilə birləşdirdikdə Г əyrisi daxilinə çəkilmiş

𝑀₀, 𝑀₁, … 𝑀_𝑛−1, 𝑀_𝑛 sınıq xətti adlanır. Onda Г əyrisi daxilinə çəkilmiş sınıq xəttin uzunluğu y

𝑛−1

𝑃_𝑛 = ∑ ∆𝑙_𝑘

𝑘=0

olar. Sınıq xəttin ən böyük tərəfinin uzunluğu 𝜆 olsun:
𝜆 = max⁽∆𝑙₀, ∆𝑙₁, … ∆𝑙_𝑛−1⁾.
Tərif. Г əyrisi daxilinə çəkilmiş sınıq xəttin uzunluğunun 𝜆 → 0 şərtində sonlu limiti varsa həmin əyriyə sonlu uzunluqlu əyri və

𝑛−1


𝑘
𝑙 = lim ∑ ∆𝑙

𝜆→0
(6)

𝑘=0
limitinə onun uzunluğu deyilir.
Hamar Г əyrisi üçün (yəni f(x) funksiyası və onun f′(x) törəməsi [a, b] parçasında kəsilməyən olduqda (6) limiti var. Doğrudan da, ∆𝑥_𝑘 = 𝑥_𝑘+1 − 𝑥_𝑘 və ∆𝑦_𝑘 = 𝑓(𝑥_𝑘+1) −

𝑓(𝑥_𝑘)olduğunu nəzərə alsaq

olar.

𝑛−1

𝑃_𝑛 = ∑ ^√1 + ^[f′(𝜉_𝑘)^]2∆𝑥_𝑘

𝑘=0

^{Bu ifadə [a, b] parçasında kəsilməyən} √^{1 + [f′(x)]2 funksiyasının inteqral cəmidir.}

Buna görə də müəyyən inteqralın tərifinə əsasən

𝑛−1

𝑏

𝑙 = lim ∑ ^√1 + ^[f′(𝜉_𝑘)^]2∆𝑥_𝑘 = ∫ ^√1 + ^[f′(x)^]2𝑑𝑥

(7)

𝑎
𝜆→0

𝑘=0
olar.

İndi fərz edək ki, hamar Г əyrisinin tənliyi

_{ y = 𝜓⁽𝑡⁾

𝑦 = 𝜑(𝑡)

, (𝛼 ≤t≤ 𝛽)

parametrik şəkildə verilmişdir və 𝜑′(x) törəməsi [𝛼, 𝛽 ] parçasında heç yerdə sıfra çevrilmir. Onda

𝑑𝑦 ₌ 𝜓′(t)

𝑑𝑥 𝜑′(t)
olduğunu nəzərə alaraq, (7) inteqralında x= 𝜑(𝑡) əvəzləməsini (a= 𝜑⁽𝛼⁾, 𝑏 = 𝜑(𝛽)) aparmaq olar:

𝛽 ^𝜓′(t) 2 ^′ 𝛽 ′ 2 2

𝑙 = ∫ ^√1 + [ ] 𝜑 ⁽t⁾ = ∫ ^√[𝜑 ⁽t⁾] + [𝜓′(t)]

𝑑𝑡.

_𝛼 𝜑′(t) _𝛼
Buradan parametrik şəkildə verilmiş hamar Г əyrisinin uzunluğunu hesablamaq üçün
𝛽

𝑙 = ∫ ^√𝑥^′2 + 𝑦^′2 𝑑𝑡 (8)

1 1

𝛼
düsturu alınır.

Əgər hamar Г əyrisinin parametrik tənliyi

y = 𝜓⁽𝑡⁾

{ 𝑦 = 𝜑⁽𝑡⁾

𝑧 = 𝜒(𝑡)
, (𝛼 ≤t≤ 𝛽)

Şəklində verilərsə, eyni mühakimə ilə onun uzunluğunu
𝛽

∫ ^√[𝜑^′(t⁾]² + [𝜓′(t)]² + 𝜒^′(t⁾]² (9)

𝛼
düsturu ilə hesablamaq olar.

4. 
   Cisimlərin həcminin hesablanması
   

1. 
   Paralel kəsiklərinin sahəsinə görə həcmin hesablanması.
   

Tutaq ki, fəzada v cismi verilmişdir. Bu cismin, ox oxuna perpendikulyar müstəvilərlə kəsiyinin sahəsi məlum olduqda, onun həcmini hesablamaq olar. v cisminin nöqtələri absislərinin ən kiçik a, ən böyüyü isə b olsun.
S

a x b x
V cisminin [a, b] parçasının x nöqtəsində (a≤ 𝑥 ≤ 𝑏) ox oxuna perpendikulyar keçirilmiş müstəvi ilə kəsiyinin sahəsini s(x) ilə işarə edək. S(x) funksiyasının [a, b] parçasında kəsilməz olmasını fərz edək.

[a, b] parçasının istənilən
a=x₀12<…n-1n=b
bölgüsünü götürək və x=x_k (k=0, 1, 2,...n) bölgü nöqtələrindən ox oxuna perpendikulyar müstəvilər keçirək. Bu müstəvilər v sistemini laylara bölür. Hər bir laya kiçik bir silindr kimi baxsaq, onda [x_k, x_k+1] parçasına uyğun layın oturacağının S(ξ_k) (x_k≤ ξ_k< x_k+1), hündürlüyü ∆x_k= x_k+1 - x_k və həcmi təqribən S(ξ_k) ∆x_k ədədinə bərabər olar.

Onda bütün silindrlərin həcmi üçün

𝑛−1

𝜈_𝑛 = ∑ 𝑆(ξ_𝑘)∆𝑥_𝑘 (11)

𝑘=0
bərabərliyini yazmaq olar.

Tərif. (11) cəminin 𝜆 → 0 şərtində limiti varsa həmin limitə v cisminin həcmi deyilir və v ilə işarə olunur:

𝑛−1

𝑘 𝑘
𝜈 = lim ∑ 𝑆(ξ )∆𝑥 (12)

𝜆→0

𝑘=0
Sonlu həcmi olan cismə kublanan cism deyilir.
(11) cəmi s(x) funksiyasının [a, b] parçasının istənilən bölgüsünə uyğun inteqral cəmidir. Ona görə də (12) bərabərliyindən

𝑏

𝜈 = ∫ 𝑆⁽𝑥⁾𝑑𝑥 (13)

𝑎
münasibəti alınar.

2. 
   Fırlanmadan alınan cismin həcmi.
   

Əgər v cismi y=f(x)≥ 0 (a≤ 𝑥 ≤ 𝑏) əyrisinin ox oxu ətrafında fırlanmasından alınmışsa, onda onun ox oxuna perpendikulyar müstəvilərlə kəsikləri dairələr olar. Bu halda

S(x)=𝜋𝑦² = 𝜋[𝑓(𝑥]²
olar və buna görə də (13) düsturundan
𝑏

𝜈 = 𝜋 ∫ [ 𝑓(𝑥]²𝑑𝑥 (14)

𝑎
alınar.

4.