17. Metallarda fermi darajasi va Fermi-Dirak taqsimot funksiyasi Fermi darajasi

Fermi - Dirak taqsimot funksiyasi. Muayyan sharoitlarda zarrachalarning turli darajalar yoki holatlar bo'yicha taqsimlanishi tabiati taqsimot funktsiyasi deb ataladigan narsa bilan belgilanadi. Umumiy holatda taqsimot funktsiyasi u yoki bu darajani zarrachalar bilan band qilish ehtimolini tavsiflaydi. Agar ma'lum bir sathda zarracha yashashi aniq ma'lum bo'lsa, u holda bu darajadagi zarrachani aniqlash ehtimoli 1 ga teng deyiladi. Biroq, to'liq ishonch bilan aytish mumkinki, zarrachada zarrachalar yo'q. ko'rib chiqilgan daraja, u holda ko'rib chiqilayotgan holatda zarrachalarni aniqlash ehtimoli 0 deb aytiladi Biroq, ko'p hollarda daraja to'liq yoki bo'sh ekanligini ishonchli tarzda aytib bo'lmaydi. Keyin ko'rib chiqilayotgan darajada zarrachani topish ehtimoli noldan farq qiladi, lekin birdan kamroq. Bunday holda, ko'rib chiqilgan darajada zarrachani aniqlash ehtimoli qanchalik katta bo'lsa,
Agar biz potentsial quduqning pastki qismidan uning shiftigacha abscissa o'qi bo'ylab turli darajalarga to'g'ri keladigan energiya qiymatlarini va ordinata o'qi bo'ylab tegishli darajalarni elektronlar bilan to'ldirish ehtimolini chizsak, u holda biz diagrammani olamiz. Fermi-Dirak taqsimot funksiyasi T \u003d 0 da u 48-rasmda ko'rsatilgan shaklga ega. Ko'pincha bu grafik Fermi qadami deb ataladi. Undan ko'rinib turibdiki, T = 0 da Fermi darajasigacha bo'lgan barcha sathlar elektronlar bilan band bo'lib chiqadi. W = m nuqtada taqsimot funksiyasi nolga o'tadi; bu Fermi sathidan yuqori barcha darajalar bo'sh ekanligini bildiradi.

Guruch. 48
Harorat effekti. Noldan boshqa haroratlarda qaramlik grafigi shakli 48-rasmda ko'rsatilganidan farq qiladi. Haroratning oshishi elektronlarning termal qo'zg'alish ko'rinishiga olib keladi, ular kristall panjaraning termal tebranishlaridan oladi. Ushbu qo'zg'alish tufayli eng yuqori to'ldirilgan darajalarda joylashgan elektronlarning bir qismi Fermi sathidan yuqorida yotgan bo'sh darajalarga o'tadi (49-rasm). Ushbu darajalarda elektronlarni aniqlash ehtimoli allaqachon nolga teng bo'ladi. Shu bilan birga, to'g'ridan-to'g'ri Fermi sathidan pastda joylashgan ba'zi sathlardan ba'zi elektronlarning ketishi tufayli ularni to'ldirish ehtimoli birlikdan kamroq bo'ladi. Shunday qilib, haroratning oshishi Fermi pog'onasi chegarasining qandaydir "qoralanishi" ga olib keladi: 1 dan 0 gacha keskin o'zgarish o'rniga, taqsimlash funktsiyasi silliq o'tishni amalga oshiradi. 50-rasmda nuqta chiziq T = 0 darajasida elektronlarning darajalar bo'yicha taqsimlanish funksiyasi grafigining shaklini ko'rsatadi va qattiq chiziqlar noldan boshqa haroratlarda elektronlarning taqsimlanishini aks ettiradi. WF qiymatining o'ng tomonidagi taqsimot egri chizig'i ostida joylashgan egri uchburchakning maydoni (2-chizma) qo'zg'atilgan darajalarga o'tgan elektronlar soniga va bir xil uchburchakning maydoniga proportsionaldir. taqsimot egri chizig'i ustidagi WF qiymatining chap tomoni (1-chizma) ilgari to'ldirilgan sathlarni tark etgan elektronlar soniga, ya'ni Fermi darajasi ostida bo'shatilgan joylar soniga proportsionaldir. Bu ikki uchburchakning maydonlari bir xil ekanligi aniq, chunki ular turli pozitsiyalardan bir xil miqdordagi elektronlarni ifodalaydi. noldan farq qiladi. WF qiymatining o'ng tomonidagi taqsimot egri chizig'i ostida joylashgan egri uchburchakning maydoni (2-chizma) qo'zg'atilgan darajalarga o'tgan elektronlar soniga va bir xil uchburchakning maydoniga proportsionaldir. taqsimot egri chizig'i ustidagi WF qiymatining chap tomoni (1-chizma) ilgari to'ldirilgan sathlarni tark etgan elektronlar soniga, ya'ni Fermi darajasi ostida bo'shatilgan joylar soniga proportsionaldir. Bu ikki uchburchakning maydonlari bir xil ekanligi aniq, chunki ular turli pozitsiyalardan bir xil miqdordagi elektronlarni ifodalaydi. noldan farq qiladi. WF qiymatining o'ng tomonidagi taqsimot egri chizig'i ostida joylashgan egri uchburchakning maydoni (2-chizma) qo'zg'atilgan darajalarga o'tgan elektronlar soniga va bir xil uchburchakning maydoniga proportsionaldir. taqsimot egri chizig'i ustidagi WF qiymatining chap tomoni (1-chizma) ilgari to'ldirilgan sathlarni tark etgan elektronlar soniga, ya'ni Fermi darajasi ostida bo'shatilgan joylar soniga proportsionaldir. Bu ikki uchburchakning maydonlari bir xil ekanligi aniq, chunki ular turli pozitsiyalardan bir xil miqdordagi elektronlarni ifodalaydi. Tarqatish egri chizig'i ustidagi WF qiymatining chap tomonida joylashgan (1-chizma) ilgari to'ldirilgan darajalarni tark etgan elektronlar soniga, ya'ni Fermi darajasida bo'shatilgan joylar soniga proportsionaldir. Bu ikki uchburchakning maydonlari bir xil ekanligi aniq, chunki ular turli pozitsiyalardan bir xil miqdordagi elektronlarni ifodalaydi. Tarqatish egri chizig'i ustidagi WF qiymatining chap tomonida joylashgan (1-chizma) ilgari to'ldirilgan darajalarni tark etgan elektronlar soniga, ya'ni Fermi darajasida bo'shatilgan joylar soniga proportsionaldir. Bu ikki uchburchakning maydonlari bir xil ekanligi aniq, chunki ular turli pozitsiyalardan bir xil miqdordagi elektronlarni ifodalaydi.

Guruch. 49

Guruch. ellik
Shuni ta'kidlash kerakki, metalldagi elektron taqsimot egri chizig'ining bulg'anish darajasi ish harorati oralig'ida juda kichikdir. Bu faqat Fermi darajasiga to'g'ridan-to'g'ri qo'shni energiya sathlarida joylashgan elektronlar termal qo'zg'alishga duchor bo'lishi bilan izohlanadi. Qo'zg'alishga duchor bo'lgan darajalarning energiya chuqurligini sifat jihatidan baholash mumkin. Molekulyar fizikadan ma'lumki, issiqlik harakati natijasida zarrachalarning kinetik energiyasi quyidagicha ifodalanadi:

Binobarin, termal tebranishlarni boshdan kechirayotgan kristall panjaraning atomlari tomonidan elektronlarga o'tkazilishi mumkin bo'lgan energiyaning qiymati kattalik tartibida kT ga teng. Xona haroratida Bu haroratda metallar uchun Fermi energiyasi 3 dan 10 eV gacha. Shunday qilib, normal sharoitda barcha erkin elektronlarning 1% dan ko'pi yuqori energiya darajalariga o'tishda ishtirok eta olmaydi. Bundan tashqari, bu energiya Fermi energiyasiga yaqin bo'lgan elektronlardir. Potensial quduqda chuqur joylashgan va Fermi sathidan kT dan ortiq masofada joylashgan energiya sathlarini to'ldiruvchi elektronlarga kelsak, ular termal qo'zg'alishda ishtirok etmaydi, buning natijasida bu elektronlarning taqsimlanishi mutlaq nolga teng bo'lib qoladi.