10. Laplas təNLİYİ



Yüklə 19,85 Kb.
tarix10.05.2022
ölçüsü19,85 Kb.
#57045
2018-2473 (1)-190-193

10. LAPLAS TƏNLİYİ


    1. Laplas tənliyi üçün əsas sərhəd məsələləri

Tutaq ki,  səthi ilə əhatə olunmuş bircinsli E cisimi verilmişdir. Bu cisimin müxtəlif nöqtələrində temperaturu ifadə edən u u(x, y, z, t) funksiyası

u 2u 2u 2u




t x2

y2

z2

(10.1)


istilikkeçirmə tənliyini ödəyir. Cisimdə istiliyin yayılması qərar- laşmış (proses stasionar) olarsa, başqa sözlə, cisimdə istiliyin yayılması zamandan asılı olmayıb yalnız cisimin nöqtələrinin

koordinatlarından asılıdırsa, onda

u 0

t

olar və (10.1) tənliyi



2u 2u 2u



şəklinə düşər.

x2y2z2 0

(10.2)


(10.2) tənliyi Laplas tənliyi, bu tənliyi ödəyən funksiya isə

harmonik funksiya adlanır. Qeyd etmək lazımdır ki,

u  (x2y 2 )  Bxy Cx Dy

və eləcə də



( A, B, C, D

istənilən sabitlərdir)



u 1 , r

r

funksiyaları r  0 olan (x0 , y0 ) nöqtəsindən başqa hər yerdə

2u 2u


x2y2 0

Laplas tənliyini ödəyir. Laplas tənliyi ikitərtibli xətti bircinsli

diferensial tənlikdir.



Laplas tənliyi

x r cos ,

y r sin 

polyar koordinatlarda



1 u 1 2u

2 r r r r 2  2 0

 


şəklində,

x r cos ,

y r sin 

, z z

silindrik koordinatlarda


1 u 1 2u

2u



r r r r r 2

 2

  0



z 2

 

şəklində,

x r cos sin ,

y r sin  sin ,

z r cos

sferik


koordinatlarda isə

1 2 u 1 u 1 2u




r 2 r r r r 2 sin   r 2 sin2   2 0

   


şəklində olur.

Laplas tənliyinin həll etmək üçün əlavə şərtlər verilir. Laplas tənliyinə gətirilən aşağıdakı kimi sərhəd məsələlərinə baxılır.



Dirixle məsələsi. E cisiminin daxilində (10.2) tənliyini

ödəyən və onun  səthinin

M (x, y, z)

nöqtələrində verilmiş



f (M )

qiymətlərini alan u(M )  u(x, y, z)

funksiyasını tapmalı.


Bu məsələni aşağıdakı kimi də ifadə etmək olar:

E oblastının daxilində harmonik və onun  səthi üzərində

u

f (M )

sərhəd şərtini ödəyən u(M ) funksiyasını tapmalı.

Müstəvi oblastlara baxıldıqda u funksiyası ikidəyişənli

( u(x, y) və ya u(r, ) ) olur və Laplas tənliyi

2u 2u






x2

və ya polyar koordinatlda



y 2 0

(10.3)


1 u 1 2u

2 r r r r 2  2 0

(10.4)


 

şəklində yazılır.

(10.3) tənliyi üçün Dirixle məsələsi aşağıdakı kimi qoyulur:

Qapalı  müstəvi əyrisinin daxilində (10.3) Laplas tənliyini və onun üzərində



u

f (x, y)

sərhəd şərtini ödəyən u(x, y) funksiyasını tapmalı.

Birölçülü oblastlar üçün Laplas tənliyi

d 2u




dx2 0

kimi yazılır və onun həlli



u( x, y)  Ax B

şəklində xətti funksiyadır. Bu halda,

[a, b]

parçası üçün Dirixle



məsələsi

u xa ua

u xb ub

sərhəd şərtləri vasitəsi ilə qoyu-



lur və onun həlli
u( x) ub ua x bua aub


funksiyasıdır.



b a

b a

Laplas tənliyi üçün Dirixle məsələsi qoyulduqda axtarılan funksiyanın oblastın sərhəd nöqtələrində qiymətləri verilir. Sərhəd məsələsi üçün oblastın sərhəd nöqtələrinin n normalı istiqa-

mətində

u



n

törəməsinin qiymətləri də verilə bilər. Bu halda,



Laplas tənliyi üçün ikinci sərhəd məsələsi alınır. Bu məsələ

Neyman məsələsi adlanır.

Neyman məsələsi. E oblastının daxilində (10.2) Laplas tənliyini və onun  səthi üzərində

u

f (M )

sərhəd şərtini ödəyən u(M ) funksiyasını tapmalı.

Bu məsələlərdən bir qədər fərqli olan üçüncü sərhəd məsələsi də mövcuddur.



Üçüncü sərhəd məsələsi. E oblastının daxilində (10.2) Laplas tənliyini və onun  səthi üzərində

u u

f (M )







n
sərhəd şərtini ödəyən u(M ) funksiyasını tapmalı.

Laplas tənliyi üçün qeyd olunan sərhəd məsələləri daxili sərhəd məsələləri adlanır.


    1. Dairə üçün Dirixle məsələsinin həlli


Tutaq ki, Laplas tənliyi üçün belə bir Dirixle məsələsi qoyul- muşdur: mərkəzi koordinat başlanğıcında olan R radiuslu dairə daxilində harmonik və onun çevrəsi üzərində verilmiş qiyməti

alan u(x, y) funksiyasını tapmalı.



Məsələni həll etmək üçün müstəvi üzərində ( or ) polyar koordinat sistemini nəzərdən keçirək. Bu sistemdə qoyulmuş məsələni polyar koordinatlarla yazılmış (10.4) Laplas tənliyi üçün

belə ifadə etmək olar: olan və

0  r R

dairəsində (10.4) tənliyinin həlli



u r R u(R, )  f ( )

sərhəd şərtini ödəyən u(r, ) funksiyasını tapmalı.



(10.5)

Məsələni Furye üsulu ilə həll edək. (10.4) tənliyinin həllini


190



Yüklə 19,85 Kb.

Dostları ilə paylaş:




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin