To’plamlar nazariyasi va ular ustida amallar bajarish

---

TO’PLAMLAR NAZARIYASI VA ULAR USTIDA AMALLAR BAJARISH 
 
Gavharoy Nasirdinova Dilmurodovna 
[e-mail] 
Zulfiyaxon Nazarova 
Andijon viloyati, Izboskan tumani 1-umumiy o’rta ta’lim maktabi 
Annotatsiya: To’plamlar nazariyasi matematikaning barcha bo’limlari uchun 
eng asosiy tushunchalardan biridir. Shuning uchun bu maqolada to’plamlar ustida 
bajarilishi mumkin bo’lgan amallar (birlashma, kesishma, ayirma, to’ldiruvchi 
to’plam) bayon etiladi. Har bir mavzuga oid misol va mashqlar keltirilgan. 
Kalit so’zlar: to’plam, birlashma, kesishma, ayirma, to’ldiruvchi to’plam, ta’rif, 
teorema, universal, Eyler-Venn, diogramma, jamlanma. 
SET THEORY AND ACTIONS ON THEM 
Gavharoy Nasirdinova Dilmurodovna 
[e-mail] 
Zulfiyaxon Nazarova 
Andijan region, Izbaskan district, School #1 
Abstract: Set theory is one of the most basic concepts for all branches of 
mathematics. Therefore, this article describes the actions that can be performed on 
sets (merger, intersection, subtraction, complementary set). Examples and exercises 
on each topic are provided. 
Keywords: set, merge, intersection, subtraction, complementary set, tariff, 
theorem, universal, Euler-Venn, diagram, summation. 
To‘plam matematikaning boshlang‘ich tushunchalaridan bo‘lib, uni o‘zidan 
soddaroq tushunchalar orqali ta’riflab bo’lmaydi. Turmushda ma’lum ob’ektlar 
majmuasini bir butun narsa deb qarashga to‘g‘ri keladi. Masalan, O‘zbekistondagi 
viloyatlar to‘plami; viloyatdagi akademik litseylar to‘plami; butun sonlar to‘plami; 
to‘g‘ri chiziq kesmasidagi nuqtalar to‘plami; sinfdagi o‘quvchilar to‘plami va 
hokazo. Aytaylik, biolog biror o‘lkadagi o‘simliklar va hayvonot dunyosini o‘rganar 
ekan, u jonzotlarni turlar bo‘yicha, turlarni esa urug‘lar bo‘yicha sinflarga ajratib 
chiqadi. Har bir tur yaxlit bir butun deb qaraladigan jonzotlar majmuasidir. To‘plam 
ixtiyoriy tabiatli ob’ektlardan tashkil topgan bo‘lishi mumkin.
Majmualarning matematik tavsifini berish uchun to‘plam tushunchasini taniqli 
nemis matematigi G.Kantor (1845 -1918) quyidagicha kiritgan:
"Science and Education" Scientific Journal
Volume 1 Issue 2
May 2020
19
www.openscience.uz

---

«To‘plam fikrda bir butun deb qaraluvchi ko‘plikdir». 
Ta’rif: To‘plamni tashkil etgan ob’ektlar uning elementlari deyiladi. 
To‘plam, odatda, qulaylik uchun, lotin alifbosining bosh harflari bilan, uning 
elementlari esa shu alifboning kichik harflari bilan belgilanadi.
Elementlari a,b,c,... bo‘lgan A to‘plam qavslar yordamida A = {a,b,c,...} kabi 
yoziladi. x element X to‘plamga tegishli ekanligi x

X ko‘rinishda, tegishli emasligi 
esa x

X ko‘rinishda belgilanadi.
Masalan, barcha natural sonlar to‘plami N va 4, 5, 1,5 va π sonlari uchun 4

N, 
5

N, 1,5

N, π

N munosabatlar o‘rinli. 
Biz, asosan, yuqorida ko‘rsatilganidek buyumlar, narsalar to‘plamlari bilan 
emas, balki sonli to‘plamlar bilan shug‘ullanamiz. Sonli to‘plam deyilganda, barcha 
elementlari sonlardan iborat bo‘lgan har qanday to‘plam tushuniladi. Bunga N–
natural sonlar to‘plami, Z–butun sonlar to‘plami, Q–ratsional sonlar to‘plami, R–
haqiqiy sonlar to‘plami misol bo‘la oladi. 
Agar to’plamni tashkil qilgan elementlar chekli sonda bo’lsa, chekli to’plam, aks 
holda cheksiz to’plam deyiladi. n(A) deb chekli to’plamning elementlari sonini 
belgilanadi. Ø ham chekli to’plamdir va uning uchun n(Ø)=0
Cheksiz A to’plam uchun n(A)=∞ belgilash qabul qilingan . 
1-misol. A={x|x

N, x
2
>7} to‘plam 2 dan katta bo‘lgan barcha natural sonlardan 
tuzilgan, ya’ni A={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}. Bu to‘plam–cheksiz to‘plamdir.
2-misol. x
2
+3x+2=0 tenglamaning ildizlari X={-2;-1} chekli to‘plamni tashkil 
etadi. x
2
+3x+3=0 tenglama esa haqiqiy ildizlarga ega emas, ya’ni uning haqiqiy 
yechimlar to‘plami Ø dir. 
Ayni bir xil elementlardan tuzilgan to‘plamlar teng to‘plamlar deyiladi. 
Masalan, muntazam uchburchaklar to‘plami barcha burchaklari o‘zaro teng 
bo‘lgan uchburchaklar to‘plami bilan ustma−ust tushadi. Buning sababi ixtiyoriy 
muntazam uchburchakning barcha burchaklari teng va aksincha, agar uchbur-chakda 
barcha burchaklar teng bo‘lsa, u muntazam bo‘ladi. 
3-misol. X={x|x

N, x 

3} va Y={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0

to‘plamlarning har biri 
faqat 1, 2, 3 sonlaridan tuzilgan. Shuning uchun bu to‘plamlar tengdir: X=Y. 
Agar B to‘plamning har bir elementi A to‘plamning ham elementi bo‘lsa, B 
to‘plam A to‘plamning qism-to‘plami deyiladi va B

A ko‘rinishida belgilanadi. 
Bunda Ø
A

va A

A hisoblanadi. Bu qism-to‘plamlar xosmas qism-to‘plamlar 
deyiladi. A to‘plamning qolgan barcha qism-to‘plamlari xos qism-to‘plamlar 
deyiladi.
A va B to‘plamlarning birlashmasi (yoki yig‘indisi) deb, ularning kamida 
bittasida mavjud bo‘lgan barcha elementlardan tuzilgan to‘plamga aytiladi. A va B 
to‘plamlarning birlashmasi A

B kabi belgilanadi.
Masalan, P ={1, 3, 4} va Q ={2, 3, 5} uchun P 
∪ Q ={1, 2, 3, 4, 5}.
"Science and Education" Scientific Journal
Volume 1 Issue 2
May 2020
20
www.openscience.uz

---

A va B to‘plamlarning ikkalasida ham mavjud bo‘lgan x elementga shu 
to‘plamlarning umumiy elementi deyiladi. A va B to‘plamlarning kesishmasi (yoki 
ko‘paytmasi) deb, ularning barcha umumiy elementlaridan tuzilgan to‘plamga 
aytiladi. A va B to‘plamlarning kesishmasi A

B ko‘rinishda belgilanadi: A

B= 
{x¦x

A va x

B}. Masalan, P={1, 3, 4} va Q={2, 3, 5} uchun P 
⋂ Q=
 
3
. 
A va B to‘plamlarning ayirmasi deb, A ning B da mavjud bo‘lmagan barcha 
elementlaridan tuzilgan to‘plamga aytiladi. A va B to‘plamlarning ayirmasi A\B 
ko‘rinishda belgilanadi: A\B = {x¦x

A va x

B} .
Agar B

A bo‘lsa, A\B to‘plam B to‘plamning to‘ldiruvchisi deyiladi va B' 
bilan belgilanadi . 
Ta’rif: Har qanday to’plamning xos qism to’plami deb qaralgan to’plam 
universal to’plam deyiladi va U bilan belgilanadi.
U universal to’plam chekli bo’lsa, uning barcha qism to’plamlari ham chekli 
bo’ladi. U cheksiz bo’lganda esa uning qism to’plamlari chekli yoki cheksiz bo’lishi 
mumkin.
4- masala: Sayohatchilar guruhida 75 ta sayyoh bor. Ulardan 47 tasi ingliz tilini, 
35 tasi nemis tilini, 23 tasi har ikkala tilni biladi. Sayyohlardan nechtasi ikkala tilni 
ham bilmaydi? 
Bu masalani yechish uchun Eyler- Venn diogrammalaridan foydalanamiz. 
Universal to’plam deb sayyohlar to’plamini olamiz. Bu yerda ikkita to’plam 
kesishmasi 23 ta elementdan iborat bo’lgani uchun faqat ingliz tilini biladiganlar 47-
23=24 ta, faqat nemis tilini o’rganganlar oni 35-23=12 ta va nihoyat, har ikkala tilni 
bilmaydiganlar soni esa 75-(24-23-12)=16 tadan iborat.
To‘plamlar ustida bajariladigan amallarning xossalari sonlar ustida bajariladigan 
amallarning xossalariga o‘xshash. Har qanday X, Y va Z to‘plamlar uchun: 
1) X

Y=Y

X; 
2) X

Y=Y

X; 
"Science and Education" Scientific Journal
Volume 1 Issue 2
May 2020
21
www.openscience.uz

---

3) (X

Y)

Z==X

(Y

Z)=(X

Z)

Y; 
4) (X

Y)

Z==(X

Z)

Y; 
5) (X

Y)

Z=(X

Z)

(Y

Z); 
6) (X

Y)

Z=(X

Z)

(Y

Z) tengliklar bajariladi. 
To‘plamlar nazariyasining muhim qoidalaridan biri—jamlash qoidasidir.
Bu qoida kesishmaydigan to‘plamlar birlashmasidagi elementlar sonini topish 
imkonini beradi. 
1-Teorema (jamlash qoidasi). Kesishmaydigan A va B chekli to‘plamlarning 
birlashmasidagi elementlar soni A va B to‘plamlar elementlari sonlarining 
yig‘indisiga teng: 
n(A

B)=n(A)+n(B). 
2-Teorema. Ixtiyoriy A va B chekli to‘plamlar uchun ushbu tenglik o‘rinli: 
n(A

B)=n(A)+n(B)-n(A

B).
5-masala. 100 kishidan iborat sayyohlar guruhida 70 kishi ingliz tilini, 45 kishi 
fransuz tilini, 23 kishi esa ikkala tilni ham biladi. Sayyohlar guruhidagi necha kishi 
ingliz tilini ham, fransuz tilini ham bilmaydi? 
Yechish. Yuqorida huddi shunday masalani Eyler- Venn diogrammalari orqali 
ishlanishini ko’rib chiqdik. Endi esa jamlash qoidasi bilan ishlanishini ko’ramiz. 
Berilgan guruhdagi ingliz tilini biladigan sayyohlar to‘plamini A bilan, fransuz tilini 
biladigan sayyohlar to‘plamini B bilan belgilaymiz. U holda ham ingliz tilini, ham 
fransuz tilini biladigan sayyohlar to‘plami A

B to‘plamdan, shu ikki tildan hech 
bo‘lmasa bittasini biladigan sayyohlar to‘plami esa A

B to‘plamdan iborat bo‘ladi. 
Shartga ko‘ra, n(A)=70, n(B)=45, n(A

B)=23.
2-teoremaga ko‘ra, n(A

B)=70+45-23=92. 
Shunday qilib, 92 kishi ingliz va fransuz tillaridan hech bo‘lmaganda bittasini 
biladi, 100-92= 8 kishi esa ikkala tilni ham bilmaydi. 
 
Foydalanilgan adabiyotlar 
1. A.U. Abduhamidov, H.A. Nasimov, U.M. Nosirov, J.H. Husanov - Algebra 
va matematik analiz asoslari I qism. - Toshkent: O‘qituvchi, 2008 
2. Mirzaahmedov.M.A, Ismailov.Sh.N, Amanov.A.Q, - Matematika 10- I-qism-
Toshkent-2017-3-5-bet 
3. R. Vafoyev, J. Husanov, Q.Fayziyev, YU. Hamrayev- Algebra va analiz 
asoslari - Akademik litseylar va kasb-hunar kollejlar uchun darslik -Toshkent. 2004- 
366-b. 
"Science and Education" Scientific Journal
Volume 1 Issue 2
May 2020
22
www.openscience.uz