Bajardi: Abduqosimov A
Yüklə 88,51 Kb.
|
|
TOSHKENT DAVLAT IQTISODIYOT UNIVERSITETI Ma’lumotlar tuzilmasi va algoritmlar Bajardi: Abduqosimov A. Tekshirdi:Xashimxodjayev Sh. Sanoq tizimlari va sonlarni bir tizimdan ikkinchisiga o‘tkazish EHM - bu elektron raqamli qurilmadir. Elektron qurilma deyilishiga sabab har qanday ma’lumotlar EHM da elektr signallari orqali qayta ishlanadi. Raqamli deyilishiga sabab EHM da har qanday ma’lumot sonlar yordamida tasvirlanadi. Sonlarni yozish usuliga sanoq sistemasi deb ataladi. Sonlarni yozish uchun har bir sanoq sistemasida o‘ziga xos turli belgilar to‘plamidan foydalaniladi. Foydalanilgan to‘plamdagi belgilar ularning soni, sanoq sistemasini xarakterlovchi asosiy kattaliklardir. Sanoq sistemasida foydalaniladigan belgilar soni sanoq sistemasining asosini tashkil etadi. Berilgan sanoq sistemasida sonlarni yozishdagi foydalanilgan belgilar soniga qarab, o‘nlik, ikkilik, sakkizlik, o‘n oltilik va boshqa sanoq sistemalarni kiritish mumkin. Shu bilan birga sanoq sistemalarini pozision va nopozision turlarga ajratish mumkin. Pozitsion sanoq sistemasida berilgan sonning qiymati sonni tasvirlovchi raqamlarning egallagan o‘rniga bog‘liq bo‘ladi. Misol sifatida, 0,1,2,3,. . . ,9 arab raqamlaridan tashkil topgan o‘nlik sanoq sistemani qarash mumkin. Nopozitsion sanoq sistemalarida, belgining qiymati uning egallagan o‘rniga bog‘liq emas. Misol sifatida rim raqamlari sanoq sistemasini keltirish mumkin. Masalan, XX sonida X raqami, qayerda joylashganiga qaramasdan o‘nlik sanoq sistemasidagi 10 qiymatini anglatadi.
Bu jadval bo‘yicha bir sanoq sistamasidan ikkinchisiga o‘tish masalasini ko‘rib o‘taylik. Masalan: 10 lik sanoq sistemasidagi 13 soniga 8 lik sanoq sistemasida 15 soni mos keladi va u 13 ni 8 ga bo‘linganda hosil bo‘lgan butun son 1 va qoldiq 5 lardan tashkil topgan. Xuddi shuningdek 13 ni 6 ga bo‘lganda hosil bo‘luvchi butun son 2 va qoldiq 1 lar 21 sonini hosil qiladi. Bu son 13 sonining 6 lik sanoq sistemasidagi qiymatidir. Odatda biror X sonining qaysi sanoq sistemasiga tegishliligini ko‘rsatish uchun uning pastida indeks sifatida zarur sanoq sistemasining asosi ko‘rsatiladi.
O‘ngdan chapga tartibida yozilgan qoldiqlar, ya’ni 1101 soni X10=1310 sonining ikkilik sanoq sistemasidagi ko‘rinishi bo‘ladi. Endi 8 lik sanoq sistemasidan 10 lik sanoq sistemasiga bo‘lish yo‘li bilan o‘tishga doir misollar ko‘raylik. Masalan, jadval bo‘yicha 158 ga 1310 mos keladi. Endi uni topib kuraylik, buning uchun 158 ni 10 lik sanoq sistemasining asosi–10 ning 8 lik sanoq sistemasidagi ko‘rinish – 12 ga bo‘lish kerak bo‘ladi. 158 ni 128 ga bo‘lsa butun qismida 1 va qoldiqda 3, ya’ni 1310 – hosil bo‘ladi. Bunga jadval orqali ishonch hosil qilish ham mumkin. Ikkinchi misol: 1758 sonini 10 lik sanoq sistemasidagi ko‘rinishini topish talab qilingan bo‘lsin. Xuddi yuqoridagidek 1758 ni 128 ga ketma-ket bo‘lamiz. Eslatib o‘tamiz, bo‘lish amali 8 sonlik sanoq sistemasida olib boriladi. (Jadvalga qaralsin) R sanoq sistemasida berilgan sonni Q sanoq sistemasiga o‘tkazish uchun, R sanoq sistemasidagi X soni Q sanoq sistemasining asosiga, ya’ni Q ga ketma-ket, to butun qismida 0 hosil bo‘lguncha davom ettirish kerak. Qoldiqlar o‘ngdan chapga karab ketma-ket yozilsa, R sanoq sistemasida berilgan Xr sonining Q sanoq sistemasidagi Xq ko‘rinishi hosil bo‘ladi. Bo‘lish amali berilgan R sanoq sistemasida amalga oshiriladi. Ba’zi bir sanoq sistemalaridan ikkinchisiga qulayroq, osonroq holda o‘tish imkoniyatlari mavjud. Xususiy holda, 2 ga karrali sonlarning biridan 2 ikkinchisiga o‘tish qoidasini ko‘rib o‘tamiz. Masalan, 8 lik sanoq sistemasida berilgan X8=5361 sonidan X2 ga bo‘lish uchun, X8 ning har bir raqamini 2 likdagi ko‘rinishi-triadalar (23=8) bilan almashtirib chiqamiz: D8A216ni 2 lik sanoq sistemasiga o‘tkazish uchun uning har bir raqamini 2 lik sanoq sistemasidagi to‘rtliklar-tetradalar bilan almashtiramiz: Ikkilik sanoq sistemasida berilgan sondan 8 lik sanoq sistemasiga o‘tish uchun, uning o‘ng tomonidan boshlab har bir uchliklarni (triadalarni) 8 likdagi mos raqamlar bilan almashtiramiz. Masalan Yuqoridagi X2 sonini 16 lik sanoq sistemasiga o‘tkazish uchun X2 ni o‘ng tomondan boshlab to‘rtliklar (tetradalar) bilan
Endi, ixtiyoriy sanoq sistemasidan o‘nlik sanoq sistemasiga o‘tishning xususiy qoidasini ko‘rib o‘tamiz. Sakkizlik sanoq sistemasida berilgan sonning 1758o‘nlik sanoq sistemasidagi ko‘rinishini X10 topish talab etilsin. Buning uchun berilgan sonning 8 lik sanoq sistemasidagi yoyilmasini yozib olamiz. va 8 lik sanoq sistemasida 108 =8 ekanligini hisobga olib topamiz. Xuddi yuqoridagilardek, quyidagi misollarni ham qurish mumkin: Shu paytgacha biz butun sonlarni bir sanoq sistemasidan boshqasiga o‘tkazish bilan shug‘ullandik. Kasr sonlarni bir sanoq sistemasidan ikkinchisiga o‘tkazish uchun, uning butun qismi yuqorida keltirilgan qoida, ya’ni bo‘lish asosida amalga oshiriladi. Kasr qismini R sanoq sistemasidan Q sanoq sistemasiga o‘tkazish uchun kasr sonni Q ga ketma-ket ko‘paytirishda hosil bo‘lgan sonning butun kismlari ketma-ketligi, berilgan son kasr qismining Q sanoq sistemasidagi ko‘rinishini hosil qiladi. Misol sifatida o‘nlik sanoq sistemasida berilgan X10=25,205 sonini 8 lik sanoq sistemasiga o‘tkazaylik. Berilgan sonning butun qismi-2510 sakkizlik sanoq sistemasida 418 ga teng. Endi kasr qismi 0,205 ni 8 lik sanoq sistemasiga o‘tkazamiz. Buning uchun uni ketma-ket 8 ga ko‘paytiramiz va hosil bo‘lgan butun qismini chiziqning chap tomoniga o‘tkazamiz. 0,205 ni 8 ga ko‘paytirganimizda 1,640 hosil bo‘ladi va uning butun qismini chiziqning chap tomoniga o‘tkazamiz. Keyin 0,640 yana 8 ga ko‘paytiramiz va hosil bo‘lgan 5,040 sonining butun qismini chiziqning chap tomoniga o‘tkazamiz. Ko‘paytirishni shu tarzda davom ettiramiz natijada 0,15028 sonini hosil qilamiz va butun qismini 418 ni hisobga olib, berilgan X10=25,205 sonini 8 lik sanoq sistemasidagi ko‘rinishini topamiz: To'g'ri o'nli kasrlarni istalgan boshqa sanoq sistemasiga aylantirish. Raqamni sanoq tizimining yangi bazasiga ko'paytirish kerak. Butun qismga o'tgan raqam yangi sonning kasr qismining eng yuqori raqamidir. keyingi raqamni olish uchun hosil bo'lgan mahsulotning kasr qismini butun qismga o'tish sodir bo'lgunga qadar yana sanoq tizimining yangi bazasiga ko'paytirish kerak. Biz ko'paytirishni kasr qismi nolga tenglashguncha yoki masalada ko'rsatilgan aniqlikka erishgunimizcha davom ettiramiz ("... masalan, ikkita kasr aniqligi bilan hisoblang"). Misol: 0,65625 10 sonini sakkizlik sanoq sistemasiga aylantiramiz. 5-sinfda matematika darsida ko‘p xonali sonlarni raqamlarga ajratishga oid topshiriqni bajarishda o‘quvchilarda savollar paydo bo‘ldi: “Nega biz o‘nlab sanaymiz? Nega buni boshqacha ko'rib bo'lmaydi? Hisoblashning boshqa usullari bormi? O‘qituvchidan hafta davomida ushbu mavzu bo‘yicha ma’lumotlarni izlash, tahlil qilish va umumlashtirish, sinf o‘quvchilaridan o‘z xohishiga ko‘ra kichik guruhlarda ishlash orqali ushbu savollarga javob topish so‘ralgan. Bu ish natijalari bir hafta ichida matematika darsida rasmiylashtirilishi va taqdim etilishi kerak. Dars oxirida sinf quyidagi ijodiy guruhlarga bo'lingan: sanoq tizimlari ( umumiy tushunchalar) - 5 kishi Ikkilik tizim - 7 kishi (bu savol so'raldi eng katta qiziqish) O'n oltilik tizim - 5 kishi O'nlik tizim - 5 kishi Boshqa sanoq tizimlari - 3 kishi Ularni bir tizimdan ikkinchisiga o'tkazish - 5 kishi. I - Umumiy tushunchalar Sanoq tizimi - bu raqamlarni belgilash usullari to'plami - alifbosi belgilar (raqamlar) bo'lgan til va sintaksis - bu raqam yozuvini bir ma'noda shakllantirishga imkon beradigan qoida. Raqam - bu miqdorni tavsiflovchi mavhum birlik Raqam - bu raqamlarni yozish uchun ishlatiladigan belgi. Raqamlar har xil, eng keng tarqalgani arab raqamlari; kamroq tarqalgan rim raqamlari (soat yuzida yoki asr belgisida ko'rish mumkin) Baza - sanoq sistemasida ishlatiladigan raqamlar soni. Turli sanoq tizimlaridagi raqamlarga misollar: 11001 2 - ikkilik raqam 221 3 - uchlik sanoq sistemasidagi son 31 8 - sakkizlik sanoq sistemasidagi son 25 10 - o'nlik sanoq sistemasidagi son Arifmetika bo'yicha eski kitoblarda 4 ta arifmetik amaldan tashqari, beshinchisi ham qayd etilgan - raqamlash. Raqamlash (hisoblash) arifmetikani qurishda duch kelgan birinchi muammolardan biri edi. Raqamlar yordamida raqamlarni yozishning ko'plab usullari mavjud. Ushbu usullarni uch guruhga bo'lish mumkin: pozitsion sanoq sistemalari aralash sanoq sistemalari nopozitsion sanoq sistemalari Banknotalar aralash sanoq sistemasiga misol bo'la oladi. Endi Rossiyada quyidagi nominaldagi tangalar va banknotalar qo'llaniladi: 1 tiyin, 5 tiyin, 10 kopek, 50 kopek, 1 rubl, 2 rubl, 5 rubl, 10 rubl, 50 rubl, 100 rubl, 500 rubl, 1000 rubl, 500 rubl. rubl. Rublda ma'lum miqdorni olish uchun siz turli xil nominaldagi banknotlardan ma'lum miqdorda foydalanishingiz kerak. Aytaylik, biz 6379 rubl turadigan changyutgich sotib olamiz. Xaridni to'lash uchun sizga 1000 rubllik 6 ta banknot, 100 rubllik 3 ta banknot, 1 ellik rubllik banknot, ikkita o'nlik, bitta besh rubllik banknot va ikkita 2 rubllik tanga kerak bo'ladi. Agar biz 100 rubldan boshlab va bir tiyin bilan tugaydigan pul va tangalar sonini yozsak, etishmayotgan nominallarni nol bilan almashtirsak, biz aralash sanoq tizimida taqdim etilgan raqamni olamiz: bizning holatlarimizda 603121200000. Nopozitsion sanoq sistemalarida sonning qiymati raqamlar yozuvidagi raqamlarning joylashuviga bog‘liq emas. Agar biz 603121200000 raqamidagi raqamlarni aralashtirib yuboradigan bo'lsak, unda biz changyutgich qancha turadi, tushuna olmaymiz; emas pozitsion tizimRaqamlar miqdorini o'zgartirmasdan o'zgartirilishi mumkin. Pozitsiyali bo'lmagan tizimga Rim tizimini misol qilib keltirish mumkin. Bunday tizimlar additivlik tamoyili asosida qurilgan (inglizcha add. - summa). Raqamlarning miqdoriy ekvivalenti raqamlar yig'indisi sifatida aniqlanadi. Misol uchun: Pozitsion sanoq sistemalarida raqamlar yozuvidagi raqamlarning tartibi har doim muhim ahamiyatga ega. (25 va 52 har xil raqamlar) Amaliy foydalanish uchun mo'ljallangan har qanday raqam tizimi quyidagilarni ta'minlashi kerak: ma'lum raqamlar oralig'ida raqamni ifodalash qobiliyati vakillikning noaniqligi qisqalik va yozish qulayligi tizimni o'zlashtirishning qulayligi, shuningdek, uni boshqarishning soddaligi va qulayligi II - Ikkilik sanoq sistemasi Ikkilik sanoq sistemasi 2 asosli pozitsion sanoq sistemasidir. Bu sanoq sistemasida natural sonlar ikkita belgi yordamida yoziladi: 1 va 0. Raqam. ikkilik tizim- bit. Sakkizta raqam - bayt. Ikkilik sanoq sistemasi 17-19-asrlarda matematiklar va faylasuflar tomonidan ixtiro qilingan. Atoqli matematik Leybnits shunday degan edi: “Ikkilar yordamida hisoblash... fan uchun asosiy hisoblanadi va yangi kashfiyotlar yaratadi... Raqamlar 0 va 1 boʻlgan eng oddiy boshlanishlarga keltirilsa, hamma joyda ajoyib tartib paydo boʻladi. ” Keyinchalik, ikkilik tizim unutildi va faqat 1936-1938 yillarda amerikalik muhandis va matematik Klod Shennon elektron sxemalarni loyihalashda ikkilik tizimdan ajoyib foydalanishni topdi. Ikkilik tizim raqamli qurilmalarda qo'llaniladi, chunki u eng oddiy. Ikkilik tizimning afzalliklari: Tizimda qancha kam qiymatlar bo'lsa, uni yaratish osonroq bo'ladi individual elementlarushbu qiymatlar asosida ishlaydi. Ikkita raqam osongina ifodalanadi jismoniy hodisalar: oqim bor - oqim yo'q; induksiya magnit maydonchegara qiymatidan katta yoki yo'q va hokazo. Elementning holati qanchalik kam bo'lsa, shovqinga qarshi immunitet shunchalik yuqori bo'ladi va u tezroq ishlaydi. Ikkilik arifmetika juda oddiy. Bitli amallarni bajarish uchun mantiq apparatidan foydalanish mumkin Ikkilikdan o'nli tizimga o'tkazish uchun 2 ning darajalar jadvalidan foydalaniladi.
III – o‘n oltilik sanoq sistemasi DA zamonaviy zamonlar vaqtni, burchaklarni o'lchash uchun sexagesimal sanoq tizimi qo'llaniladi. Vaqtni ifodalashda uchta pozitsiyadan foydalaniladi: soatlar, daqiqalar, soniyalar, chunki har bir pozitsiya uchun biz 60 ta raqamdan foydalanishimiz kerak va bizda atigi 10 ta raqam mavjud, keyin har biri uchun ikkita o'nlik raqam (00, 01, ...) ishlatiladi. sexagesimal pozitsiyasi, pozitsiyalar yo'g'on ichak bilan ajratiladi. h:m:s. Ikki vazifa bo'yicha kichik jinsli sonlar tizimidagi harakatlarni ko'rib chiqing: Kekni pechda 45 daqiqa davomida pishirish kerak. Bu necha soniya davom etadi? Siz 10 ta pirog pishirishingiz kerak. Bu qancha vaqt oladi? Jismoniy kichik sonlar tizimida hisob-kitoblarni bajarish uchun kichik kichik sonlarni qo‘shish va ko‘paytirish jadvallarini bilish kerak. Har bir jadval juda katta, u 60 * 60 o'lchamda, biz odatdagi ko'paytirish jadvalini zo'rg'a esladik va biz uchun sexagesimal jadvalni o'rganish yanada qiyinroq bo'ladi. Qanday bo'lish kerak? Siz bu masalalarni o'nlik sanoq sistemasida hal qilishingiz va natijani kichik songa aylantirishingiz mumkin. 45 daqiqa=0*3600+45*60+0= 2700 soniya 10 ta pirog pishirish uchun 2700*10=27000 soniya kerak bo'ladi. 27000/60=450 (qoldiq 0) 450/60=7 (qolgan 30) 7/60=0 (qolgan 7) 07:30:00 chiqdi IV – o‘nlik sanoq sistemasi Arab raqamlari yordamida raqamlarni ifodalash eng keng tarqalgan pozitsion sanoq tizimi bo'lib, u "o'nlik sanoq tizimi" deb ataladi. U o'nlik deb ataladi, chunki u o'nta raqamdan foydalanadi: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. O'nlik sanoq tizimi eng ko'p mashhur yutuq Hind matematikasi (595). Baza 10 tizimi Hindistondan Yaqin Sharqning ko'plab hududlariga boradigan karvon yo'llariga kirib bordi. Asta-sekin bu tizim arab dunyosida ko'proq va kengroq qo'llanila boshlandi, garchi boshqa tizimlar bir vaqtning o'zida qo'llanilsa ham. Leonardo Pizalik "Abakus kitobi" (1202) hind-arab raqamlash tizimining G'arbiy Evropaga kirib borishi uchun manbalardan biri bo'ldi. Bu kitob o'sha davrlar uchun ulkan asar bo'lib, bosma shaklda 460 sahifadan iborat edi. Uning muallifi Fibonachchi nomi bilan ham tanilgan. Uning kitobi o'z davrining matematik entsiklopediyasi edi. O'nlik sanoq tizimi Yevropada faqat Uyg'onish davrida keng tarqaldi va tan olindi. V - boshqa sanoq sistemalari O‘n oltilik sanoq sistemasi – sonlarni yozish uchun quyidagi belgilar qo‘llaniladi: 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F. Ikkilik o'nlik tizim hisoblash. Bunday tizimda har bir o'nlik raqam kodlangan ma'lum kombinatsiya ikkilik raqamlar. Har bir o'nlik raqamning belgilanishi tetrada deb ataladi. Misol: 125 10 =000100100101 2-10 (3 tetrad) 0000=1 0100=4 1000=8 0001=1 0101=5 1001=9 Besh karrali sanoq tizimi - Birinchi matematiklar faqat bir qo'lning barmoqlari bilan sanashlari mumkin edi va agar ko'proq narsalar bo'lsa, ular shunday der edilar: "besh + bir" va hokazo. Ba'zan 20 raqami asos qilib olingan - barmoqlar va oyoq barmoqlari soni. Amerikaning ibtidoiy xalqlarining 307 ta sanoq sistemasidan 146 tasi oʻnlik, 106 tasi kvinar va oʻnlik sanoq sistemasidan iborat edi. Ko'proq xarakterli shaklda, 20 ta asosiy tizim Meksikadagi mayyalar va Evropadagi keltlar orasida mavjud edi. VI - bir tizimdan ikkinchisiga o'tkazish Sanoq tizimlari bog'liqmi? Raqamni bir tizimdan ikkinchisiga o'tkazish mumkinmi? Bir tizimdan ikkinchisiga o'tkazishning ikkita asosiy qoidalari mavjud: Boshqa har qanday o'nlik sistemaga o'tkazish quyidagi formulalar bo'yicha amalga oshiriladi: 11001 2 – 1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =1*16+1*8+0*4+0*2+ 1*1=25 10 221 3 -2*3 2 +2*3 1 +1*3 0 =2*9+2*3+1*1=25 10 31 8 – 3*8 1 +1*8 0 =3*8+1*1=25 10 25 10 – 2*10 1 +5*10 0 =2*10+5*1=25 10 Raqamni o'nlik sistemadan istalgan asosli tizimga o'tkazish algoritmga muvofiq amalga oshiriladi: 25 10 ikkilik songa aylantiriladi 25/2=12 (qolgan 1) 12/2=6 (qolgan 0) 6/2=3 (qolgan 0) 3/2=1 (qolgan 1) 1/2=0 (qolgan 1) 11001 2 raqamini oldi 25 10 uchlik songa aylantiriladi 25/3=8 (qolgan 1) 8/3=2 (qolgan 2) 2/3=0 (qolgan 2) 221 3 qabul qilindi 25 10 sakkizlik songa aylantiriladi 25/8=3 (qolgan 1) 3/8=0 (qolgan 3) 31 8 ball oldi Ijodiy guruhlar ishining natijalarini taqdim etgandan so'ng, barcha sanoq tizimlari boshida ko'rsatilgan mezonlar bo'yicha baholandi va hamma matematikaning tarixiy rivojlanishi natijasida eng qulay tizim (o'nlik) degan xulosaga keldi. eng keng tarqalganiga aylandi. Shu bilan birga, ikkilik tizimning ashaddiy tarafdorlari bor edi, ular elektronika uchun juda muhim deb hisoblardi. Dars sinxronlash bilan yakunlandi. Sanoq tizimi qulay, tez, yordam beradi, sanaydi, yozadi "Hisoblash va hisob-kitoblar boshdagi tartibning asosidir" (I. Pestalozzi) Axborot manbalari D.Ya. Stroik "Matematika tarixi bo'yicha qisqacha insho" ("Nauka", Moskva, 1990). N.Ya. Vilenkin, L.P. Shibasov, Z.F. Shibasov "Matematika darsligining sahifalari ortida" ("Prosveshchenie", Moskva, 2008). A.V. Dorofeev "Matematika darslarida tarix sahifalari" ("Ma'rifat", Moskva, 2007). "Vikipediya" internet resurslari. Yüklə 88,51 Kb. Dostları ilə paylaş:
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||