Tasodifiy tajribalar

1.2-misol. A, B va C -ixtiyoriy hodisalar bo’lsin. Bu hodisalar orqali quyidagi hodisalarni ifodalang: D={uchchala hodisa ro’y berdi}; E={bu hodisalarning kamida bittasi ro’y berdi}; F={bu hodisalarning birortasi ham ro’y bermadi}; G={bu hodisalarning faqat bittasi ro’y berdi}.
Hodisalar ustidagi amallardan foydalanamiz: ; ; .
Demak hodisalarni to’plamlar kabi ham talqin etish mumkin ekan.

Belgilash				To’plamlar nazariyasidagi	Ehtimollar nazariyasidagi talqini
				talqini
				Fazo (asosiy to’plam)	Elementar hodisalar fazosi,
					muqarrar hodisa
				 fazo elementlari	 elementar hodisa
A,	A 			A to’plam	A hodisa
AB, A B				A va B to’plamlarning	A va B hodisalar yig’indisi ( A
				yig’indisi, birlashmasi	va B ning kamida biri ro’y
					berishidan iborat hodisa)
AB, AB				A va B to’plamlarning	A va B hodisalar ko’paytmasi
				kesishmasi	( A va B ning birgalikda ro’y
					berishidan iborat hodisa)
A\B, AB				A to’plamdan	A hodisadan B hodisaning
				B to’plamning ayirmasi	ayirmasi( A ning ro’y berishi,
					B ning ro’y bermasligidan iborat
					hodisa)
				Bo’sh to’plam	Mumkin bo’lmagan hodisa
				A to’plamga to’ldiruvchi	A hodisaga teskari hodisa( A
		A
					ning ro’y bermasligidan iborat)
AB ,				A va B to’plamlar	A va B hodisalar birgalikda
AB				kesishmaydi	Emas
A  B				A to’plam B ning qismi	A hodisa B ni ergashtiradi
A  B				A va B to’plamlar ustma-	A va B hodisalar teng kuchli
				ust tushadi

Hodisalar va ular ustidagi amallarni Eyler-Venn diarammalari yordamida tushuntirish(tasavvur qilish) qulay. Hodisalar ustidagi amallarni
1-5 rasmlardagi shakllar kabi tasvirlash mumkin.

A B A-B

A B

Ω

A

B



1-rasm.

AB

B

A

2-rasm.

A

Ā

A



3-rasm. 4-rasm.

A  B

B

A



5-rasm.

Hodisalar ustidagi amallar quyidagi xossalarga ega;

• 
  ,
  
• 
  
  
• 
  , ;
  
• 
  , ;
  
• 
  , , , ;
  
• 
  , ,
  
• 
  , , ;
  

• 
  
  
• 
  va - de Morgan ikkilamchilik prinsipi.
  

1.3-misol.
a) ifodani soddalashtiring.
Yuqoridagi xossalardan foydalanamiz:

Demak, ekan .
b) A  B  A  A  B formulani isbotlang.


1.4 tasodifiy hodisalar. Hodisalar algebrasi

Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalarini keltiramiz.

Natijasi tasodifiy bo`lgan biror tajriba o`tkazilayotgan bo`lsin. -tajriba natijasida ro`y berishi mumkin bo`lgan barcha elementar hodisalar to`plami elementar hodisalar fazosi deyiladi; tajribaning natijasi  esa elementar hodisa deyiladi.
Agar chekli yoki sanoqli to`plam bo`lsa (ya`ni elementlarini natural sonlar yordamida nomerlash mumkin bo`lsa), u holda uning ixtiyoriy qism to`plami A tasodifiy hodisa (yoki hodisa) deyiladi: A  .
to`plamdagi A qism to`plamga tegishli elementar hodisalar A hodisaga qulaylik yaratuvchi hodisalar deyiladi.
to`plam muqarrar hodisa deyiladi.  -bo`sh to`plam mumkin bo`lmagan hodisa deyiladi.
S- ning qism to`plamlaridan tashkil topgan sistema bo`lsin.
Agar chekli yoki sanoqli to`plam bo`lsa (ya`ni elementlarini natural sonlar yordamida nomerlash mumkin bo`lsa), u holda uning ixtiyoriy qism to`plami A tasodifiy hodisa (yoki hodisa) deyiladi: A  .
to`plamdagi A qism to`plamga tegishli elementar hodisalar A hodisaga qulaylik yaratuvchi hodisalar deyiladi.
to`plam muqarrar hodisa deyiladi.  -bo`sh to`plam mumkin bo`lmagan hodisa deyiladi.
S- ning qism to`plamlaridan tashkil topgan sistema bo`lsin.
Agar

1. 
   , ;
   
2. 
   munosabatdan kelib chiqsa;
   
3. 
   va munosabatdan , kelib chiqsa S sistema algebra tashkil etadi deyiladi.
   
4. 
   Takidlash joizki, , ekanligidan 3 shartdagi va munosabatlardan ixtiyoriy bittasini talab qilish yetarlidir.
   

1.4-misol. sistema algebra tashkil etadi:
Agar 3 shart o’rniga quyidagilarni talab qilsak munosabatdan kelib chiqsa S Sistema algebra deyiladi. Agar chekli yoki sanoqli bo’lsa, -to`plamning barcha qism to`plamlaridan tashkil topgan hodisalar sistemasi algebra tashkil etadi.

1.5 Ehtimollikning statistik ta’rifi.

A hodisa n ta bog’liqsiz tajribalarda marta ro’y bersin. soni A hodisaning chastotasi, munosabat esa A hodisaning nisbiy chastotasi n deyiladi.

Nisbiy chastotaning statistik turg’unlik xossasi deb ataluvchi xossasi mavjud, ya‘ni tajribalar soni oshishi bilan nisbiy chastotasi ma‘lum qonuniyatga ega bo’ladi va biror son atrofida tebranib turadi.
Misol sifatida tanga tashlash tajribasini olaylik. Tanga A={Gerb} tomoni bilan tushishi hodisasini qaraylik. Byuffon va K.Pirsonlar tomonidan o’tkazilgan tajribalar natijasi quyidagi jadvalda keltirilgan:

Tajriba	Tajribalar soni, n	Tushgan gerblar	Nisbiy chastota,
o’tkazuvchi		soni,
Byuffon	4040	2048	0.5080
K.Pirson	12000	6019	0.5016
K.Pirson	24000	12012	0.5005

Jadvaldan ko’rinadiki, n ortgani sari nisbiy chastota ga yaqinlashar ekan.

Agar tajribalar soni etarlicha ko’p bo’lsa va shu tajribalarda biror A hodisaning nisbiy chastotasi biror o’zgarmas son atrofida tebransa, bu songa A hodisaning statistik ehtimolligi deyiladi.
A hodisaning ehtimolligi simvol bilan belgilanadi. Demak, yoki yetarlicha katta lar uchun .
Statistik ehtimollikning kamchiligi shundan iboratki, bu yerda statistik ehtimollik yagona emas. Masalan, tanga tashlash tajribasida ehtimollik sifatida nafaqat 0.5, balki 0.49 yoki 0.51 ni ham olishimiz mumkin. Ehtimollikni aniq hisoblash uchun katta sondagi tajribalar o’tkazishni talab qiladi, bu esa amaliyotda ko’p vaqt va xarajatlarni talab qiladi.
Statistik ehtimollik quyidagi xossalarga ega:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   P() 1;
   
4. 
   bo’lsa, u holda
   

Isbot. 1) Ixtiyoriy A hodisaning chastotasi uchun .
Yetarlicha katta n lar uchun bo’lgani uchun bo’ladi.

2. 
   Mumkin bo’lmagan hodisa uchun n_A=0.
   
3. 
   Muqarrar hodisaning chastotasi n_A=n.
   

2. 
   Agar A B  bo’lsa, u holda n_AB  n_A  n_B va .
   

1.6 Ehtimollikning klassik ta’rifi

chekli n ta teng imkoniyatli elementar hodisalardan tashkil topgan bo’lsin.
A hodisaning ehtimolligi deb, A hodisaga qulaylik yaratuvchi elementar hodisalar soni k ning tajribadagi barcha elementar hodisalar soni n ga nisbatiga aytiladi.
(1.6.1)
Klassik ta‘rifdan foydalanib, ehtimollik hisoblashda kombinatorika elementlaridan foydalaniladi. Shuning uchun kombinatorikaning ba‘zi elementlari keltiramiz. Kombinatirikada qo’shish va ko’paytirish qoidasi deb ataluvchi ikki muhim qoida mavjud.
va chekli to’plamlar berilgan bo’lsin.
Qo‘shish qoidasi: agar A to’plam elementlari soni n va B to’plam elementlari soni m bo’lib, ( A va B to’plamlar kesishmaydigan) bo’lsa, u holda to’plam elementlari soni bo’ladi.
Ko‘paytirish qoidasi: A va B to’plamlardan tuzilgan barcha juftliklar to’plami ning elementlari soni bo’ladi.
n ta elementdan tadan tanlashda ikkita sxema mavjud: qaytarilmaydigan va qaytariladigan tanlashlar. Birinchi sxemada olingan elementlar qayta olinmaydi (orqaga qaytarilmaydi), ikkinchi sxemada esa har bir olingan element har qadamda o’rniga qaytariladi.

1. 
   Qaytarilmaydigan tanlashlar sxemasi
   

Guruhlashlar soni : n ta elementdan tadan guruhlashlar soni quyidagi formula orqali hisoblanadi:
(1.6.2)
sonlar Nyuton binomi formulasining koeffisientlaridir:

O’rinlashtirishlar soni: n ta elementdan m tadan o’rinlashtirshlar soni quyidagi formula orqali hisoblanadi:
(1.6.3)
O’rin almashtirishlar soni: n ta elementdan n tadan o’rinlashtirish o’rin almashtirish deyiladi va u quyidagicha hisoblanadi.
(1.6.4)
O’rin almashtirish o’rinlashtirshning xususiy holidir. Chunki agar (1.6.3) da n=m bo’lsa bo’ladi.
II. Qaytariladigan tanlashlar sxemasi
Qaytariladigan guruhlashlar soni: n ta elementdan m tadan qaytariladigan guruhlashlar soni quyidagi formula orqali hisoblanadi:
(1.6.5)
Qaytariladigan o’rinlashtirishlar soni: n ta elementdan tadan qaytariladigan o’rinlashtirshlar soni quyidagi formula orqali hisoblanadi:
(1.6.6)
Qaytariladigan o‘rin almashtirishlar soni: k hil n ta elementdan iborat to’plamda 1-element n₁ marta, 2-element n₂ marta,…, k- element n_k marta qaytarilsin va bo’lsin, u holda n ta elementdan iborat o’rin almashtirish orqali belgilanadi va u quyidagicha hisoblanadi:
(1.6.7)
Endi ehtimollik hisoblashga doir misollar keltiramiz.
1.5-misol. Telefon nomeri terayotganda oxirgi ikki raqamni eslay olmadi. U bu raqamlar har xil ekanligini eslab, ularni tavakkaliga terdi. Telefon nomeri to’g’ri terilganligi ehtimolligini toping.
Oxirgi ikki raqamni usul bilan terish mumkin. A={telefon nomeri to’g’ri terilgan} hodisasini kiritamiz. A hodisa faqat bitta elementdan iborat bo’ladi(chunki kerakli telefon nomeri bitta bo’ladi). Shuning uchun klassik
ta‘rifga ko’ra: .
1.6-misol. 100 ta lotoreya biletlarlaridan bittasi yutuqli bo’lsin. Tavakkaliga olingan 10 lotoreya biletlari ichida yutuqlisi bo’lishi ehtimolligini toping.
100 ta latoreya biletidan 10 tasini usul bilan tanlash mumkin. B={10 latereya biletlari ichida yutuqlisi bo’lishi} hodisasi bo’lsa, va
1.7-misol. Pochta bo’limida 6 xildagi otkritka bor. Sotilgan 4 ta otkritkadan: a) 4 tasi bir xilda; b) 4 tasi turli xilda bo’lishi ehtimolliklarini toping.
6 xil otkritkadan 4 tasini usul bilan tanlash mumkin. a) A={4 ta xildagi otkritka sotilgan} hodisasi bo’lsin. A hodisaning elementar hodisalari soni otkritkalar xillari soniga teng, ya‘ni N(A)=6. Klassik ta’rifga ko’ra bo’ladi. b) B={4 ta har xil otkiritka sotilgan} hodisasi bo’lsin, u holda ga teng va .
Klassik ehtimollik quyidagi quyidagi xossalarga ega:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   Agar bo’lsa, u holda
   
5. 
   uchun
   

Isbot. 1) bo’lgani uchun klassik ta‘rifga ko’ra .
2). Klassik ta‘rifga ko’ra .
3). Ihtiyoriy A hodisa uchun ekanligidan bo’ladi.
4) Agar bo’lsa, u holda va
5) A+B va B hodisalarning birgalikda bo’lmagan ikki hodisalar yeg’indisi shaklida yozib olamiz:
(1.3-misol), , u holda 4-xossaga ko’ra va . Bu ikki tenglikdan kelib chiqadi.