Vektor skalyar mahsuloti

Agar vektorlar ortogonal, keyin (proyeksiya - o'lchamlari nolga teng deb qabul qilingan nuqta).
Agar burchak vektorlar orasida ahmoq(rasmda vektorning o'qini aqliy ravishda o'zgartiring), keyin (bir xil uzunlikdagi, lekin minus belgisi bilan olingan).
Ushbu vektorlarni bir nuqtadan chetga surib qo'ying:

Shubhasiz, vektor harakatlanayotganda uning proyeksiyasi o'zgarmaydi
Ikki vektor orasidagi burchak, :
Ikki vektor orasidagi burchak o'tkir bo'lsa, ularning nuqta mahsuloti musbat; agar vektorlar orasidagi burchak toʻq boʻlsa, bu vektorlarning skalyar koʻpaytmasi manfiy boʻladi. Ikki nolga teng bo'lmagan vektorlarning skalyar ko'paytmasi, agar bu vektorlar ortogonal bo'lsa, nolga teng.
Vazifa. vektorlar orasidagi burchakni toping
Yechim. Istalgan burchakning kosinusu


16. To'g'ri chiziqlar, to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni hisoblash
Chiziq va tekislik orasidagi burchak bu chiziqni kesishgan va unga perpendikulyar bo'lmagan chiziq va uning bu tekislikka proyeksiyasi orasidagi burchakdir.
Chiziq va tekislik orasidagi burchakni aniqlash chiziq va tekislik orasidagi burchak ikki kesishuvchi chiziq orasidagi burchak: chiziqning o'zi va uning tekislikka proyeksiyasi degan xulosaga kelishimizga imkon beradi. Demak, chiziq va tekislik orasidagi burchak o'tkir burchakdir.

Perpendikulyar chiziq bilan tekislik orasidagi burchak teng, parallel chiziq bilan tekislik orasidagi burchak esa yo umuman aniqlanmagan yoki ga teng deb hisoblanadi.
§ 69. To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni hisoblash.
Fazoda ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni hisoblash masalasi xuddi tekislikda bo'lgani kabi hal qilinadi (§ 32). Chiziqlar orasidagi burchakni ph bilan belgilang l 1 va l 2 , va ps orqali - yo'nalish vektorlari orasidagi burchak lekin Va b bu to'g'ri chiziqlar.

Keyin agar
ps 90° (206.6-rasm), keyin ph = 180° - ps. Ko'rinib turibdiki, ikkala holatda ham cos ph = |cos ps| tengligi to'g'ri. Formula bo'yicha (1) § 20 bizda mavjud

Binobarin, 
Chiziqlar ularning kanonik tenglamalari bilan berilsin
Keyin chiziqlar orasidagi burchak ph formula yordamida aniqlanadi
Agar chiziqlardan biri (yoki ikkalasi) kanonik bo'lmagan tenglamalar bilan berilgan bo'lsa, burchakni hisoblash uchun siz ushbu chiziqlarning yo'nalish vektorlarining koordinatalarini topishingiz kerak va keyin (1) formuladan foydalaning.
17. Parallel chiziqlar, Parallel to'g'rilar haqida teoremalar
Ta'rif. Tekislikdagi ikkita chiziq deyiladi parallel agar ularda umumiy fikrlar bo'lmasa.

Uch o'lchamdagi ikkita chiziq deyiladi parallel agar ular bir tekislikda yotsa va umumiy nuqtalari bo'lmasa.

Ikki vektor orasidagi burchak.
Nuqta mahsulotining ta'rifidan:
.