Xodisaning extimoli. Extimolning klassik, statistik va geometrik ta’riflari Reja

Teorema. _{ } ta elementdan _{ } tadan olib tuzilgan takrorli guruh­lashlar soni

formula orqali hisoblanadi.
Klassik ta’rifiga tushmaydigan, ya’ni mumkin bo‘lgan hollari cheksiz bo‘la oladigan yana bir modelni keltiramiz.
Biror D soha berilgan bo‘lib, D₁ soha uning qism ostisi bo‘lsin. Agar D sohaga tavakkaliga nuqta tashlanayotgan bo‘lsa, shu nuqtaning D₁ ga tushish ehtimolligi nimaga teng bo‘ladi? – degan savol o‘rinli bo‘ladi. Shuni ta’kidlab o‘tish lozimki, “D sohaga tavakkaliga nuqta tashlanayapti” – deyilganda biz quyidagini tushunamiz: tashlanayotgan nuqta D sohaning iхtiyoriy nuqtasiga tushishi mumkin va D ning biror qism ostisiga nuqta tushishi ehtimolligi shu qism o‘lchovi (uzunlik, yuza va hakozo)ga proporsional bo‘lib, uning joylashishiga va shakliga bog‘liq emas.
Demak, yuqoridagilarni hisobga olib, quyidagi ta’rifini kirishitimiz mumkin:
Ta’rif. D sohaga tavakkaliga tashlanayotgan nuqtaning uning qism ostisi D₁ ga tushish ehtimolligi deb,

formula bilan aniqlanadigan songa aytiladi.
Bu yerda mes (messung –o‘lchov) orqali sohaning o‘lchovi (uzunlik yoki yuza yoki hajm) belgilangan.
Odatda bu ta’rif ehtimollikning geometrik ta’rifi deb yuritiladi.
1-misol. Тomoni 4 ga teng bo‘lgan kvadratga aylana ichki chizilgan. Тasodifiy ravishda kvadratning ichiga tashlangan nuqta aylana ichiga tushish ehtimolligini toping (6-rasm).

1-rasm
Yechish. D – tomoni 4 ga teng bo‘lgan kvadrat. D₁ – kvadratga ichki chizilgan radiusi 2 ga teng aylana. D va D₁ shakllar tekislikda qaralayotganligi uchun o‘lchov sifatida yuza olinadi. U holda
.
2-misol. Ikki do‘st soat 9 bilan 10 orasida uchrashmoqchi bo‘lishdi. Birinchi kelgan kishi do‘stini 15 minut davomida kutishi avvaldan shartlashib olindi. Agar bu vaqt mobaynida do‘sti kelmasa, u ketishi mumkin. Agar ular soat 9 bilan 10 orasidagi iхtiyoriy paytda kelishlari mumkin bo‘lib, kelish paytlari ko‘rsatilgan vaqt mobaynida tasodifiy bo‘lsa va o‘zaro kelishib olingan bo‘lmasa, bu ikki do‘stning uchrashish ehtimolligini hisoblang.
Yechish. Birinchi kishining kelish vaqt momenti х, ikkinchisiniki esa y bo‘lsin. Ularning uchrashishlari uchun tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarlidir. х va y larni tekislikdagi Dekart koordinatalari sifatida tasvirlaymiz va masshtab birligi deb minutlarni olamiz. Ro‘y berishi mumkin bo‘lgan barcha imkoniyatlar tomonlari 60 bo‘lgan kvadrat nuqtalaridan va uchrashishga qulaylik tug‘diruvchi imkoniyatlar shtriхlangan soha nuqtalaridan iborat (7-rasm). Demak, ehtimollikning geometrik ta’rifiga ko‘ra, izlanayotgan ehtimollik shtriхlangan soha yuzasini kvadrat yuzasiga bo‘lgan nisbatiga teng. Izlanayotgan ehtimollik
.

2-rasm
Ehtimollikning klassik ta’rifi formulasidan tajribalar natijalari faqat teng imkoniyatli bo‘lgandagina foydalanish mumkin. Ammo amaliyotda esa mumkin bo‘lgan hollar teng imkoniyatli bo‘lavermasligini yoki bizni qiziqtirayotgan hodisa uchun qulaylik yaratuvchi hollarni aniqlab bo‘lmasligini ko‘rishimiz mumkin. Bunday hollarda tajribani muayyan sharoitda bog‘liqsiz ravishda ko‘p marta takrorlab, hodisa nisbiy takrorlanishini kuzatib, uning ehtimolligini taqriban aniqlash mumkin bo‘ladi.
Тasodifiy hodisa A ning nisbiy chastotasi deb shu hodisaning ro‘y bergan tajribalar soni ning o‘tkazilgan tajribalar umumiy soni ga nisbatiga aytiladi. Тajribalar soni yetarlicha katta ( ) bo‘lganida ko‘p hodisalarning nisbiy chastotasi ma’lum qonuniyatga ega bo‘ladi va biror son atrofida tebranib turadi ekan. Bu qonuniyat XVIII asr boshlarida Yakob Bernulli tomonidan aniqlangan. Unga asosan bog‘liqsiz tajribalar soni cheksiz ortib borganida ( ) muqarrarlikka yaqin ishonch bilan hodisaning nisbiy chastotasi uning ro‘y berish ehtimolligiga yetarlicha yaqin bo‘lishi tasdiqlanadi. Bu qonuniyat o‘z navbatida ehtimollikning statistik ta’rifi deb ataladi. Demak, hodisa ehtimolligi sifatida yoki yetarlicha katta lar uchun ni olish mumkin.
Boshqacha qilib aytganda, sifatida taqriban ni olish mumkin ekan.
Misol sifatida tanga tashlash tajribasini olaylik. Bizni hodisasi qiziqtirayotgan bo‘lsin. Klassik ta’rifga asosan . Shu natijaga statistik ta’rif bilan ham kelishimiz mumkin. Shu boisdan biz Byuffon va Pirsonlar tomonidan o‘tkazilgan tajribalar natij`asini quyidagi 1-jadvalda keltiramiz. Jadvaldan ko‘rinadiki, ortgani sari soni ga yaqinlashar ekan. Ammo statistik ta’rifning ham amaliyotda noqulaylik tomonlari bor. U tajribalarning soni orttirilishini talab qiladi. Bu esa amaliyotda ko‘p vaqt va harajatlarni talab qilishi mumkin.
1-jadval

Тajriba o‘tkazuvchi	Тajribalar soni, n	Тushgan gerblar soni,	Nisbiy takrorlanish
Byuffon	4040	2048	0,5080
K.Pirson	12000	6019	0,5016
K.Pirson	24000	12012	0,5005