Təşkilati fəaliyyəti haqqında h e s a b a t I



Yüklə 0.75 Mb.
Pdf просмотр
səhifə1/5
tarix12.05.2017
ölçüsü0.75 Mb.
  1   2   3   4   5

 

 



 

АМЕА RMİ-nin “Funksiyalar nəzəriyyəsi” şöbəsinin 2014-cü il üçün elmi və elmi 

təşkilati fəaliyyəti haqqında 

 

H E S A B A T I 

 

I. Elmi fəaliyyəti haqqında 

 

 

Hesabat ilində «Çoxdəyişənli funksiyaların ridge funksiyalar, neyron şəbəkələr, 



xətti və qeyri-xətti superpozisiyalarla yaxınlaşması, funksional fəzalar üçün daxilolma 

teoremləri» mövzuları üzrə  7 icraçını birləşdirən  7 iş yerinə yetirilmişdir.  

         Ayrı-ayrı işlər haqqında. 

 

İş 1: Xətlər üzərində ridge funksiyalarla interpolyasiya  

(icr. f.-r.e.n., dos. V.E.İsmayılov) 

 

 



Riyaziyyatın bir sıra sahələrində ridge funksiyalar xüsusi  əhəmiyyət kəsb edir. 

Ridge  funksiya  dedikdə  g(a



x)  şəklində  olan  çoxdəyişənli  funksiya  başa  düşülür. 

Burada  g  -  birdəyişənli  funksiya,  a=(a

1

,…,a


n

)  –  sıfırdan  fərqli  vektor  (istiqamət), 



x=(x

1

,…,x



n

)  –  asılı  olmayan  dəyişən  və  a



x  –  skalyar  hasildir.  Bu  funksiyalar  təbii 

şəkildə  müxtəlif  elm  sahələrində  meydana  çıxır.  Bu  sahələrə  xüsusi  törəməli 

diferensial tənliklər nəzəriyyəsini (burada ridge funksiyalar müstəvi dalğalar adlanır), 

kompüter tomoqrafiyasını və riyazi statistikanı göstərmək olar.  

 

Ridge  funksiyaların  geniş  tətbiq  tapdıqları  müasir  elm  sahələrindən  biri  də 



neyron şəbəkələr nəzəriyyəsidir. Neyron şəbəkələr isə öz növbəsində kompüter elmi, 

maliyyə,  tibb,  mühəndislik,  fizika  və  s.  kimi  biri-birindən  fərqli  sahələrdə  istifadə 

olunur.  Ridge  funksiyalar  bir  sıra  başlıca  neyron  şəbəkə  modellərinin  əsasını  təşkil 

edirlər.  Məsələn,  neyron  şəbəkələr  nəzəriyyəsinin  ən  populyar  modeli  sayılan  MLP 

modeli ən sadə halda 

r



i=1

 c

i



(w

i



x-



i

) şəkilli funksiyalara baxır. Aydındır ki, 



(w

i



x-



i

) funksiyaları ridge funksiyalardır. Buna görə də neyron şəbəkələrə aid bir sıra nəzəri 



 

məsələlər  ridge  funksiyalara  aid  uyğun  məsələlərlə  sıx  bağlıdır  (bax:  "A.Pinkus, 



Approximation  theory  of  the  MLP  model  in  neural  networks,  Acta  Numerica.  8 

(1999), 143-195"). 

Ridge  funksiyalara  həsr  edilmiş  çoxlu  sayda  elmi  işlərin  olmasına  baxmayaraq  bəzi 

məsələlərin həlli üçün praktiki cəhətdən əlverişli üsullar hələ işlənib hazırlanmamışdır. 

 

Hesabat ilində   n  ölçülü  Evklid  fəzasının verilmiş  sonlu  sayda xətləri  üzərində 



ridge  funksiyalarla  interpolyasiya  məsələsi  araşdırılmışdır.  Iki  istiqamət  üzrə  ridge 

funksiyaların cəmləri çoxluğu ilə iki düz xətt üzərində interpolyasiyanın mümkünlüyü 

üçün  zəruri  və  kafi  şərtlər  tapılmışdır.  İsbat  edilmişdir  ki,  iki  istiqamət  üzrə  ridge 

funksiyaların  cəmləri  çoxluğu  ilə  üç  və  daha  çox  düz  xətt  üzərində  interpolyasiya 

mümkün deyil. Qeyd etmək lazımdır ki, uyğun məsələ müstəvinin nöqtələri üzərində 

N.Dyn,  W.Light  və  E.Cheney  tərəfindən  həll  edilmişdir.  Lakin  xətlər  üzərində 

interpolyasiya məsələsi indiyə qədər hələ tədqiq edilməmişdir. 

 

Tutaq  ki, 



 

 

  fəzasında 



 

 

    



 

 

  istiqamətləri  verilmişdir.  Aşağıdakı  çoxluğa 



baxaq 

   


 

 

 



 

    { 


 

  

 



        

 

  



 

       


 

                }  

Aydındır ki, 

   


 

 

 



 

  çoxluğu  

 

 

 



 

 istiqamətlərinə nəzərən ridge funksiyaların xətti 

kombinasiyaları  çoxluğudur.  Tutaq  ki, 

 



 

  fəzasında

bizə 


{  

 

   



 

},   


 

        


              düz  xətləri  verilmişdir.  Bu  düz  xətlər  üzərində  interpolyasiya  məsələsi 

dedikdə  elə  şərtlərin  tapılmasından  söhbət  gedir  ki,  istənilən 

 

 

                        



funksiyaları üçün  

    


 

   


 

     


 

    


                  

bərabərliklərini  ödəyən 

       

 

 



 

 

   funksiyası  mövcud  olsun  (burada  nəzərdə 



tutulur  ki,  kəsişən  düz  xətlərin  kəsişmə  nöqtələrində  uyğun 

 

 



  funksiyalarının  aldığı 

qiymətlər bir-birinə bərabərdir). Əgər yuxarıdakı bərabərlikləri ödəyən 

       

 

 



 

 

  



funksiyası  varsa,  onda  verilmiş  xətlər  üzərində  "interpolyasiya  məsələsi  həll 

olunandır", əks halda isə "interpolyasiya məsələsi həll olunmayandır" deyəcəyik. 

 

Hesabat ilində xətlər üzərində interpolyasiya məsələnin həlli üçün zəruri və kafi 



şərtlər  tapılmışdır.  Əvvəlcə   

 

 



 

 

 



  istiqamətlərinin  kollinear  olduğu  hala  baxaq.  Bu 

zaman 


   

 

 



 

 

  çoxluğu  



 

       {                    } 



kimi  yazıla  bilər.  Başqa  sözlə  bu  zaman  biz  yalnız  bir  istiqamətə  nəzərən  ridge 

funksiyalar  çoxluğu  ilə  interpolyasiyadan  söhbət  apara  bilərik.  Aşağıdakı  teorem 

doğrudur. 

Teorem 1. Aşağıdakı hökmlər doğrudur. 

1) 


{      },         düz  xətti  üzərində        çoxluğu  ilə  interpolyasiya  məsələsinin 

həllinin olması üçün zəruri və kafi şərt 

          münasibətinin ödənilməsidir. 

2)  İki  müxtəlif   

{  

 

   



 

}  və  {  

 

   


 

}  düz  xətləri  üzərində        çoxluğu  ilə 

interpolyasiya məsələsi həll olunan deyil. 

 

İndi  isə 



   

 

 



 

 

   çoxluğundan  olan  funksiyalarla  interpolyasiya  məsələsinə 



baxaq.  Tutaq  ki,  iki  müxtəlif 

{  


 

   


 

}  və  {  

 

   


 

}  düz  xətləri  verilmişdir.  

Aşağıdakı işarələmələri qəbul edək. 

 

 



 

 

   



  

;   


 

 

 



 

   


  

,  


            

 

İki  müxtəlif  düz  xətt  üzərində  interpolyasiyanın  mümkünlüyü  üçün  zəruri  və 



kafi şərt aşağıdakı teoremdə öz əksini tapmışdır. 

Teorem  2. 

   


 

 

 



 

   çoxluğu  ilə  {  

 

   


 

}  və  {  

 

   


 

}  düz  xətləri  üzərində 

interpolyasiya  məsələsinin  həllinin  olması  üçün  zəruri  və  kafi  şərt  aşağıdakı 

münasibətlərin heç birinin ödənilməməsidir: 

a) 

 

  



   

  

   ; 



b) 

 

  



   

  

   ; 



c) 

     [


 

  

 



  

 

  



   

  

 



  

 

  



 

  

   



  

]      


d) 

 

  



   

  

   ; 



e) 

 

  



   

  

   ; 



f) 

 

  



 

  

   



  

 

  



     

g) 


 

  

 



  

   


  

 

  



    və {  

 

   



 

}, {  


 

   


 

} düz xətləri kəsişmir. 



Teorem  3.  Tutaq  ki,  üç  müxtəlif 

{  


 

   


 

},  {  


 

   


 

}  və  {  

 

   


 

}  düz  xətləri 

verilmişdir.    Onda    istənilən 

 

 



 

 

 



  istiqamətləri  üçün 

   


 

 

 



 

   çoxluğundan  olan 

funksiyalarla interpolyasiya məsələsi həll olunan deyil. 

 


 

 



İş2. Ümumiləşmiş Lizorkin-Tribel-Morri tipli fəzadan olan funksiyaların bir sıra 

diferensial xassələri    (icr. f.r.e.d., prof. A.M.Nəcəfov) 

  

Hesabat ilində Morri tipli fəzalar ailəsi və xüsusi törəməli diferensial tənliklərin 



tədqiqatı ilə məşğul olmuşam. Daha doğrusu ümumiləşmiş Besov-Morri və Lizorkin-

Tribel-Morri  fəzaları  daxil  olunmuş  və  bu  fəzalardan  olan  funksiyaların  həm 

diferensial həm də diferensial-fərq xassələri öyrənilmişdir. Bundan başqa yüksək kəsr 

tərtibli diferensial tənliklər sinfinin həllinin varlığı və yeganəliyi göstərilmişdir.  



Tərif. 

G

-də lokal cəmlənən,  





,

0



,

,

,



,

,

,



0

,

,



,

,









n

i

G

G

i

l

a

i

n

i

i

l

a

i

f

f







i

p

i



p

L

L



                                               







,

,

;



1

0

,



,

,

,



,

0

,



,

,

,



i

i

i

i

i

i

i

i

l

a

i

h

k

l

a

p

k

m

G

h

dh

h

f

D

G

h

f



























 





i

p

L



                           

                                   

 

 


 



,

sup


1

0

,



,

1

;



,

,

,



,

,

,



























t

dt

f

t

f

f

x

G

p

p

a

G

x

G

L

G

a

p

t

i

i

a

i

p

i

                       

sonlu norması ilə təyin olunan fəzaya

f

funksiyalarının normallaşmış parametrli  





n

i

l

a

G

i

i

0

,



,

,

,



,





i



p

L

 



 fəzası deyilir. Burada  



 





,

,...,



,

;

0



,

0

,



0

,

,...,



,

;

,...,



1

,

0



,

,

1



,

,

,



1

2

1



0

2

1



i

n

i

i

i

i

i

i

j

j

i

n

i

i

i

i

i

m

m

m

m

l

l

l

l

l

l

l

n

i

p









 

,



0

,

0



0



i

j

j

m

m



0

i

i

m

natural ədədlər, 



n



i

,...,


2

,

1







i

j

i

n

i

i

i

k

k

k

k

k

,

,...,



,

2

1



 mənfi olmayan 

tam ədədlərdir. Tutaq ki, 







n

i

k

l

m

n

i

n

j

k

l

m

i

i

i

i

i

i

i

j

i

j

i

j

,...,


1

0

;



,...,

1

,



0

;

,...,



1

,

0









;  



 

;

,



0

,...,


,

2

1



n

n









 



 



 

x

f

G

h

x

f

G

h

a

a

k

l

k

l

h

m

m

n

j

j

j

n

j

i

j

i

j

j

i

i

i

i







;

,

;



,

,

;



,

1

1









 



 

 


 

 


;

...


1

1

1



f

h

h

x

f

h

n

i

n

i

i

m

n

m

m





 



 



;

:

;



...

1

1



G

I

h

x

x

G

x

f

D

D

x

f

D

h

k

n

k

k

i

n

i

i





 


 

 



 



;

,...,


1

,

2



1

:











n

j

t

x

y

y

G

x

I

G

x

G

j

j

j

t

t



 


 



G

t

t

,

,



1

min


1

 



n

ölçülü 


n

R

 Evklid 


fəzasında açıq çoxluqdur. 

 

Bu fəza 



,



0

,...,


0

,

0



0



l



p



p

l

l

i

i

i

i



,

,



0

,...,


0

,

,



0

,...,


0

,

0







n

i

,...,


2

,

1



 olduqda 







,

,

,



,

,

G



B

l

a

p

 fəzası ilə üst-üstə düşür. 

 

Teorem  1.  Tutaq  ki, 

n

R

G

  açıq  çoxluğu  çevik 



buynuz  şərtini  ödəyir  [1],



;



,...,

2

,



1

,

0



,

1

,



1

n

i

p

p

i

i







 





n

j

j

j

,...,


2

,

1



0





 



n



,...,



,

2

1



 



0

j



tam 

ədədlərdir



;

,...,


2

,

1



n

j



1) 



n



j

l

j

j

,...,


2

,

1



0





 

2) 



n

j

i

j

l

i

j

j

,...,


2

,

1



,





 



n



i

i

j

l

i

i

i

,...,


2

,

1



,





 

n

a

1

,



0





n

i

l

a

p

j

j

n

j

G

f

c

c

i

i

i

0

,



,

,

,...,



1

2

1



,

;

max



1

,

;



1















L

 

və 

tutaq ki,



 



0

1

1



1



















n

j

i

j

j

j

j

j

j

i

j

i

p

p

a

l







.  

Onda 



 



G

L

G

D

b

p

n

i

l

a

p

i

i

i

2

1



,

,

,



0

,

,



,

,

,



:









L

.  Daha  dəqiq  desək,





n

i

l

a

p

G

f

i

i

i

0

,



,

,

,



1







L

 

G

 

oblastında 



f

D



 ümumiləşmiş törəməsi var və  



,



,

1

,



1

,

,



,





n

0

i



L







G

G

p

i

l

a

i

i

p

i

f

T

C

f

D

 

 





.

0

1



,

,

,



2

,

2



;

,

,



,







p



p

f

C

f

D

i

G

G

b

p

n

i

i

l

a

i

i

p







L

 

bərabərsizlikləri doğrudur. 

Xüsusi halda,



,

,...,


1

0

0



,

n

i

i



onda 


f

D



G

-də kəsilməzdir və 

 






n



0

i

L







,

1

1



,

,

,



0

,

sup



G

G

x

i

l

a

i

i

p

i

f

T

C

x

f

D

 

Burada  




T

 


0



,

1

min



,

0

T

-dən ixtiyari ədəddir, 



0

0



T

 qeyd  olunmuş ədəddir,







j

n

b

b

b

b

b

,

,...,



,

2

1



müəyyən şərtləri ödəyən ədəddir,

1

C



2



C

sabitdir, -dən asılı 

deyildir,belə ki, həmçinin

1

C

 -dən asılı deyildir. 

 




Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2019
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə