86-ma’ruza Ikki karrali integralning ba’zi bir tatbiqlari 10. Tekis shaklning yuzi

86-ma’ruza

Ikki karrali integralning ba’zi bir tatbiqlari
1⁰. Tekis shaklning yuzi. Tekislikda yuzaga ega bо‘lgan shakl beril­gan bо‘lsin. Bu shaklning yuzi

(1)

bо‘ladi.

(1) tenglikning isboti ikki karrali integral ta’rifi-dan kelib chiqadi.

Misol. Tekislikning birinchi choragida ushbu

, , ( )

chiziqlar bilan chegaralangan shaklning yuzi topilsin.

◄ Bu shakl 42-chizmada tasvirlangan.

42-chizma

(1) formulaga kо‘ra qaralayotgan shaklning yuzi

bо‘lib, bunda

.

Integralni hisoblab, topamiz:

. ►

2⁰. Jismning xajmi. 81-ma’ruzada fazodagi jismning xajmi tushunchasi va uning mavjudligi sharti bayon etilgan edi.

Endi jismning xajmini ikki karrali integral orqali ifoda­la­­ni­shini kо‘rsatamiz.

fazoda Dekart koordinatalari sitemasi va unga nisbatan joy­lashgan jismni qaraylik. Bu jism yuqoridan ifodalagan sirt, yon tomondan yasovchilari о‘qiga parallel silindrik sirt hamda pastdan tekisligidagi chegaralangan yopiq tо‘plam bilan chegara­lan­gan jism bо‘lsin. Bunda funksiyani da uzluksiz deb qaraymiz.

tо‘plamning

bо‘laklashlarini olaylik. Unda

,

mavjud bо‘ladi. Ushbu

,

yig‘indilar mos ravishda jismni ichiga joylashgan kо‘pyoq­lik­ning xajmi, jismni о‘z ichiga olgan kо‘pyoqlikning xajmi bо‘lib,

bо‘ladi.

tо‘plamni turli bо‘laklashlari natijasida hosil bо‘lgan va tо‘plamlarning chegaralanganligidan , larning mav­jud bо‘lishi kelib chiqadi.

funksiya yopiq tо‘plamda uzluksiz. Demak, u da tekis uzluk­siz. Unda olinganda ham shunday topiladiki, tо‘plam­ning bо‘lgan ixtiyoriy

bо‘laklash uchun har bir da ( ) funksiyaning tebranishi

tengsizlikni qanoatlantiradi. Shularni e’tiborga olib topamiz:

Demak,

.

Keyingi munosabatdan

bо‘lishi kelib chiqadi. Bu esa jism xajmga ega bо‘lishi va uning xajmi ning

(2)

ekanligini bildiradi. Ayni paytda,

,

va (2) tenglikka kо‘ra

(3)

bо‘ladi.

(2) va (3) munosabatlardan

(4)

bо‘lishi kelib chiqadi.

2-misol. Fazodagi

sirt (paraboloid) hamda tekislik bilan chegaralangan jism­ning xajmi topilsin.

◄ Bu jism 43-chizmada tasvirlangan bо‘lib, – tekis­lik­dagi doiradan iborat.

43-chizma

Sirtning tenglamasini kо‘rinishda yozib, (4) for­­mu­la­dan foydalanib topamiz:

, (5)

bunda

,

(5) integralda о‘zgaruvchilarni quyidagicha

almashtirib hisoblaymiz:

, , , ,

.

Demak, jismning xajmi ga teng.