Prof. Yav Ksoy uz a cilt 2 Dİferansiyel denklemler

Legendre  diferansiyel  denklemi, 
 
1,1

  aralığında  tanımlı, 
1

  noktalarında  kaldırılabilir 
tekilliğe sahip bir denklemdir. Kapalı formu 
0
Ly
  şeklinde gösterilir. Burada 
L
, Legendre 
operatörüdür. 
 
 




2
1
1
d
d
L
x
p p
dx
dx




 ;    


0,
p



 
Denklem Frobenius yöntemi ile çözülürse ve 
0
n
n
n
y
a x




,  
1
0
n
n
n
y
na x



 

, 


2
0
1
n
n
n
y
n n
a x



 


 
ifadeleri denklemde yerlerine konursa,  




2
1
2
1
Ly
x y
xy
p p
y


 



 

112 
 
   
 






2
2
1
0
0
0
1
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n n
a x
x
na x
p p
a x








 







 
 
 






2
0
0
1
2
1
1
n
n
n
n
n
n
n n
n p p
a x
n n
a x







 










 
 
 



2
2
2
0
2
2
1
n
n
n
n
n
n
p
n
p n a x
n
n
a x









 







 
 
 






2
0
1
2
1
n
n
n
n
p n
p n a
n
n
a
x




 









 
 
 
0

 
 
elde edilir. Bu eşitlikten çıkan karakteristik denklem ise  


2
0
1
2
p p
a
a

 
 



3
1
2
1
3 2
p
p
a
a


 

 

 






2
1
2
1
n
n
p n
p n
a
a
n
n

 

 


 
şeklinde bulunur. Çözümün sonlu olabilmesi için  
  
 
 
 
2
2
lim
1
n
n
n
n
n
a x
a x




   
şartı sağlanması  gerektiğinden, karakteristik denklem yardımıyla elde edilen çözümün sonlu 
olması, ancak  
n
p
 
 veya 


1
n
p
 

 şeklinde serinin kesilmesi ile olur. Bu şekilde oluşan 
polinomlara  Legendre  Polinomları  denir,  dolayısıyla  bu  polinomlar  Legendre  diferansiyel 
denkleminin çözümüdür. 
Örnek. 
 pozitif bir tam sayı olmak üzere  
 
 
 




2
1
2
1
0
x y
xy
p p
y







 
diferansiyel  denklemine,  Legendre  Diferansiyel  Denklemi  denir.  Legendre  diferansiyel 
denkleminin 
  civarında  bir  çözümünün 
-inci  dereceden  bir  polinom  olduğunu 
gösterelim. 
0
x
  adi bir noktadır. Bu nedenle 
 formunda bir çözümünü arayabiliriz.  
1
2
1
2
,
(
1)
n
n
n
n
n
n
y
na x
y
n n
a x













   
p
0
x

p
0
n
n
n
y
a x





113 
 
olup, bu değerler ile denkleme gidelim: 
 
 




2
2
2
1
0
1
(
1)
2
1
0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n n
a x
na x
p p
a x
















 
 
 


2
2
2
1
0
(
1)
(
1)
2
1
0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
a x
n n
a x
na x
p p
a x




















                                                         
olup, bunu düzenleyelim: 




2
2
2
0
3
1
2
6
2
a
p
p a
x a
p
p
a








 






 
 
 
 





2
2
2
2
1
0
n
n
n
x
n
n
a
p
p n
n a







 






 
olur. 



2
2
1
p
p n
n
p n p n
 
 

 
 olduğunu dikkate alarak, 
                            






2
1
2
1
n
n
p n p n
a
a
n
n


 
 


   
 
 
rekürans bağıntısını elde edelim. 
Bu bağıntıyı değerlendirerek   büyüklüklerini 
0
a
 ve 
1
a
 cinsinden ifade edelim: 


2
0
1
2.1
p p
a
a

 
 



3
1
1
2
3.2
p
p
a
a


 
 




 


4
2
0
2
3
2
1
3
4.3
4!
p
p
p
p p
p
a
a
a





 

 








5
3
1
3
4
3
1
2
4
5.4
5!
p
p
p
p
p
p
a
a
a






 

 
 

 
n
a
 lerin bu değerlerini 
0
n
n
n
y
a x




 de yerine koyalım ve düzenleyelim: 
 



 


2
4
0
1
2
1
3
1
2!
4!
p p
p
p p
p
y a
x
x















 
 








3
5
1
1
2
3
1
2
4
3!
5!
p
p
p
p
p
p
a x
x
x

















 
0 1
1 2
a y
a y


                                                                                          
bulunur. 
Rekürans bağıntısında  yer alan 
p n

 çarpanını dikkate alarak 
n
p

 için 
2
0
p
a


 olduğunu, 
dolayısıyla  
 
 
 
4
6
8
0
p
p
p
a
a
a








 
olacağını söyleyebiliriz. Buna göre şu değerlendirmeyi yapabiliriz: 
n
a

114 
 
(i) 
 pozitif tek tam sayı ise 
 olmak üzere tüm tek indisli 
n
a
ler sıfırdır. 
(ii) 
 pozitif çift tam sayı ise 
 olmak üzere tüm çift indisli 
n
a
ler sıfırdır.  
Bunun anlamı : 
1
y
 veya 
2
y
 nin derecesi en büyük olan 
p
x
 olmak üzere sonlu sayıda terim 
içermesidir ; yani 
p
-inci dereceden bir polinom olmasıdır. 
Son bağıntıda 
1
0
a

 seçelim. 
(1) 1
y

 koşulu gerçeklenmek kaydıyla  
0, 2, 4, ...
p

 için 
0
a
 
ın alacağı değerler ve buna bağlı olarak 
y
  nin  
edindiği yapılar Legendre Polinomları olarak adlandırılır. Aşağıda bu polinomlardan bazıları 
verilmiştir: 




2
4
2
0
2
4
1
1
( ) 1, ( )
3
1 , ( )
35
30
3 ,
2
8
P x
P x
x
P x
x
x






 
Şimdi  de  aynı  bağıntıda   
0
0
a

  seçelim.  Yine 
(1) 1
y

  başlangıç  koşulu  gerçeklenmek 
kaydıyla 
1, 3, 5, ...
p

  koyalım;  böylece  elde  edilen  Legendre  Polnomları’ndan  üç  tanesi 
daha aşağıda verildiği gibidir : 




3
5
3
1
3
5
1
1
( )
, ( )
5
3 , ( )
63
70
15 ,...
2
8
P x
x P x
x
x P x
x
x
x






 
06.03.  Bessel Diferansiyel Denklemi 
p
-inci mertebeden bir Bessel Diferansiyel Denklemi 
 
             


2
2
2
0
x y
xy
x
p y






 
şeklindedir. Frobenius yöntemi ile bir çözümünü araştıralım. 
Denklemi önce  
    
 
2
2
2
1
0
x
p
y
y
y
x
x






 
formunda  yazalım.  Burada   
2
2
1
2
( ) 1 ,
( )
R x
R x
x
p



  olup  her  ikisi  de 
0
x

  noktası 
civarında  seriye  açılabilirler,  yani  analitiktirler.    Dolayısıyla 
0
x

  noktası  bir  düzgün  tekil 
noktadır ve denklemin   
                          
0
c n
n
n
y
a x





   
formunda bir çözümü olacaktır. 
0
c n
n
n
y
a x





  i  ve  buradan  hareketle  oluşturulan 
y
  ve 
y
  değerlerini  denklemde  yerine 
koyduktan sonra gerekli sadeleştirmeleri yaparsak, 








2
2
2
2
1
2
2
2
0
1
2
0
1
2
c
c
c
x c
p a
x
c
p a
x
c
p a
a




















                                         
                                             
p
n
p

p
n
p


115 
 




2
2
2
0
c n
n
n
x
c n
p a
a













 
olup buradan da, 






2
2
2
2
2
2
0
1
2
0 ,
1
0 ,
0
n
n
c
p a
c
p a
c n
p a
a


















 
buluruz. 
n
a
 ile 
2
n
a

 arasında oluşan rekürans bağıntısı 
 
 
 


2
2
2
1
n
n
a
a
c n
p

 


 
şeklinde oluşacaktır. 
İndis  denklemi   
2
2
0
c
p


  ve  kökleri,  p   negatif  olmamak  üzere  p   ve 
p

  dir. 
c p

 
olgusunu  rekürans bağıntısında kullanırsak 
1
0
a

  ve 


2
1
,
2
2
n
n
a
a
n
n
p n

 


    ve dolayısıyla   
1
3
5
a
a
a




   ve 


2
0
2
1
2 1!
1
a
a
p
 

 





4
2
0
2
4
1
1
2 2
2
2 2!
2
1
a
a
a
p
p
p
 




 






6
4
0
2
6
1
1
2 3
3
2 3!
3
2
1
a
a
a
p
p
p
p
 





 
    

 
 








2
0
2
1
1
2
!
1
2
1
k
k
k
a
a
k
k p k p k
p
p




 



 
bulunur. Aradığımız çözüm : 
 
 
2
1
0
2
0
1
( )
c
n
p
k
n
k
n
k
y x
x
a x
x a
a x















 
 
       
 






2
0
2
1
1
1
2
!
1
2
1
k
k
p
k
k
x
a x
k p k p k
p
p










 








       
olacaktır. 
0
a
 büyüklüğü, genel olarak  


0
1
2
1
p
a
p



  olarak seçilir. Bu seçimi son ifade 
için değerlendirelim : 

116 
 


 


2
1
2
1
1
1
( )
2
1
2
!
1
k
k p
p
p
k p
k
x
y x
x
p
k
p k










 

 


2
2
0
1
( )
2
!
1
k
k p
p
k p
k
x
J x
k
p k








 

 
elde edilir. 
 
Örnek. 
   


 


2 1
2
1
2
2
1
0
0
1
2
1
2
!
1
2
!
2
k
k
k
k
k p
k p
k
k
k x
x
k
p k
k
p k





 




 

 

 


  bağıntısın gerçekleyelim. 
 
Önce  
0
k

 a karşı gelen terimi diğerlerinden ayırarak 
   


   


2
1
2
1
2
2
0
1
1
2
1
2
0
2
!
1
2
!
1
k
k
k
k
k p
k p
k
k
k x
k x
k
p k
k
p k










 

 

 


 
yazalım. Şimdi de 
1
j k
 
 değişken dönüşümünü yapalım : 
 


 
 

 

   


 

1
2
1 1
2
1
2
2
2
1
0
0
1
2
1
1
1 2
1
2
1 !
2
2
1 !
1 1
j
j
j
j
j p
j
p
j
j
j
x
j
x
j
p
j
j
p
j

 



 
 










 
 
  


 
  

 
  

2
1
2
1
0
1 2
1
2
2
1
!
2
j
j
j p
j
j
x
j
j
p
j


 



 


 

 
  

2 1
2
1
0
1
2
!
2
j
j
j p
j
x
j
p
j


 


 

 

 
Örnek. 
 


   


2
2
2
2
1
2
0
0
1
1
2
2
!
2
2
!
1
k
k
k p
k p
k p
k p
k
k
x
k x
k
p k
k
p k
 



 








 

 


   
bağıntısını gerçekleyelim. 
1
j k
 
 değişken dönüşümünü yapalım: 
 


 
 
 

 

1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
0
1
1
1
2
!
2
2
1 !
1 2
k
j
j
p
k p
k p
j
p
k
j
x
x
k
p k
j
p
j

  
 


 
  





  

 
 
  


 
      
 

 

2
2
1
1
1
2
1 !
1
j
j p
j p
j
x
j
p
j


 



 
 

 
olup son toplamda pay ve paydayı  2 j  ile çarparak, 
 
   
 
   


2
2
1
1
2
2
!
1
j p
j
j p
j
j x
j
p
j






 

 

117 
 
bulunur.  Bu  yapıdaki  bir  toplamı 
1
j

  den  değil, 
0
j

  dan  başlatırsak 
0
j

  a  karşı  gelen 
terim sıfır olacağından herhangi bir şey değişmez, yani,  
 
   
   


   


2
2
2
2
1
0
1
2
1
2
2
!
1
2
!
1
j p
j p
j
j
j p
j p
j
j
j x
j x
j
p
j
j
p
j












 

 


 
yazabiliriz. Bu son oluşumda da 
j
 yerine 
k
 alacak olursak istenen sonuç elde edilmiş olur. 
 
Örnek. 
1
1
1
( )
( )
p
p
p
p
d
x J
x
x J x
dx




 


  bağıntısını gerçekleyelim. 
Bessel fonksiyonunu temsil eden seriyi terim terim türetelim: 
 


2
1
2
1
1
1
1
0
1
( )
2
!
1 1
k p
k
k p
p
p
p
k
x
d
d
x J
x
x
dx
dx
k
k p
 
 









  



   





 
 
 


2
2
2
2
0
1
2
2 !
2
k p
k
k
p
k
x
d
dx
k
k
p











  





  



2
2
2
1
0
1
2
2
2
2
!2
2
k p
k
k
p
k
k
p
x
k
k
p









  

 
ve  

 
 

2
2
2
1
1
k
p
k
p
k
p
  

    
  
ilişkisi dikkate alınırsa, pay ve paydada bulunan