Difrensial tenglamalar

Aim.Uz

Difrensial tenglamalar

1. 
   Ajralgan difrensial tenglama: M(x)dx+N(y)dy=0 
   
2. 
   O`zgaruvchilari ajraladigan dif. ten:
   



A gar f(x,y) funksiyada x va y o`zgaruvchilar mos ravishda tx va ty ga almashtirilganda f(tx,ty)=f(x,y) shart bajarilsa, f(x) funk. Bir jinsli funksiya deyiladi

Bir jinsli dif ten: y`=f(x,y); yechimi: ,

3 . Chiziqli difrensial teng. Agar Q(x)=0  chiziqli bir jinsli dif ten. Agar Q(x)≠0  chiziqli bir jinsli bo`lmagan dif ten. Yechimi:

bularni integrallab

teng ning umumiy yechimini topamiz:

5. n-tartibli bir jinsli chiziqli dif ten. Agar (yechimlarning fundamental sistemasi) funksiyalar bu teng ning chiziqli erkli yechimlari bo`lsa uning umumiy yechimi bo`ladi.

Agar n-tartibli 1 jinsli chiziqli dif ten ning a₁, a₂, …, a_n koefsentlari o`zgarmas sonlar bo`lsa u holda hususiy yechim da izlanadi.
6. O`zgarmas koefsentli chiziqli bir jinsli dif ten. y``+py`+qy=0

uning harakteristik tenglamasi. Quyidagi hollar bo`lishi mumkin:

a) k₁ va k₂ lar haqiqiy k₁≠k₂

b) k₁=k₂=k

c ) tenglama ildizlar kompleks sonlar:

Eyler formulasiga asosan:

7 . O`zgarmas koefsentli bir jinsli bo`lmagan chiziqli dif ten: y``+py`+qy=f(x) Bunda f(x) ni yechimi ko`rinishga ega bo`lganda aniqmas koefsentlar usuli biln topiladi. Bu yerda γ va δ – berilgan sonlar P<sub>n</sub>(x) va Q<sub>m</sub>(x) – mos ravishda n- va m- darajali ma`lum ko`phadlar. Bu holda berilgan tenglamaning hususiy yechimi

ko`rinishda izlanadi; bunda r xarakteristik tenglamaning γ + δi ildizining karalliligi. (agar har-tik tenglama bunday ildizga ega bo`lmasa, r=0) u_l(x) va v_l(x) – l da rajali ko`phad, shu bilan birga l m va n sonlarining kattasi.

4. 
   Bernulli tenglamasi:
   

Y echimi: funksiya kiritilib chiziqliga keltiriladi.

O`zgarmasni variatsiyalash

Bir jinsli qismini yechimi: (1)

Bu sistemani yechib C₁, C₂,…C_n larni topib (1) ga qo`ysak berilgan tenglama yechimini topamiz.

8.