Tugun potensiallar. Supperpozitsiya asosida tahlil. Kontur toklar usulida hisoblash

Tugun potensiallar. Supperpozitsiya asosida tahlil.


Kontur toklar usulida hisoblash. Agar elektr zanjirlarida tok va kuchlanishning taqsimlanishini hisoblashda Kirxgof qonunlarining faqat bittasidan foydalanilsa, ya`ni tenglamalar faqat tugunlar uchun KTQ yoki faqat konturlar uchun KKQ tuzilsa, u holda umumiy tenglamalar soni kamayishi mumkin.
Tenglamalar shunday tuzilishi lozimki, unda boshqa qonunlar bajarilishi ta`minlansin. Bunday tenglamalarni tuzishning ikki usuli Maksvell tomonidan taklif etilgan: ulardan biri kontur toklar usuli bo‘lsa, ikkinchisi - tugun potentsiallari usuli deb nomlangan.
Elektr zanjirining ixtiyoriy shoxobchasidagi tokni, har biri o‘zining berk konturida oquvchi, shu shoxobcha bo‘ylab o‘zgarmaydigan bir necha toklar yig‘indisi deb qarash mumkin. Haqiqiy toklarning bunday tashkil etuvchilari kontur toklari deb ataladi. Faqat bir konturga taalluqli ixtiyoriy shoxobchaning toki kontur toki bilan mos bo‘ladi. Ikki yoki bir necha konturlarga taalluqli shoxobchalardagi toklar, mazkur kontur toklarining algebraik yig‘indisiga teng. Kontur toklari tugunlardan o‘tganda uzluksiz bo‘ladilar: demak, toklarni shunday ta`riflaganda, KTQ so‘zsiz bajariladi.

Shoxobcha toklarini kontur toklariga ajratish zanjirning tahlilidan kelib chiqadi. Kontur toklarini shoxobcha-vatar toklariga o‘xshatish mumkin, bunday vaziyatda mustaqil kontur toklari tenglamalarining soni:

K= S + 1 - T (3.3.1)
noma`lumlar soni bilan teng bo‘ladi, barcha boshqa shoxobchalarning toklari kontur toklari orqali ifodalangan bo‘ladi.
3.3.1a-rasmda ikki kontur toklari I₁ va I₂ bo‘lgan oddiy elektr zanjiri keltirilgan. Zanjirning a va b shaxobchalaridagi toklar kontur toklariga teng:
I_a= I₁; I_b= I₂.
Zanjirning с shahobchasidagi tok ikki boshqa shoxobchalar toklarining algebraik yig‘indisiga teng, u ikkala kontur uchun umumiy bo‘lgan shu shoxobchadan oqib o‘tayotgan kontur toklarning ham yig‘indisiga teng:
I_c = I₁ + I_{2 .}

3.3.1-rasm.
Kirxgofning ikkinchi qonuniga binoan zanjirning birinchi konturi uchun (3.3.1a-rasm):
r_aI_a+ r_cI_c= E_a- E_c
yoki
(r_a + r_c) I₁ + r_cI₂ = E_a- E_c (3.3.2)
yangi belgilashlar qabul qilinsa:
r₁₁·I₁ + r₁₂I₂ = E₁,
bunda r₁₁ = r_a + r_c - birinchi kontur tarkibiga kirgan barcha shoxobchalar qarshiliklarining yig‘indisi: r₁₂ = r_c - birinchi va ikkinchi konturlar uchun umumiy bo‘lgan shoxobcha qarshiligi: E₁=E_a - E_c - birinchi kontur tarkibiga kirgan barcha EyuK lar algebraik yig‘indisi: musbat ishora bilan yo‘nalishi kontur toki yo‘nalishiga mos bo‘lgan EYuK belgilangan.
Shunga o‘xshash, ikkinchi konturda (3.3.1a-rasm):


r₂₁·I₁+r₂₂I₂ =E₂

bunda r₂₁ = r_c; r₂₂ = r_b + r_c; E₂ = E_b - E_c .

Shunday qilib berilgan zanjir uchun ushbu tenglamalar sistemasiga ega bo;lamiz^


r₁₁·I₁ + r₁₂I₂ = E₁,
r₂₁·I₁+r₂₂I₂ =E₂

Buni yachib I₁ va I₂ toklarni topamiz.

Ta`riflanishiga ko‘ra, ikki kontur uchun umumiy bo‘lgan shoxobchaning qarshiligi r₁₂ = r₂₁.

Yuqorida ko‘rilganlarni ixtiyoriy konturlar soni uchun umumlashtirsak, tarkibida tok manbasi bo‘lmagan zanjir uchun kontur toklari tenglamalari tizimi quyidagicha yoziladi:


r₁₁·I₁+ r₁₂·I₂+ r₁₃·I₃+… =E₁ ; (3.3.3a)
r₂₁·I₁+r₂₂·I₂+ r₂₃·I₃+… = E₂ ;
. . . . . . . . . . . . . . . .

Ushbu tenglamalar tizimini matritsa shaklida qisqartirib yozish ham mumkin:

r_ln I_n = E_l . (3.3.3b)
Kontur toklar tenglamalar tizimidagi bir xil indeksli qarshiliklar r_ln, L-konturdagi barcha shoxobchalar qarshiliklari yig‘indisiga teng: har qanday har xil indeksli (l≠n) r_ln qarshilik ikkala qo‘shni l va n konturlar uchun umumiy bo‘lgan shoxobcha qarshiligiga teng: agar l va n konturlarning umumiy shoxobchasidagi toklar musbat ishoralari har xil yo‘nalgan bo‘lsa, u holda r_ln qarshiligi oldida minus ishorasi quyiladi.
Ta`rif bo‘yicha
r_ln= r_nl (3.3.4)

Tenglamalar tizimi (3.3.4) ning kontur toklariga nisbatan yechimini ham matritsa shaklida yozish qulayliklarga olib keladi:

I_n= G_nl E_l (3.3.5)

O‘tkazuvchanlik G_nl ning matritsasi barcha elementlari bu ifodada Kramerning D determinanti va mazkur qarshilik matritsasi r_ln ning algebraik qo‘shimchasi A_ln orqali keltirilgan:

G_nl = A_nl / D. (3.3.6)
Keyingi tenglik berilgan r_ln=r_nl qarshilik tizimi matritsasining simmetrik bo‘lganidagina haqiqiydir.
Qarshilik matritsasi (r_ln=r_nl) simmetriyaligidan algebraik qo‘shimchalarning (A_nl=A_ln) simmetriyaligi kelib chiqadi. Demak, o‘tkazuvchanlik elementlari matritsasi ham simmetrik bo‘lishi zarur:
G_nl=G_ln. (3.3.7)
bunda G_nl koeffitsiyentlar, umumiy holda kontur o‘tkazuvchanliklari deb ataladi.
Ixtiyoriy ikki tugunga ulangan tok J_a manbasining zanjirda mavjudligi, kontur toklari usulini qo‘llashga to‘sqin bo‘la olmaydi.
Shunday qilib, (3.3.3b) tenglamalar tizimining chap tomonida r_la J_a hadi qo‘shiladi, ya`ni
r_ln I_n + r_la J_a=E_l. (3.3.8)
Bunda, tenglamalar soni ga tengligicha qoladi, chunki no‘malum kontur toklar soni ortgani yo‘q.
Qo‘shimcha hadni tenglamalarning o‘ng tomoniga o‘tkazib, (3.3.8) tenglamalar tizimini quyidagi shaklga keltiramiz:
r_ln I_n = E_l - r_la J_a = Z_l. (3.3.9).
Z_l qiymatni konturning keltirilgan EYuK deb nomlash mumkin.