Tral analiz

Xaara bazislarida spektral analiz asoslari.

Xaara funksiyasi tizimlari teoretik va amaliy masalalarni katta sinfini yechishda texnika va fanning turli sohalarida keng qo‘llanilishga ega. Bu bu bazis funksiyalarning qator ajoyib xususiyatlari va ular uchun spektral analizning videoeffektli hisoblash algoritmlari mavjudligi bilan bog’liq. Ixtiyoriy asosli hisoblash tizimida sonlarni ko‘rsatish holatidagi funksiya ma’lumotlarini umumlashtirish imkoniyati ham muhim ahamiyatga ega[13].
Xaaraning normallashgan funksiyalari ko‘p ma’noli funksiya hisoblanadi. Shuning uchun spektral qayta ishlash amaliyoti uchun atiga uch oddiy qiymatlarni (0, +1 va -1) qo‘llaydigan Xaaraning normallashgan funksiyalari ancha qulay hisoblanadi. Bunday funksiyalar analitik tarzda quyidagi ifoda bilan beriladi va belgio‘zgaruvchanlik xarakteriga ega, bunda birinchi turning uzilishning ichki nuqtalarida o‘ng tomonda uzluksiz qabul qilinadi.


⎪
⎧2^r/2 ; ^{m − 1} ≤ t < ^{m − 1/2}


⎪
X(r,m,t) = _{⎨ −2r/2;} ^{m − 1/2} _{≤ t <} ^m (2.6) ⎩ 0; t ∉ [0,1)

Bu ifodadan ko‘rinib turibdiki, har bir guruh chegarasida bir xil quvvatga ega

Xaara funksiyalari yig’ilgan.


Xaara funksiyalarini Uolsh funksiyasidan yana quyidagi tarzda olish mumkin. Uolshning birinchi funksiyasini [0,1) intervalda tanlaymiz va uni intervaldan tashqarida nolga teng deb olamiz(2.1-rasm).

2.1-rasm. N=8 uchun Xaara funksiyalari tizimi.

Endi bu funksiyani yarim intervalda z o‘qi bo‘yicha ikkiga qirqamiz. Bunda Xaara funksiyasi hosil bo‘ladi. siqilgan Uolsh funksiyasini z o‘qi bo‘yicha aniqlanish intervalining yarimiga o‘nga siljitamiz, unda Xaaraning ikkinchi guruhi barcha funksiyalari hosil qilinadi. Siqilgan funksyalarni siqish va siljitish jarayonini berilgan N qiymati uchun Xaara funksiyasining to‘liq tizimi qurilishigacha davom ettirish mumkin[14]. Qiziq, yoritilgan Xaaraning siqish va siljitish jarayonlarini Uolsh va Xaara tizimlari orasida o‘rta o‘rinlarni egalaydigan tizimlarini hosil qilgan holda Uolshning boshqa funksiyalariga ham qo‘llash mumkin. Bundan tashqari, bunday jarayonni boshqa bazis funksiyalarga qo‘llash mumkin, masalan: trigonometriyaga. Aynan shunday yondashuv veyvletlar qurilishida ishlatiladi(2.2-rasm).



2.2-rasm. N=16 uchun Xaara funksiyalari tizimi.

Xaara funksiyalari multiplikativ hisoblanmaydi, chunki bunday funksiyalarning ikkitasining ko‘paytmasi Xaara tizimiga tegishli bo‘lmagan natijalovchi funksiyani beradi. Shu sababdan Xaara spektrlari multiplikativ bazislar spektri hususiyatiga ega emas. Shunga qaramay alohida signallarning Xaara spektrlari bir qator foydali xususiyatlarga ega. Masalan, doimiylik qismlarining ikkilik-ratsional soniga egabo‘lak-doimiy signalning Xaara spektri yakuniy va k ³ N raqamli tashkil etuvchilarga ega emas. Bu shu bilan bog’liqki, k ³ N raqamiga ega barcha Xaara funksiyalari doimiylik qismida +1 va -1 qiymatlarining teng soniga ega bo‘ladi.
Xaaraning diskret funksiyalarini analitik tarzda quyidagi munosabatlar yordamida yozish mumkin: N=8 uchun Xaaraning diskret tizimini olish.
Bu tizimni Xaara diskretizatsiya yo‘li bilan olish mumkin. Ikkala holatda ham quyidagi matritsa ko‘rinishida keltirish mumkin bo‘lgan bir xil natija bo‘ladi:

⎪
⎧2^r/2 ; ^{m − 1} ≤ t < ^{m − 1/2}

⎪
X(r,m,t) = _{⎨ −2r/2;} ^{m − 1/2} _{≤ t <} ^m (2.7) ⎩ 0; t ∉ [0,1)

(2.8)

Ma’lum analitik yoritilgan Xaara diskret signallar spektri umumiy holatda Xaaraning uzluksiz signallar spektridan ko‘ra murakkabroq hisoblanadi, va qoidaga ko‘ra, tugatilgan oddiy ifodaga ega emas. Bu diskret variantida signal integrali o‘riniga ularning, odatda matematik hisoblanadigan va integrallardan ancha murakkab yoziladigan yig’indisini aniqlanishiga to‘gri kelishi bilan bog’liq. Aytib o‘tilganlar to‘liq ravishda darajali signallarga ham tegishli. Biroq, ular uchun kichik darajalar holatida va misollarida uzluksiz signallar uchun topilganlarga o‘xshash ifoda hosil qilishga erishiladi.

(2.9)

Diskret darajali signallar Xaara spektrining o‘zgarish xarakteri xuddi uzluksiz darajali signallar Xaara spektrida bo‘lganidek saqlanadi.
Xaara funksiyasi nol qiymatlariga ega bo‘larkan, demak Xaara spektrining faqat birinchi ikkita koeffitsintigina uni aniqlanishining butun intervalida signal holatini hisobga oladi. Qolgan barcha koeffitsientlar signalning lokal holatini hisobga oladi va qancha kichik intervalda bo‘lsa, shuncha Xaara funksiyasi guruhi raqami shuncha katta. So‘ngi guruhning koeffitsentlari umuman faqatgina ikki qo‘shni signal qiyatlari bilan aniqlanadi. Asosan shu bilan Xaara spektri Uolsh
spektridan farq qiladi, chunki Uolsh bazisi uchun har bir spektral koeffitsent signal

holatini butun aniqlanish intervalida hisobga oladi. Xaara spektrining tanlash xarakteri signalning local xususiyatlarini o‘rganishda foydali bo‘lib chiqishi mumkin.[8]