Vektor maydonidagi ikkinchi tartibli amallar

Stoks formulasi.
Teorema. Agar funksiyalar o‘zlarining birinchi tartibli xususiy hosilalari bilan birga sohada uzluksiz bo‘lsa, u holda quyidagi formula o‘rinli bo‘ladi.



bu yerda birlik vektor normalining sirtga yo‘naltiruvchi kosinuslari, bu sirtning chegarasi.
(71) formula Stoks formulasi deyiladi. Bu formulada kontur bo‘yicha integrallash yo‘nalishi sirtning tanlangan tomoni bilan quyidagi qoida bo‘yicha moslashtiriladi: normalning oxiridan konturni aylanib o‘tish soat miliga qarshi yo‘nalishda kuzatiladi (aylanib o‘tishning bunday yo‘nalishi musbat yo‘nalish deb atalgan).
Vektor maydon uyurmasi.
Faraz qilaylik, fazoning sohasida quyidagi vektor maydon berilgan bo‘lsin:

Ta’rif. vektor maydonning uyurmasi (yoki rotori) deb nuqtaning bilan belgilanadigan va

formula bilan aniqlanadigan vektor maydoniga aytiladi, bunda xususiy hosilalarni nuqtada topamiz.
Misol. Ushbu

vektor maydonning uyurmasini toping.
Yechish. ga egamiz. Xususiy hosilalarni topamiz:

Demak,

Uyurma tushunchasidan foydalanib, (20) Stoks formulasini vektor shaklida qayta yozish mumkin:

va bunday ifodalash mumkin: vektorning sirtni chegaralovchi konturni aylanib chiqishning musbat yo‘nalishi bo‘yicha sirkulyatsiyasi vektorning shu sirt orqali o‘tadigan oqimiga teng.
Uyurmaning ta’rifidan foydalanib, quyidagi xossalarning to‘g‘ri ekaniga ishonch hosil qilish mumkin:

bunda o‘zgarmas skalyar;
bunda skalyar maydonni aniqlovchi funksiya.
Uyurmaning invariant ta’rifi. Uyurmaning yuqorida berilgan ta’rifi koordinatalar sistemasini tanlashga bog‘liq. Endi uyurmali maydonga invariant ta’rif beramiz.
Faraz qilaylik, ixtiyoriy belgilangan birlik vektor va esa nuqtani o‘z ichiga olgan chegarali yassi shakl bo‘lib, u vektorga perpindikulyar bo‘lsin. (20) Stoks formulasini

ko‘rinishda yozamiz, chunki (19-chizma).

19-chizma.

O‘rta qiymat haqidagi teoremaga muvofiq:

bundan bu yerda yuz sohaning yuzi, bu sohadagi biror nuqta.
Oxirgi tenglikda sohani nuqtaga tortib (yoki da), limitga o‘tamiz, bunda nuqta nuqtaga intiladi:

yoki

Ta’rif. Vektor maydon uyurmasi deb, shunday vektorga aytiladiki, uning biror yo‘nalishga bo‘lgan proeksiyasi shu yo‘nalishga perpindikulyar bo‘lgan yassi yuzning kontur bo‘yicha bektor maydon sirkulyatsiyasining yuzning kattaligiga nisbatiga teng, bunda yuzning o‘lchamlari nolga intiladi ( ), yuzning o‘zi esa nuqtaga tortiladi.