Zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
ZAHIRIDDIN MUHAMMAD BOBUR NOMLI
ANDIJON DAVLAT UNIVERSITETI

Axborot texnologiyalari va kompyuter injiniringi fakulteti

Amaliy matematika yo‘nalishi
301-guruh talabasi
Xasanova Sevaraning
Sonli usullar fanidan tayyorlagan

M ustaqil ish

Mavzu: Parabolik tenglamalar uchun ayirmali sxemalar
Ish rahbari: N.K.Maxamadjonovich

Andijon-2023 yil

REJA
1.Ikki qatlamli ayirmali sxemalar.
2.Ikki qatlamli ayirmali sxemalarning turg’unligini tekshirish.
3.Yaqinlashish tezligini baholash.
4.Ayirmali sxema qurishning balans metodi.
1.Ikki qatlamli ayirmali sxema.
Faraz qilaylik, G q sohada ushbu

(1)

Parabolik tenglamaning (issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasining )

(2)
dastlabki shart va

(3)

C hegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan u(x,t) yechimini toppish talab qilinsin. Bu yerda u₀(x) , µ₁(t), µ₂(t) – berilgan funksiyalar. Ma’lumki, (1) (2) (3) masalaning yechimi mavjud va yagona (3). Keyingi mulohazalarda u(x,t) barcha kerakli xosilalarga ega deb faraz qilamiz.

1-chizma.

Ayirmali sxema qurish uchun G sohani x va t koordinatalar bo'yicha mos ravishda h = l/M va

τ = T/N bo’lgan to’g’ri burchakli to’rtburchak to’r bilan qoplaymiz.(1-chizma) Keyin G _h,τ = to’r sohaning (i, k) = (ih, τk) tugunlarida aniqlangan U ^(h) funksiyani qidiramiz, U ^(h) funksiya u funksiyaning G _h,τ to’rdagi qiymati bo’ladi. Oldingilardek G _h,τ to’rda aniqlangan y(x,t) funksiya uchun = y (x_i, t_k) belgilash kiritamiz.
Endi (1) tenglamani aproksimatsiya qilish uchun va hosilalarni (ih, kτ) nuqtada
(4)

(5)
(6)

t aqribiy formulalar bilan alamashtiramiz. Ayirmali masalani hosil qilish uchun (4) bilan (6) ni (1) tenglamadagi hosilalarning o’rniga qo’yamiz hamda (2) va (3) dastlabki va chegaraviy shartlarni approksimatsiya qilamiz. Natijada quyidagi ayirmali masala hosil bo’ladi:
(7)

(8)

Agar (6) da k ni (k+1) ga al;mashtirib, natijasini hamda (4) ni ( 1 ) tenglamaga qo’ysak , quyidagi ayirmali masalaga ega bo’lamiz:

(9)

(10)

B u yerda sifatida quyidagi ifodalarning birortasini olish mumkin:

Shunday qilib, (1) (2) (3) parabolik tenglamaning approksimatsiyasi sifatida biz (7),(8), va (9) (10) ayirmali tenglamalrga ega bo’ldik.

Biror L_u = f diferensial masalaning (x_i, t_k) tugunda L_h (u^(h)) = f ^h ayirmali masala bilan almashtirishda ishtirok etadigan to’plami andaza deyiladi. Yuqoridagi (8) va (9) ayirmali sxemalar 2- chizmada ko’rsatilgan andazalarga mos keladi.

2-chizma.

Endi (7), (8) ayirmali sxemaning approksimatsiyasi tartibini aniqlaymiz. Buning uchun (7) ga diferensial masalaning aniq yechimini qo’yamiz. Ravshanki,

Shuning uchun ham

Agar = f (ih, kτ) deb olsak, u holda (7) , (8) ayirmali masala approksimatsiya xatoligining tartibi 0(τ + h²) bo’ladi, chunki dastlabki va chegaraviy shartlar aniq bajariladi. Shunga o’xshash ko’rsatish mumkinki, (1), (2), (3) masalaning (9), (10), ayirmali sxema bilan approksimatsiyasining tartibi

0(τ + h²) .
Shuni aytish kerakki, (7),(8) va (9), (10) sxemalar (1), (2), (3) tenglamani bir xil xatolik bilan approksimatsiya qilishsa ham, ular o’rtasida kata farq bor. Haqiqatan ham, (7) dan quyidagi munosabat kelib chiqadi:

(11)
(i = 0, M) ma’lum bo’lganidan birin-ketin barcha (i = 1, M - 1) va h.k. ni toppish mumkin. Shunday qilib, u^(h) funksiyalarni (11) formula bo’yicha oshkor ravishda toppish mumkin. Shuning uchun ham (7), (9) sxema oshkor deyiladi.

Endi (8) tenglamani o’zgartirib, quyidagicha yozamiz:

(12)

Barcha (i = 1, M - 1) ma’lum bo’lganida bum un osabatlar
(i = 1, M - 1) noma’lumlarga nisbatan chiziqli algebraic tenglamalr sistemasidan iborat. Shuning uchun ham (9), (10) sxema oshkormas deyiladi. (12) sistemani quyidagicha yozish mumkin:
(13)

bunda - noma’lum vektor,

B vektorning koordinatalari esa

A matritsa uch diagonalli bo’lganligi uchun (13) sistemani haydash metodi bilan yechish mumkin.

Endi (7), (8) va (9), (10) sxemalarni o’z ichiga olgan umumiy sxemani ko’rib chiqamiz.
Ushbu

Belgilashni kirirtib, quyidagini hosil qilamiz:

(14)

Bu sxemada σ ϵ [0, 1] o’zgarmas son vazn deyiladi. Xususiy holda (14) dan

σ = 0 da (7) va σ = 1 da (9) kelib chiqadi. (14), (8) sxema vazniy sxema deyiladi. Bu sxema faqat σ = 0 bo’lgandagina oshkor bo’ladi; 0 < σ <1 bo’lganda esa oshkormas bo’ladi. (9), (10) sxema boshqa oshkormas sxemalardan farq qilish uchun sof oshkormas sxema deyiladi. Agar σ = 1 / 2 bo’lsa, biz quyidagi olti uqtali simmetrikm sxema deb ataluvchi sxemani hosil qilamiz:

(15)

3-chizma.
Bu sxema 3-chizmadagi olti nuqtali andaza bo’yicha tuziladi.
Endi (1) - (3) diferensial masalani (14) ayirmali sxema bilan approksimatsiya qilganda hosil bo’ladigan xatoliklarni aniqlaymiz. Buning uchun (14) masalaning yechimini = u (x_i, t_k) + ko’rinishda yozamiz, bu yerda u (x, t) funksiya (1), (3) diferensial masalaning aniq yechimi. Xatolik uchun quyidagi tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:



(16)


O’ng tomonda qatnashadigan turdagi funksiya quyidagiga teng:
(17)

Bu funksiya (1), (3) masala yechimidagi (14) sxema approksimatsiyasining xatoliogidir. Bu xatolik tartibini aniqlash uchun (17) ifoda qatnashadigan barcha funksiyalar (x_i, t_k + τ/2) nuqta atrofida Teylor qatoriga yoyamiz:

S hunga o’xshash

Bu ifodalarni (17) ga qo’ysak,

ni hosil qilamiz. Endi

dan foydalansak, u holda

kelib chiqadi. Demak, = f (x_i, t_k + τ/2) deb olsak, u holda = 0 (τ + h²), agar t ≠ 0,5 bo’lsa va = 0 (τ² + h²), agar τ = 0,5 bo’lsa.
Shunday qilib, (15) olti nuqtali simmetrik sxema (σ = 1/2) uchun
= 0 (τ² + h²).