7.5-eslatma. 7.7-teoremadagi funksional qatorning tekis yaqinlashuvchilik sharti yetarli bo’lib, u zaruriy shart emas.
7.10-misol. Ushbu
funksional qatorni da hadma-had differensiallash mumkinmi?
Yechilishi. Berilgan qatorning umumiy hadi da uzluksiz hosilaga ega bo’ladi. da berilgan funksional qator taqqoslash alomatiga ko’ra ( da ) yaqinlashuvchi va yig’indiga ega. Bundan tashqari, hosilalardan tuzilgan
funksional qator da Veyershtrass alomatiga ko’ra, tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
Demak, berilgan funksional qatorning yig’indisi da hosilaga ega va
.
7.11-misol. Ushbu
funksiyaning da uzluksiz va uzluksiz hosilaga ega ekanligini ko’rsating.
Yechilishi. funksiyalar da uzluksiz va uzluksiz hosilalarga ega. funksional qator, Veyershtrass alomatiga asosan, da tekis yaqinlashuvchi.
Demak, 7.7-teoremaga asosan, berilgan qatorni hadma-had differensiallash mumkin va
Bundan tashqari, 7.2-teoremaga asosan, va funksiyalar da uzluksiz bo’ladi.
7.8. Funksional ketma-ketliklarni hadma-had differensiallash. cyegmentda yaqinlashuvchi (7. 2) funksional ketma-ketlik berilgan bo’lib, uning limit funksiyasi bo’lsin.
7.8-teorema. Agar funksional ketma-ketlikning har bir hadi cyegmentda uzluksiz hosilaga ega bo’lib, bu hosilalardan tuzilgan
funksional ketma-ketlik cyegmentda tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda limit funksiya shu cyegmentda hosilaga ega bo’lib, bu hosila ketma-ketlikning limitiga teng bo’ladi.
7.12-misol. Ushbu
funksional ketma-ketlik da limit funksiyaga tekis yaqinlashsa ham
bo’lishini ko’rsating.
Yechilishi. Barcha va lar uchun
bo’ladi. funksional ketma-ketlikning da tekis yaqinlashuvchi ekanligini ko’rsatamiz:
Endi bo’ladi. Bu yerdan
7.13-misol. Ushbu
ketma-ketlikning segmentda notekis yaqinlashuvchiligini, hamda
(*)
tenglikning o’rinli ekanligini ko’rsating.
Yechilishi. va da .
da ; ,
,
.
Demak, berilgan ketma-ketlik ga segmentda notekis yaqinlashuvchi. Endi (*) tenglikning o’rinli ekanligini ko’rsatamiz:
Bu yerdan (*) tenglikning o’rinli ekanligi kelib chiqadi.
Mustaqil yechish uchun misollar
to’plamda quyidagi funksional qatorlar yig’indisining uzluksiz ekanligini ko’rsating.
7.1. 7.2.
7. 3. 7.4. .
7.5. 7.6. .
7.7.
funksiyaning aniqlanish sohasini toping va uni uzluksizlikka tekshiring.
7.8. 7.9. 7.10.
7.11. 7.12.
Quyidagi limitlarni toping.
7.13. 7.14. . 7.15. .
7.16. 7.17.
Dostları ilə paylaş: |
