To’g’ri to’rtburchak uchun Dirixle masalasini Furye usuli bilan yechish

2 Parabolik turdagi tenglama

Qisqacha bir jinsli ingichka sterjenda issiqlik tarqalish masalasini ko‘rib chiqamiz, uning yon sirti issiqlik o‘tkazmaydi, x=0 va x=l chegaralarida esa nollik temperatura. Shu masala uchun Furye yoki o‘zgaruvchilarni ajratish usulini bayon qilamiz. Bu masala quyidagi tenglamaga keladi:
. (1)
Boshlang‘ich shartlar:
(2)
Chegaraviy shartlar:
. (3)
Dastlab, (1) tenglamaning xususiy yechimlarini quyidagi korinishda qidiramiz:
(4)
bu funksiyalr aynan nolga teng emas va (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin.
(4) funksiyani (1) tenglama qo‘yib quyidagi oddiy differensial tenglamalarga kelamiz:
, (5)
, (6)
bu yerda .
Chegaraviy shartlar quyidagicha bo‘ladi:
(7)
Natijada biz Shturm-Liuvill (6)-(7) masalasiga kelamiz.
Bu masalaning xos sonlari:

Va bu xos sonlarga quyidagi xos funksiyalar mos keladi:
.
bo‘lganda (5) tenglama quyidagi umumiy yechimga ega:
,
shuning uchun

funksiya har qanday uchun (1) masalani va (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.
(2)-(3) shartlarni qanoatlantiruvchi (1) masalaning yechimini qator ko‘rinishida qidiramiz:
(8)
Agar bu qator tekis yaqunlashuvchii bo‘lib, uni t had bo‘yicha bir marta x bo‘yicha ikki marta differensiallash mumkin bo‘lsa, u vaqtda qator yig‘indisi (1) tenglamani va (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.
doimiy koeffisiyentlarni shunday aniqlaymizki (8) qator yig‘indisi (2) boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirsin, quyidagi tengliklarga kelamiz:
(9)
(9) formula funksiyaning (0,l) intervalda sinuslar bo‘yicha Furye yoyilmasini beradi. Bu yoyilmaning koeffisiyentlari quyidagi formula bilan topiladi:

Masala: Quyidagi masalani Furye usulida yeching.
u_t=u_xx+u, 0_x=0=0, u|_x=l=0, u|_t=0=13x. (10)
Dastlab, (1) tenglamaning xususiy yechimlarini quyidagi korinishda qidiramiz:
, (4)
bu funksiyalr aynan nolga teng emas va chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin.
(4) funksiyani (10) masaladagi tenglamaga qo‘yib quyidagi oddiy differensial tenglamalarga kelamiz:
, (5)
, (6´)
bu yerda .
Chegaraviy shartlar quyidagicha bo‘ladi:
. (7)
Natijada biz Shturm-Liuvill (6´)-(7) masalasiga kelamiz.
Bu masalaning xos sonlari:

Va bu xos sonlarga quyidagi xos funksiyalar mos keladi:
.
bo‘lganda (5) tenglama quyidagi umumiy yechimga ega:
,
shuning uchun

funksiya har qanday uchun berilgan masalani qanoatlantiradi.
Berilgan masalaning yechimini qator ko‘rinishida qidiramiz:
.
doimiy koeffisiyentlarni shunday aniqlaymizki qator yig‘indisi boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirsin, quyidagi tenglikga kelamiz:
,
bu tenglik funksiyaning (0,l) intervalda sinuslar bo‘yicha Furye yoyilmasini beradi. Bu yoyilmaning koeffisiyentlari quyidagi formula bilan topiladi:

koeffisiyentlarni aniqlash uchun integralni bo‘laklab integrallaymiz, natijada: . U vaqtda izlanayotgan yechim quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
.