Vakuumdagi magnit maydon induksiya vektorining sirkulyasiyasi. Solenoid va toroidning magnit maydoni. Vakuumdagi elektrostatik maydon uchun ostrogradiskiy gauss teoremasi

Vakuumdagi magnit maydon uchun Gauss teoremasi. Tokli konturning magnit maydonidagi potensial energiyasi.
Elektrostatik maydonlar superpozisiyasi prinsipidan foydalanishga asoslangan maydonlarni hisoblash usulini zaryadlarning har qanday sistemasi maydonini hisoblashga qo‘llash mumkin. Bu usul elektrostatik maydonlarni xisoblashda universaldir. Ammo, odatda u ozmi ko‘pmi mehnat talab qiladigan yig‘indi topish va integrallashdek matematik amallarni bajarish bilan bog‘liq. Ko‘pchilik hollarda Ostrogradskiy-Gauss teoremasidan foydalanishga asoslangan usul ancha sodda bo‘ladi. Ayniqsa, mazkur usul zaryadlarning simmetrik sistemalarining elektrostatik maydonlarini xisoblash uchun qulay. Bunday zaryadlar sistemalarning maydonlari, zaryadlar konfigurasiyasidagi simmetriyalik bilan belgilanadigan, oldindan ma’lum simmetriyaga ega bo‘ladilar. Shuning uchun maydonning qaralayotgan nuqtasidan o‘tuvchi gauss sirtni shunday tanlash mumkiki maydon kuchlanganligining bu sirt orqali oqimi kuchlanganlik vektorining topilayotgan qiymati bilan oson ifodalanadi.
Zaryadlari simmetrik sistemalarning maydonlarini hisoblashning bir nechta misollarini ko‘rib chiqamiz.
1-Misol. R radiusli sfera sirti bo‘yicha sirt zichligi bilan bir tekis taqsimlangan q zaryadning maydoni.
Zaryadlar sistemasi va demak maydonning o‘zi sferaning 0 markaziga nisbatan markaziy simmetrik. Maydon kuchlanganligining vektori faqat radial tashkil etuvchiga ega: = E_r /r, bu yerda - sferaning 0 markazidan maydonning ko‘rilayotgan nuqtasiga o‘tkazilgan radius-vektor; Ye_r - vektorning radius vektoriga, 0 markazdan bir xil uzoqlikdagi barcha nuqtalarda bir xil qiymatga ega bo‘lgan, proyeksiyasi. Shuning uchun gauss sirti uchun markazi 0 nuqtada yotgan r radiusli sferani olish kerak. U holda

Agar rR bo‘lsa q_kam = q va Ostrogradskiy-Gauss (14.9) teoremasiga ko‘rsa,
(14.10)
Agar rkam= 0 va E_r= 0, ya’ni zaryadlangan sfera ichida maydon yo‘q.
Maydonning  potensialini maydon potensiali va kuchlanganligi orasidagi bog‘lanish (13.27) formulasidan topamiz: Ye_r=-d/dr. deb hisoblab, sfera tashqarisida maydon potensiali quyidagiga tengligini topamiz:
(14.10)
(14.10) va (14.10) lardan ko‘rinib turibdiki R radiusli zaryadlangan sferaning maydoni, uning markazida joylashgan nuqtaviy q zaryad maydoni bilan bir xil. Zaryadlangan sfera ichida maydon bo‘lmagani uchun potensial hamma joyida bir xil va sirtida qanday bo‘lsa, shunday:
(14.10)
>0 bo‘lgan hol uchun Ye_r va  larning r ga bog‘lanish grafiklari 14.4-rasmda ko‘rsatilgan.

14.4-rasm.
2-misol. Vakuumda  = 3q/(4R³) hajmiy zichlik bilan R radiusli shar hajmi bo‘yicha bir teks taqsimlangan q zaryadning maydoni.
Sharning 0 markazi maydonning simmetriya markazi hamdir. Shunga ko‘ra markazi 0 nuqtada bo‘lgan r radiusli sfera ko‘rinishidagi S gauss sirti uchun