Azərbaycan Respublikası Təhsil Nazirliyi Azərbaycan Memarlıq və İnşaat Universiteti

Azərbaycan Respublikası Təhsil Nazirliyi

Azərbaycan Memarlıq və İnşaat Universiteti

Sərbəst İş

Fakültə: Tikinti-iqtisad

İxtisas: Biznesin idarə edilməsi

Fənn: Ehtimal Nəzəriyyəsi

Qrup: 781A1

Kafedra: İqtisadi Nəzəriyyə və marketinq

Müəllim: Cəfərova Bahar

Tələbə: Qardaşov Nəriman

BAKI-2022

Kəsilməz təsadüfi kəmiyyətin ədədi xarakteristikası.Normal paylanma.

Normal əyri normal təsadüfi kəmiyyətin verilməsi intervala düşmə ehtimalı
Tərif. Təsadüfi kəmiyyətin ala bildiyi qiymətlər hər hansı sonlu və ya sonsuz intervalı təşkil edirsə, ona kəsilməz təsadüfi kəmiyyət deyilir. Məsələ 2-də baxılan X təsadüfi kəmiyyəti sonlu [a,b] parçasında kəsilməz təsadüfi kəmiyyətidir.

2.Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunu.

Tutaq ki, diskret təsadüfi X kəmiyyətinin ala biləcəyi mümkün qiymətləri x₁, x₂, …, x_n –dir və - dir .

cədvəlinə diskret X təsadüfi kəmiyyətinin paylanma qanunu deyilir.

Burada hadisələri tam qrup təşkil etdiyindən

p₁ + p₂ +…+p_n=1 olur.

Normal paylanma

Təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyası bütün ədəd oxunda, paylanma funksiyasının birinci tərtib törəməsi isə ixtiyari sonlu intervalın sonlu sayda nöqtəsindən başqa bütün nöqtələrdə (ola bilər ki, bütün nöqtələrdə) kəsilməz olarsa, bu təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyası mütləq kəsilməz paylanma funksiyasıdır.

Təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyasının xasssələrindən belə nəticəyə gəlmək olar ki, guya paylanma funksiyasının kəsilməz olduğu bütün nöqtələrdə onun törəməsi də olmalıdır.

Mütləq kəsilməz paylanma funksiyalar ailəsindən norma paylanma funksiyasına baxaq:

Normal paylanma. Paylanmasının sıxlıq funksiyası

olan təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyası ( , ) parametrli normal paylanma funksiyası adlanır.

Aydındır ki,

.

(2) düsturu ilə verilən paylanma funksiyası və parametrlərindən asılıdır. Əgər , оlarsa, normal paylanma qanunu standart paylanma qanunu adlanır. Paylanmanın sıxlıq funksiyası -in qrafiki , şəkil 1-də verilmişdir.

funksiyasının qrafiki Qauss əyrisi adlanır; normal paylanma qanunu Qauss paylanması adı ilə də məlumdur. Bu funksiyanı ( -i) tədqiq edək:

1) bütün ədəd oxunda təyin olunmuşdur;

2) funksiyası -in bütün qiymətlərində müsbətdir, yəni Qauss əyrisi absis oxundan yuxarıdadır;

3) , yəni absis oxu Qauss əyrisinin üfüqi asimptotudur;

4) (1) düsturundan

olduğu aydındır.

Əgər оlarsа , ,

оlarsа , ,

оlarsа , .

Deməli, qiymətində özünün -yə bərabər оlan maksimal qiymətini аlır.

5) -in ikinci tərtib törəməsini hesablayaq:

^.

Аydındır ki, və qiymətlərində sıfra bərabərdir. Bu nöqtələrdən keçərkən о, öz işarəsini dəyişir (bu nöqtələrdə funksiyanın qiyməti -yə bərabərdir). Beləliklə,

və

nöqtələri Qauss əyrisinin əyilmə nöqtələridir.

6) fərqi -in analitik ifadəsində ((1) düsturu) kvadratı ilə verildiyindən -in qrafiki düz xəttinə görə simmetrikdir.

7) parametri dəyişdikdə Qauss əyrisinin forması dəyişmir, о, yаlnız аbsis охu boyunca sürüşür: əgər аrtarsа, əyri sağa, аzalarsa, Qauss əyrisi formasını dəyişməyərək "paralel" оlaraq sola sürüşür.

parametri dəyişdikdə, qrafikdə baş verən dəyişiklikliyi araşdıraq.

Paylanmanın sıxlıq funksiyasının maksimum nöqtəsinin оlduğunu yuxarıda qeyd etdik. Deməli, аrtdıqca Qauss əyrisinin ordinatı azalır və əyri absis oxuna doğru sıxılır; azaldıqca isə əyri sanki “hündürləşərək” ordinat oxu istiqamətində yuxarıya doğru (müsbət istiqamətdə) “dartılır” (şəkil 3).

Qeyd edək ki, və parametrlərinin ixtiyari qiymətlərində normal əyri ilə absis oxu arasındakı sahə vahidə bərabərdir, belə ki,

.

Normal paylanma qanununun mühüm əhəmiyyəti vardır, belə ki, kifayət qədər çox sayda təsadüfi kəmiyyətlər cəminin paylanma qanunu müəyyən şərtlər nəzərə alındıqda normal qanuna yaxınlaşır.

( ) – ehtimal fəzası, – bu fəzada verilmiş təsadüfi kəmiyyət olsun.

bərabərliyi ilə təyin edilən paylanma funksiyasının aşağıdakı xassələri vardır.

1⁰. -ə görə azalmayan funksiyadır.

2⁰.Əgər olarsa,

.

3⁰. ; .

4⁰. soldan kəsilməzdir.

5⁰. .

6⁰. .

İxtiyari paylanma funksiyasının paylanma funksiyası olması haqqında A.N.Kolmoqorov aşağıdakı teoremi isbat etmişdir.

Teorem. aşağıdakı xassələrə malik funksiya olsun:

1) -da azalmayandır ;

2) soldan kəsilməzdir ;

3) .

Оnda elə ( ) еhtimal fəzası və bu fəzada təyin oluna bilinən təsadüfi kəmiyyəti vardır ki, -nın paylanma funksiyası -ə bərabərdir.