O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
TOSHKENT DAVLAT IQTISODIYOT UNIVERSITETI
IQTISODIYOT FAKULTETI
«FALSAFA» FANIDAN
MUSTAQIL ISH
MAVZU: Aniq integral xossalari
Bajardi: Mirvoxidov.R
Qabul qildi: ______________
TOSHKENT 2023.
Mazvu Koshi teoremasining geometrik manosi
Reja
1. Koshi teoremasining geometrik manosi
2. Koshi teoremasi
Teorema (Koshi teoremasi). Agar [a,b] kesmada f(x) va g(x) berilgan bo‘lib, 1) [a,b] da uzluksiz; 2) (a,b) intervalda f’(x) va g‘(x) mavjud, hamda g‘(x)0 bo‘lsa, u holda hech bo‘lmaganda bitta shunday c (a
f(b)-f(a)_f'(c) g(b)-g(a) g'(c)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Ravshanki, (4) tenglik ma’noga ega bo‘lishi uchun g(b)g(a) bo‘lishi kerak. Bu esa teoremadagi g‘(x)0, x(a;b) shartdan kelib chiqadi. Haqiqatdan ham, agar g(a)=g(b) bo‘lsa, u holda g(x) funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantirib, biror c(a;b) nuqtada g‘(c)=0 bo‘lar edi. Bu esa x(a;b) da g‘(x)0 shartga ziddir. Demak, g(b)g(a).
Shartga ko‘ra f(x) va g(x) funksiyalar [a,b] da uzluksiz va (a,b) intervalda differensiyalanuvchi bo‘lgani uchun F(x) birinchidan [a,b] kesmada uzluksiz funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida uzluksiz, ikkinchidan (a,b) intervalda D'(x)= f'(x)-f(b)-(a) g(b)-g(a) hosilaga ega. So‘ngra F(x) funksiyaning x=a va x=b nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz: F(a)F(b)0. Demak, F(x) funksiya [a,b] kesmada Roll teoremasiinng barcha shartlarini qanoailantiradi. Shuning uchun hech bo‘lmaganda bitta shunday c (a
Endi Koshi teoremasining geometrik ma’nosini aniqlaymiz. Aytaylik x=(t), y=f(t), atb tekislikdagi chiziqning parametrik tenglamasi bo‘lsin. Shuningdek chiziqda t=a ga mos keluvchi nuqtani A((a),f(a)), t=b ga mos keluvchi nuqtani B((b),f(b)) kabi belgilaylik. U holda (4) formulaning chap qismi AB vatarning burchak koeffitsientini, o‘ng tomoni esa egri chiziqqa parametrning t=c qiymatiga mos keladigan nuqtasida o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientini anglatadi
Demak, Koshi formulasi AB yoyning AB vatarga parallel bo‘lgan urinmasining mavjudligini ta’kidlaydi ekan. Endi Koshi teoremasining geometrik ma’nosini aniqlaymiz. Aytaylik x=(t), y=f(t), atb tekislikdagi chiziqning parametrik tenglamasi bo‘lsin. Shuningdek chiziqda t=a ga mos keluvchi nuqtani A((a),f(a)), t=b ga mos keluvchi nuqtani B((b),f(b)) kabi belgilaylik U holda (1) formulaning chap qismi AB vatarning burchak koeffitsientini, o‘ng tomoni esa egri chiziqqa parametrning t=c qiymatiga mos keladigan nuqtasida o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientini anglatadi.
Demak, Koshi formulasi AB yoyning AB vatarga parallel bo‘lgan urinmasining mavjudligini ta’kidlaydi ekan. Misol. Ushbu f(x)=x2 va (x)= funksiyalar uchun [0,4] kesmada Koshi formulasini yozing va s ni toping.Misol. Ushbu f(x)=x2 va (x)= funksiyalar uchun [0,4] kesmada Koshi formulasini yozing va s ni toping.Yechish. berilgan funksiyalarning kesma uchlaridagi qiymatlari va hosilalarini topamiz: f(0)=0, f(4)=16, (0)=0, (4)=2; f’(x)=2x,’(x)= . Bulardan foydalanib Koshiformulasini yozamiz:
bundan 4s =8 yoki s =2. Demak s=
Aniqmasliklarni ochish. Lopital qoidalari
Tegishli funksiyalarning hosilalari mavjud bo‘lganda , , 0, -, 1, 00, 0
ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish masalasi engillashadi. Odatda hosilalardan foydalanib, aniqmasliklarni ochish Lopital qoidalari deb ataladi. Biz quyida Lopital qoidalarining bayoni bilan shug‘ullanamiz.
ko‘rinishdagi aniqmaslik. Ma’lumki, x0 da f(x)0 va g(x)0 bo‘lsa, nisbat
ko‘rinishdagi aniqmaslikni ifodalaydi. Ko‘pincha xa da nisbatning limitini topishga
Qaraganda ni limitini topish oson
1)f(x) va g(x) funksiyalar (a-;a)(a;a+), bu yerda >0, to‘plamda uzluksiz, differensiallanuvchi va shu to‘plamdan olingan ixtiyoriy x uchun g(x)0, g’(x)0;3) hosilalar nisbatining limiti (chekli yoki cheksiz)mavjud bo‘lsa, u holda funksiyalar nisbatininglimiti mavjud vatenglio‘rinli bo‘ladi. xa da f(x), g(x) bo‘lsa, nisbatko‘rinishidagi aniqmaslikni ifodalaydi. Endi bunday aniqmaslikni ochishda ham f(x) va g(x) funksiyalarning hosilalaridan foydalanish mumkinligini ko‘rsatadigan teoremani keltiramiz.3-teorema. Agar
f(x) va g(x) funksiyalar (a;) nurda
differensiallanuvchi, hamda g’(x)0,
ADABIYOTLAR
Т.Азларов, Ҳ.Мансуров. Математик анализ. 1-қисм. Тошкент «Ўқитувчи», 1986.
Г.Н.Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. Москва, «Наука”, 1985.
Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Москва, «Наука”, 1980.
А.А.Гусак. Высшая математика. 1-том. Минск, 2001.
Т.Жўраев,Ҳ.Мансуров ва бошқ. Олий математика асослари. 1-қисм.
Тошкент «Ўқитувчи»,1999.
И.А.Зайцев. Высшая математика. Москва, «Наука”, 1991.
Д.В.Клетеник.Сборник задач по аналитической геометрии. Москва, «Наука”, 1986.
Х.Р.Латипов, Ш.Таджиев. Аналитик геометрия ва чизиқли алгебра. Тошкент «Ўқитувчи»,1995.
В.П.Минорский. Сборник задач по высшей математике. Москва,
«Наука”, 2000.
Dostları ilə paylaş: |
