Ózbekstan respublikasí joqarí bilimlendiriw, ilim hám innovaciyalar ministrligi

ÓZBEKSTAN RESPUBLIKASÍ JOQARÍ BILIMLENDIRIW, ILIM HÁM INNOVACIYALAR MINISTRLIGI
BERDAQ atındaǵı QARAQALPAQ MÁMLEKETLIK UNIVERSITETI
MATEMATIKA FAKULTETI
“DIFFERENCIALLÍQ TEŃLEMELER” kafedrası
“MATEMATIKALÍQ FIZIKA TEŃLEMELERI” páninen

Jıllılıq tarqalıw teńlemesi ushın Fure usılı atamasındaǵı

KURS JUMÍSÍ
ORÍNLADÍ: 5130100- “Matematika”
tálim baǵdarınıń 3-V3 kurs studenti
Shaniyazova Dilnoza
ILIMIY BASSHÍ: <Teńlemeler>> kafedrası assistentti
Erejepova Shiyrin

Nόkis – 2023

Mazmunı

	Kirisiw………………………………………………………………...........	3
1-§.	Shegaralanǵan sterjında jıllılıq tarqalawı. Fure usılı………………….........	4
1.	Bir tekli teńleme ushın bir tekli bolmaǵan másele…………………………	7
2.	Bir tekli bolmaǵan teńlemeler ushın bir tekli shegaralıq shártli másele…....	9
3.	Bir tekli bolmaǵan másele……………………………………….……........	11
4.	Tuwrı tόrtmúyeshli oblastta jıllılıq tarqalıw haqqındaǵı másele…………...	11
5.	Baslanǵısh shártsiz máseleler…………………………………………........	13
2-§...	Shegaralanbaǵan hám yarım shegaralanǵan oblastlarda bir όlshewli jıllılıq όtkeziwsheńlik teńlemesi ushın tόmendegi máselelerdi Fure almastırıwı járdeminde sheshiw……………….	16
1.	Fure almastırıwıniń bar bolıwı……………………………………………...	16
2.	Shegaralanbaǵan sterjında jıllılıq tarqalıwı……………………………..…..	16
3.	Bir tárepten shegaralanǵan sterjenda jıllılıq tarqalıw……………..……….	17
	Mısallar……………………………………………………………...……..	17
	Juwmaqlaw……………………………………………………………..….	24
	Padalanılǵan ádebiyatlar dizimi………………………………..………..…	25

Kirisiw
Matematikalıq fizika teńlemeleri páninde jıllılıqtıń tarqalıw teńlemesi ushın Fure usılı belgili bir orındı iyeleydi.
Bizler kurs jumısımızda shegaralanǵan hám shegaralanbaǵan sterjenda jıllılıq tarqalıwın hám formulaların úyreniwdi maqset etip, bunnan aldımızǵa tόmendegi máselelerdi úyreniw belgilep alınadı:
- Bir tekli teńleme ushın bir tekli shegaralıq másele;
- Bir tekli teńleme ushın bir tekli bolmaǵan másele;
- Bir tekli bolmaǵan teńlemeler ushın bir tekli shegaralıq shártli másele;
- Tuwrı tόrtmúyeshli oblastta jıllılıq tarqalaw haqqındaǵı másele;
- Fure almastırıwıniń bar bolıwı
- Baslanǵısh shártsiz máseleler;
- Shegaralanbaǵan sterjında jıllılıq tarqalıwı;
- Bir tárepten shegaralanǵan sterjenda jıllılıq tarqalıwı;
Kurs jumısımız kirisiw, tiykarǵı bόlim, juwmaq hám de paydalanılǵan ádebiyatlar diziminnen ibarat. Tiykarǵı bόlim 2 paragraftan turadı.
1-paragrafta shekli oblastlarda parabolalıq tiptegi teńlemeler ushın qoyılǵan máselelerdi όzgeriwshilerin almastırıw – Fure usılı menen sheshiw haqqında pikir júritemiz.
2-paragrafta shegaralanbaǵan yamasa bir tárepten shegaralanǵan sterjenlerde jıllılıq tarqalıw teńlemeleriniń Fure almastırıwları menen sheshiliwine hám Fure almastırıwınıń bar bolıwına toqtalıp όtemiz.
Tema túsinikli bolıwı ushın bir qansha mısallarǵa da toqtalıp όtemiz. Bul esaplar sol paragraftegi formulalar járdeminde kόriledi.
Paragraflerde temanıń mánis mazmunın tolıq ashıp beriwge hám anıq túsindiriwge háreket etiledi…
1-§.Shegaralanǵan sterjında jıllılıq tarqalawı. Fure usılı

1. 
   Bir tekli teńleme ushın bir tekli shegaralıq másele
   

Shekli l uzınlıqqa iye bolǵan sterjında jıllılıq taralıw teńlemesi ushın birinshi shegaralıq máseleni qarastırayıq: { 0l, t>0 } oblastta

(1)

teńlemeniń

u(0,t)=0, u(l,t)=0, t ≥ 0 (2)

shegaralıq hám

u(x,o)=φ(x), 0 ≤ x ≤ l (3)

baslanǵısh shártlerin qanaatlandırıwshı sheshimi tabılsın. Bul jerde φ(x) berilgen funkciya bolıp, φ(x)=0, φ(l)=0.

Fure usulı boyınsha (1) teńlemeniń trivial bolmaǵan dara sheshimin tόmendegi kόriniste izleymiz:

u(x,t)=X(x)T(t) (4)

Usı teńlikti (1) ge qoyıp, tόmendegige iye bolamız:

(5)

X’’(x)+λX(x)=0, λ=const > 0 (6)

Όz náwbetinde X(x) funkciyanı anıqlaw ushın (6) teńlemeniń

X(0)=0, X(l)=0 (7)

shártlerin qanaatlandırıwshı sheshimin tabıwǵa kelemiz. Bizge málim , tar terbelis teńlemesindegidey, λ parametrdiń tek ǵana

λ=

mánislerindegi (6) hám (7) máseleniń trivial bolmaǵan sheshimleri bar boladı:



Sonday-aq, (5) teńlemeniń λ= menshikli sanlarǵa sáykes sheshimleri



kόrinisinde boladı , bul jerde
Solay etip, qálegen όzgermes sanlar ushın


sin (8)

funkciya (1) teńlemeni hám (2) shártlerdi qanaatlandıradı. Kόrinip turǵanınday,

u(x,t)= (9)

qatar da (1) teńlemeni hám (2) shártti qanaatlandıradı.
Endi (9) qatardıń(3) shártti qanaatlandırıwın talap etemiz, yaǵniy


(10)
bolsın. Bul qatar berilgen φ(x) funkciyasınıń ( 0, l ) aralıqtaǵı sinuslar boyınsha Fure qatarına jayılmasın bildiredi. Sonıń ushın


(11)
formula menen anıqlanadı.
Endi (9) qatar (1), (2), (3) máseleniń barlıq teńlemelerin qanaatlandırıwın kόremiz. Ol ushın , (9) qatar menen sáwlelengen u(x,t) funkciyanıń jeterlishe differensiallanıwshańlıǵı hám { 0˂x<l, t>0 } oblastta teńlemeni qanaatlandırıp, x=0, x=l, t=0 shegaralarda úzliksiz ekenligin kόrsetiw kerek.
Eger (9) qatar jıynaqlı bolıp, onı x boyınsha eki márte, t boyınsha bir márte aǵzama-aǵza differensiallaw múmkin bolsa, bul qatar (1) teńlemeni qanaatlandıradı, sebebi (1) teńleme sızıqlı bolǵanı ushın onıń dara sheshimlerinen dúzilgen qatar da sheshim boladı.
Qálegan t≥ >0 ushın tόmendegi



atarlar teń όlshewli jıynaqlı hám usı


<
teńsizlikler orınlı. Eger desek,



boladı hám t≥ ushın



Tap usıǵan uqsas



bahalaw alamız.

Ulıwma alǵanda, tόmendegi

bahalawlar orınlı hám usı



majarant qatardıń jıynaqlılıǵın tekseremiz. Dalamber belgisi boyınsha


= =

Bunnan bolsa (9) qatardı qálegen t ≥ ushın qálegen aǵzama-aǵza differensiallaw múmkinligi kelip shıǵadı. Όz náwbetinde sheshimler super-pozitsiya prinsibi boyınsha (9) qatar menen anıqlanǵan u(x,t) funkciya (1) teńlemeni qanaatlandıradı. qálegen bolǵanı ushın bul aytımlar qálegen t>0 ushın da orınlı. Sonday qılıp, eger φ(0)=0, φ(l)=0 shártler orınlamsa, ol jaǵdayda (9) qatar qálegen t lar ushın úzliksiz funksiyanı anıqlaydı. (9) qatardıń (2) hám (3) shártlerin qanaatlandırıw ańsatǵana kόrsetiledi.