Yakkalangan maxsus nuqtalar. Soxodskiy teoremasi

Ta’rif B. kompleks tekislikda golomorf bo’lgan funksiyaga butun funksiya deyiladi.
Agar nuqta butun funksiya uchun bartaraf etiladigan maxsus nuqta bo’lsa, u holda Liuvil’ teoremasiga ko’ra, bunday funksiya o’zgarmasdir. Agar nuqta funksiya uchun qutb maxsus nuqta bo’lsa, u holda bunday funksiya (kuphad) poligondan iboratdir.
Haqiqatan ham funksiyaning nuqta atrofidagi Loran qatorini bosh qismi deb olsak, funksiya butun tekislikda golomorf bo’lib, nuqta bartaraf etiladigan, maxsus nuqtadir.
Liuvil’ teoremasiga ko’ra bo’ladi. Shuning uchun kelib chiqadi.
Agar nuqta butun funksiya uchun muhim maxsus nuqta bo’lsa, bunday funksiyaga butun transendent funksiya deyiladi.
Masalan: transendent funksiyalardir.
Ta’rif. Ochiq tekislikda qutbdan boshqa maxsus nuqtaga ega bo’lmagan funksiyaga meromorf funksiya deyiladi.
Butun funksiyalar sinfi meromorf funksiyalar sinfining qism to’plamini tashkil qiladi.
Har bir qutb maxsus nuqta funksiya uchun yakkalangan maxsus nuqta bo’lganligi sababli sohada maxsus nuqtalarning soni cheklidir. Boshqacha qilib aytganda qutblar chekli limitga ega emas.
SHu meromorf funksiyalarni qutblarini sanab chiqish mumkin. CHeksizta qutblarga ega bo’lgan meromorf funksiyalarga misol sifatida .
4–Teorema. Agar funksiya uchun lik bartaraf etiladigan yoki qutb maxsus nuqtadan iborat bo’lsa, u holda bunday funksiya rasional funksiyadan iborat bo’ladi ( –meromorf funksiya )
Isbot. funksiyani barcha qutblari soni cheklidir. CHunki, aks holda yakkalangan maxsus nuqta bo’lar edi. Bu qutblarning orqali belgilaymiz. funksiyaning Loran qatoriga yoysak, Loran qatorini bosh qismi
nuqta funksiya uchun bartaraf etiladigan yoki qutb maxsus nuqta bo’lganligi uchun nuqta atrofida funksiyaning Loran qatoriga yoyilmasi shaklda tasvirlanadi. Agar nuqtalarni bartaraf etiladigan nuqtasi bo’lsa, deymiz. Quyidagi funksiyani tuzamiz. Bu funksiya golomorf funksiya. Shuning uchun bo’ladi. Bunda bo’ladi. Teorema isbot bo’ldi.