Abel in, Kuvvet Serilerinin Yakınsaklık



Yüklə 102,55 Kb.
Pdf görüntüsü
tarix02.01.2022
ölçüsü102,55 Kb.
#42132
növüYazı
Abelinteoremi



Abel in, Kuvvet Serilerinin Yakınsaklık

Aralı˘


gının U¸

c Noktalarında davranı¸

sı ile ilgili bir

teoreminin ispatı:

Bu ispat, Matematik D¨

unyası Dergisinin 2013 yılı 1. sayısının (MD Sayı 94) 36-37. sayfalarında

Tosun Terzio˘

glu nun yazısında bulunabilir. ( O yazıda ve bazı kitaplarda, bizim kullandı˘

gımız

lim


x→r

yerine lim



x↑r

kulanılıyor)

Teorem:

Yakınsaklık yarı¸capı 0 < r < ∞ olan bir kuvvet serisinin toplamı g(x) =

P



n=0



a

n

x



n

olsun. E˘

ger

P



n=0

a

n



r

n

yakınsak bir seri ise:



lim

x→r


g(x) =


X

n=0



a

n

r



n

olur.


˙Ispat:

¨

Once r = 1 ¨



ozel durumunda ve (her x ∈ (−1, 1) i¸cin) f (x) =

P



n=0

a

n



x

n

iken e¸sitli˘



gı ispat-

layalım. Daha sonra genel durum kolayca elde edilecektir.

P



n=0



a

n

serisinin yakınsak oldu˘



gunu

varsayıyoruz.

k ≥ 1 i¸cin t

k

=



P

k

n=0



a

n

tanımını yapalım. a



n

= t


n

− t


n−1

e¸sitli˘


ginden

k

X



n=0

a

n



x

n

= a



0

+

k



X

n=1


(t

n

− t



n−1

)x

n



= a

0

+ a



k

x

k



− a

0

x −



k−1

X

n=1



t

n

(x



n+1

− x


n

)

t



0

= a


0

alarak daha sonra

k

X

n=0



a

n

x



n

= (1 − x)a

0

+ a


k

x

k



k−1


X

n=1


t

n

(x



n+1

− x


n

) = a


k

x

k



+ (1 − x)

k−1


X

n=0


t

n

x



n

elde ederiz. (−1, 1) aralı˘

gındaki her x i¸cin lim a

k

x



k

= 0 oldu˘

gundan f (x) = (1 − x)

P



n=0

t

n



x

n

sonucuna varırız. S



¸imdi t =

P



n=0

a

n



olsun. Geometrik seri toplam form¨

ul¨


unden, −1 < x < 1

i¸cin, t


P

n=0



x

n

=



t

1−x


buluruz. B¨

oylece f (x) − t = (1 − x)

P



n=0



(t

n

− t)x



n

sa˘


glanır. Herhangi bir

m ∈ N, (m ≥ 1) verildi˘ginde, yukarıdaki seriyi iki par¸caya ayırıp,

|f (x) − t| ≤ |1 − x|

 

m−1



X

n=0


|t

n

− t||x|



n

+



X

n=m


|t

n

− t||x|



n

!

e¸sitsizli˘



gine ula¸sırız. Ama lim t

n

= t ve dolayısıyla bir ε > 0 sayısı verildi˘



ginde m ∈ N, (m ≥ 1)

sayısını, her n ≥ m i¸cin |t

n

− t| <


ε

2

olacak ¸sekilde se¸celim. ¨



Oyleyse

|f (x) − t| ≤ |1 − x|

 

m−1


X

n=0


|t

n

− t||x|



n

+

ε



2

X



n=m

|x|


n

!

elde ettik. Amacımız, x → 1



iken limiti bulmak oldu˘

gundan sadece (0, 1) aralı˘

gını g¨


oz¨

on¨


une

alalım. Sa˘

gdaki ikinci terimde geometrik seri toplam form¨

ul¨


un¨

u kullanırsak

X

n=m



|x|

n

=



|x|

m

1 − |x|



=

x

m



1 − x

<

1

1 − x



1


elde ederiz. Ayrıca her x ∈ (0, 1) ve her n ≥ 0, (n ∈ N) i¸cin |x|

n

≤ 1 olur. Demek ki elimizde



|f (x) − t| < (1 − x)

 

m−1



X

n=0


|t

n

− t| +



ε

2

1



1 − x

!

= (1 − x)



m−1

X

n=0



|t

n

− t| +



ε

2

var. S



¸imdi δ =

ε

2



P

m−1


n=0

|t

n



− t|



−1



olsun. 1 − δ < x < 1 i¸cin 1 − x < δ olur ve

|f (x) − t| <

ε

2

+



ε

2

= ε



sa˘

glanır. ¨

Oyleyse

lim


x→1

f (x) = t =



X

n=0



a

n

olur.



Genel durum (g(x) =

P



n=0

a

n



x

n

ve kuvvet serisinin yakınsaklık yarı¸capı 0 < r < ∞ ve



P

n=0



r

n

x



n

yakınsak iken)

f (x) = g(rx) =

X



n=0

a

n



r

n

x



n

yazalım.


lim

x→r


g(x) = lim

x→1



f (x) oldu˘



gu, limit tanımı ile kolayca g¨

osterilebilir (veya kitabımızdaki Limitler

i¸cin De˘

gi¸sken De˘

gi¸sikli˘

gi Teoreminden elde edilir).

Daha ¨

once kanıtladı˘



gımız ¨

ozel hal bize

lim

x→r


g(x) = lim

x→1



f (x) =



X

n=0



a

n

r



n

verir.


Bu durumu, kolayca, herhangi merkezli kuvvet serilerine genelle¸stirebiliriz:

Teorem:


Yakınsaklık yarı¸capı 0 < r < ∞ olan bir kuvvet serisinin toplamı g(x) =

P



n=0

a

n



(x − a)

n

olsun.



ger


P

n=0



a

n

r



n

yakınsak bir seri ise:

lim

x→a+r


g(x) =


X

n=0



a

n

r



n

olur. (˙Ispatı zor de˘



gil.)

2

Yüklə 102,55 Kb.

Dostları ilə paylaş:




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin