Toshkent davlat iqtisodiyot universiteti iqtisodiyot fakulteti «falsafa» fanidan

 O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
TOSHKENT DAVLAT IQTISODIYOT UNIVERSITETI
IQTISODIYOT FAKULTETI



«FALSAFA» FANIDAN


MUSTAQIL ISH
MAVZU: O’zbekistonda davlat va din munosabatlari. O’zbekistonda faoliya ko’rsatayotgan diniy konfessiyalar va tashkilotlar.
Bajardi: Usmonov .M
Qabul qildi: ______________


TOSHKENT 2023.
Mavzu Darajali qatorlar.va ularning yaqinlashish radiusi

Reja

1 .Darajali qatorlar
2 .Ularning yaqinlashish radiusi

Hadlari x o'zgaruvchining funksiyalaridan iborat bo'lgan

ux{x) + u2{x) +... + un (x) +... (j)
ko'rinishdagi qatorga funksional qotor deyiladi.
Agar o'zgaruvchi x ning aniq bir qiymatini olsak ya'ni x = x° deb uni (1) ga
qo'ysak Ui(xo)+u2(xo)+•••+un(xo)+•"sonli qotor hosil bo'ladi.
Demak o'zgaruvchi x ga aniq konkret har xil son qiymatlar berish bilan her xil yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo'lgan sonli qatorlar hosil qilish mumkin ekan

Agar (1) qator x ning xo' x1' x2'—'x» aniq son qiymatlarida

yaqinlashuvchi bo'lsa u holda x ning bu x°' xi' x2>—>xn son qiymatlar to'plamiga (1) ning yaqinlashish sohasi deyiladi.
Misol. 1 + x + x + •••+x" + funksional qatorning hadlari mahraji q = x ga teng bo'lgan geometrik progressiya tashkil qiladi.
Demak, uning yaqinligi uchun lxl< 1 bo'lishi kerak va (- u) intervalda 1
qatorning yig'indisi 1 - x ga teng. Shunday qilib, (- 11 intervalda berilgan qator

5 ( x) = 1-x

funksiyani aniqlaydi, bu esa qatorning yig'indisidir, ya'ni 1
1 - x = 1 + x2 + x3 +... + xn + ...
(1) Qatorning boshidan ta hadi yig'indisini Sn ( x) bilan belgilaylik:
Sn(x) = ui (x)+u2 (x)+...+un (x) (2) limSn (x)= S(x) . • 1 1 ,1 /ix r
Agar chekli limit mavjud bo lsa (1) funksional qatorga
yaqinlashuvchi qator deyilib s(x) ga esa uning yig'indisi deyiladi.
lim S (x)
Agar mavjud bo'lmasa (1) xizmat qatorga uzoqlashuvchi deyiladi.
Agar bu qator x ning biror narsaga yaqinlashsa, u holda
S(x) = Sn (x)+rn (x)
bo'ladi, bu yerda
s(x)- qatorning yig'indisi rn(x)=un+1(x) + un+2(x) +... _ qatorning qoldig'i deyiladi.
x ning barcha qiymatlari uchun qatorning yaqinlashish
n-mco Sn ( x)=s ( x)
munosabat o'rinli, shu sababli nc [ s(x) -Sn (x) ] =0 yoki n-co r"(x) =0, ya'ni yaqinlashuvchi qatorning qoldig'i n — c da nolga intiladi

1- Misol.Ushbu

• 2 • 2 n -2
sin x sin 2x sin nx
■ +-;-+ ... +-;-+ ...
13 23 n3
funksional qator x ning barcha xaqiqiy qiymatlari uchun faqat yaqinlashadi, chunki barcha x va n -larda
1• 2gunoh nxn3< < n3
1 1 1 —+ —+... + — +...
1 2 n qator esa yaqinlashuvchidir.
£(- 1)n-1
2-Misol. n=1 n + x qatomi tekshiring.
Veyershtrass alomati bu qotor uchun bajarilmaydi, chunki berilgan qator shartli

yaqinkshuvchi va X >0 kr uchun «=in +x qator uzoqlashuvchi. Berilgan qatorni tekis yaqinlashuvchiligini ko'rish uchun Leybnis teoremasidan foydalanamiz. Berilgan qator o'zgaruvchi ishorali va X > 0 da absolyut qiymatlari bo'yicha monoton kamayuvchi va n -hadi n da nolga intiladi. SHu sababli, qator [0, w) yarim o'qda.

.(x) <-1- , Vn (x)| <—n + 1 + x X > 0 Ha n + 1
yaqinlashuvchi va qator qoldig'i uchun " n +1 + x X>0 da |nv '' n +1 ga ega lim = 0
bo'lamiz va n^wn +1 bo'lgeni uchun, qator tekis yaqinlashuvchi.

yaqinkshuvchi va X >0 kr uchun «=in +x qator uzoqlashuvchi. Berilgan qatorni tekis yaqinlashuvchiligini ko'rish uchun Leybnis teoremasidan foydalanamiz. Berilgan qator o'zgaruvchi ishorali va X > 0 da absolyut qiymatlari bo'yicha monoton kamayuvchi va n -hadi n da nolga intiladi. SHu sababli, qator [0, w) yarim o'qda.

.(x) <-1- , Vn (x)| <—n + 1 + x X > 0 Ha n + 1
yaqinlashuvchi va qator qoldig'i uchun " n +1 + x X>0 da |nv '' n +1 ga ega lim = 0
bo'lamiz va n^wn +1 bo'lgeni uchun, qator tekis yaqinlashuvchi.

Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlar uchun funksiyakr chekli yig'indisi xossalarini tatbiq qilish mumkin.

l-teorema. Agar u!(x) + u2(x) +." + u«(x) + .funks^^! qatorning har bir hadi [a, b] kesmada uzluksiz bo'lib, bu funksioml qator [ab] kesmada tekis yaqinlashuvchi bo'^, u holda qatorning yig'indisi S( x) ham shu kesmada uzluksiz bo'ladi.
f (x) = jri x2 + i ]n
3-Misol. n= ^ n' funksiyani aniqlanish sohasini toping va
uzluksizligiga.
Yechish. Berilgan funksional qatorni Koshi alomatiga ko'ra aniqlanish sohasini topamiz.
lim n
n^w \
x2 += lim | x2 +1| = x2 n) n)

Shu sababli x2 <1 da qator yaqinlashuvchi va x2 >1 da uzoqlashuvchi, ya'ni qator (-1,1) oraliqda qotor yaqinlashuvchi. x = ±1 nuqtallarda uzoqlashuvchi, chunki

lim f1 +1 1 = e * 0
n^wl n)
qator yaqinning zaruriy sharti bajarilmaydi.
Funksiyani uzluksizligini tekshiramiz. Buning uchun qatorni 0 ixtiyoriy a'kesmada tekislovchi tekis ko'rsatamiz.

1 ,
a+—=

0 < a < b <1 son olamiz va shunday N topiladiki, n ^ N da ^n . U holda
Ul < a lar uchun, n
u 2 +!| <(i ^U +■
2n /■ \ 2nV<4n QK Vña + ■1< b2n
V n J tengsizlik bajariladi.
Ravshanki, b2 + b4 + b6 + ••• + b2m + ••• qator ta'aÍ da yaqinlashuvchi (chunki bu qator mahraji b2 <1 bo'lgan geometrik progressiya), shu sababli berilgan qator tekislovchi. Demak, f (u) funksiya a'a] kesmada uzluksiz. a (0 < a <1) ning ixtiyoriyligidan f (u) funksiyasi (-1,1) oraliqda uzluksiz. 2-teorema. (Qatorlarni hadlab integrallash)

Agar U1 (u) + U2(u) + ••+ u(u) + •• funktsional qatorning har bir hadi ab kesmada

uzluksiz bo'lib, bu funktsional qator Ia'b kesmada tekis yaqinlashuvchi bo'lsa, u holda
bbbb | S (x)dx =| u (x)du u2 (u)du + ••• +j uH (u)du +••• +
a a
tenglik o'rinli bo'ladi.
SM = Sn (*)+ rn = u1 {x)+u2(x)+. .. + un (.x) + rn (x) = S(x)- Sn (x)
Isbot. S»(x)
(1) qator yaqinlashuvchi qator bo'lgani uchun Veyershtrass teoremasidagi
kabi

lim rn (x) = 0 ^ lim F rB (x)dx = 0

n—n—MJ a
b bVb l
lim F rB (x)dx = lim FFS(x)dx — F Sn (x)dx
n—MJ «—MJJ J
n M haqida ravshan.
Fn
n—M* n—Ma a
naa
bbj S(x)dx =j u1 (x)dx+j u2 (x)dx +... +j un (x)dx +...+a a
Teorema isbot bo'ldi.

Agar kesmada hosilalari uzluksiz bo'^n funktsiyalaridan tuzilgan.

U (x) + u2 (x) +... + u (x) +...
funksioml qator shu kesmada yaqinlashuvchi va yig'indisi S(x) bo'lsa, u holda uning hadlarining hosilalaridan tuzilgan.
U'(x)+u2'(x)+...+u'(x)+...
qator hem tekis yaqinkshuvchi bo'lib, yig'indisi S (x) bo'ladi.
arctgx = x - — + x—... + (-1)n —-+...
5-Misol. 4- misolni qaraymiz: 35 2n +1
v4 y6 2n+2