Yaqinlashuvchi sonli qatorning hadlari bilan majorantlanadi

Agar funksiya segmentda uzluksiz va shu segmentda uzluksiz birinchi tartibli hosilalarga ega bo`lsa, u holda (12) qator segmentda funksiyaga tekis yaqinlashadi, bunda (12) qatorning har bir hadi ushbu

(16)

yaqinlashuvchi sonli qatorning hadlari bilan majorantlanadi.

Demak, (8) qator ixtiyoriy bo`lganda (16) qatorga murojatlansa, u holda Veyershtrass alomatiga ko`ra (8) qator yopiq sohada absolyut va tekis yaqinlashuvchi bo`ladi.

Endi ixtiyoriy uzluksiz funksiya bo`lganda, koeffitsentlari (13)-(15) formulalar bilan aniqlangan (8) qator sohada Dirixle masalasining yechimi ekanligini ko`rsatamiz. Buning uchun aylanada berilgan funksiyaga intiluvchi funksiyalar ketma-ketligini quramiz.

Faraz qilaylik, funksiya shartni qanoatlantiruvchi Dirixle masalasining yechimi bo`lsin. 6-lemmaga asosan ketma-ketlik doirada uzluksiz bo`lgan funksiyaga intiladi va bu funksiya da funksiyaga teng.

Faraz qilaylik, funksiyaning Fure koeffisentlari bo`lsin. olinganda barcha lar uchun yetarlicha katta larda

bo`ladi.

Bundan

kelib chiqadi.

Demak, (8) formula bilan aniqlangan funksiya sohada (1)-(2) Dirixle masalasining yechimi ekan.

Shunday qilib, quyidagi teoremaning o`rinli ekanligi isbotlandi.

1-TEOREMA. Agar va bo`lsa, u holda sohada Laplas tenglamasi uchun Dirixle masalasining yagona yechimi mavjud bo`ladi. Bu yechim (8) qator bilan, uning koeffitsiyentlari mos ravishda (13), (14) va (15) formulalar bilan aniqlanadi.

Puasson formulasi

Endi (8) qatorni (14)-(15) formulalarni inobatga olib o`zgartiramiz. Buning uchun (14) va (15) koeffitsiyentlarni (8) qatorga qo`yamiz. Natijada sohada







(17)

formulaga ega bo`lamiz. Oxirgi formulada deb belgilaymiz va Eyler formulasidan foydalansak, qavs ichidagi ifoda quyidagi

ko`rinishga keladi.

U holda (18) ifodani (17) formulaga qo`yib, bo`lganda

formulani olamiz.

Bu formula Puasson formulasi deyiladi va bu sohada Laplas tenglamasi uchun Dirixle masalasi yechimini aniqlaydi.

Ixtiyoriy radiusli doira uchun Puasson formulasini toppish uchun (19) formuladan ni ga almashtirib,

ixtiyoriy R radiusli aylana yoyining uzunligi. U holda

formulaga ega bo`lamiz.

Bu formula sohada Laplas tenglamasi uchun Dirixle masalasining

Shartni qanoatlantiruvchi yechimini beradi.

Endi (20) formulada integral ostidagi ifoda Puasson yadrosi deyiladi va uni

orqali belgilaymiz. Puasson yadrosi quyidagi xossalarga ega:

Doirada garmonik funksiya bo`ladi.

Shuni ta`kidlash muhimki, (20) formula shart asosida olindi. Bu formula doirada Laplas tenglamasi uchun Dirixle masalasi ychimini beradi. (20) formulani keltirib chiqarishda funksiyaga qo`yilgan talabni kamaytirish mumkin, masalan bo`lishi ham yetarli.

Haqiqatdan ham, Puasson yadrosining 3 xossasiga asosan (20) formulani doirada va bo`yicha ixtiyoriy marta differensiyallash mumkin hamda hosil bo`lgan integrallar yopiq doirada tekis yaqinlashuvchi bo`ladi.

Demak, (20) formula bilan aniqlangan funksiya bo`lganda doirada va bo`yicha ixtiyoriy marta differensiyallanuvchi bo`ladi va doirada Laplas tenglamasini qanoatlantiradi. Bundan esa (20) formula bilan aniqlangan funksiya doirada garmonik funksiya ekanligini kelib chiqadi.

Endi (20) va (21) formulalar bilan aniqlangan funksiya yopiq doirada uzluksiz, ya`ni bo`lganda

ekanligini isbotlaylik.

Buning uchun sinfiga tegishli bo`lgan funksiyalar