Elementda faqat uchta tugunning mavjudligi uning shakl funktsiyalarining chiziqli xarakterini oldindan belgilab beradi va elementning matematik formulasini soddalashtiradi, bu uning qo‘shimcha afzalligi hisoblanadi

2.2. Chekli elementlar usulining umumiy algoritmi.
Chekli elementlar usulida amaliy masalalarni yechishni yuqorida masalani o‘raganganlik holatida ko‘plab murakkab konstruksiyalarni ko‘rib chiqdik, ushbu elementning eng oddiy versiyasi uchburchak bo‘lib, uning uchlari elementning uchta tugunining o‘rnini aniqlaydi. Deyarli har qanday tekis struktura ob’ekti bunday uchburchak chekli elementlarning to’ri sifatida ifodalanishi mumkin, garchi to‘rdagi alohida elementlar chiziqli va burchak o‘lchamlari bilan farq qilishi mumkin. Ushbu qobiliyat ushbu turdagi elementlarning uzluksiz muhitni diskretlash uchun ishlatiladigan birinchi turdagi chekli elementga aylanishini aniqladi.
Elementda faqat uchta tugunning mavjudligi uning shakl funktsiyalarining chiziqli xarakterini oldindan belgilab beradi va elementning matematik formulasini soddalashtiradi, bu uning qo‘shimcha afzalligi hisoblanadi. Boshqa tomondan, shaklning chiziqli funktsiyalari element ichidagi nisbiy kuchlanish va kuchlanishning kattaligini o‘zgartirishning mumkin emasligiga olib keladi. Ushbu holat kuchlanish va deformatsiyalarning keskin o‘zgarishi mumkin bo‘lgan tuzilmalarni modellashtirish uchun foydalanilganda elementning kamchiliklari hisoblanadi. Bunday holda, strukturada stressning aniq taqsimlanishini olish uchun katta raqamdan foydalanish kerak uchburchak elementlar. Ko‘p sonli elementlar echilishi kerak bo‘lgan ko'p sonli tenglamalarni va shunga mos ravishda katta hisoblash xarajatlarini bildiradi.
Uchburchakli chekli elementning matematik formulasini olish 2.2.1-rasmda ko'rsatilgan diagramma asosida mumkin. Bu erda global o‘qning X va Y o‘qlariga nisbatan o‘zboshimchalik bilan joylashgan oltita erkinlik darajasiga ega uch tugunli chekli element ko'rsatilgan. koordinata tizimi. Ushbu element uchun mahalliy koordinatalar tizimi talab qilinmaydi. Elementning qattiqlik matritsasi to‘g‘ridan-to‘g‘ri global koordinatalar tizimida olinadi, bu mahalliy va global koordinatalarni o‘zgartirish zaruratini yo'q qiladi.

2.2.1-rasm – O‘q bo‘yicha qo‘yilgan kuch balkaning egilishiga ta’siri
Elementlar tekisligidagi siljishlar bir-biridan mustaqil bo‘lganligi sababli, siljish funktsiyalari quyidagicha yozilishi mumkin:
(2.2.1)
(2.2.2)
Funktsiya yozuvidan ko'rinib turibdiki, element uchun faqat uchta shakl funksiyasi ( ) talab qilinadi. Bu ikki siljish funksiyasi faqat tugunli siljishlarda farqlanishi bilan izohlanadi: u(x, y) funksiya uchun X o‘qi yo‘nalishida ( ) amalga oshirilganlar va yo‘nalish bo‘yicha bajarilganlar. Y o‘qining ( ) uchun v(x,y) funksiyalari.
Shakl funktsiyalari global x va y koordinatalari ko‘rinishidagi mustaqil o‘zgaruvchilarga ega polinomlardir. Har bir funktsiya uchta erkinlik darajasi, har bir tugun uchun bir daraja bilan bog'liq va shuning uchun trinomial hisoblanadi. Ular quyidagicha yozilishi mumkin:
(2.2.3)
(2.2.4)
(2.2.5)
Ularning matritsa shakli:
(2.2.6)
Ushbu funktsiyalarni elementning tepasida joylashgan uchburchak tekisliklar sifatida ko'rish mumkin, shunda ularning ikkita nuqtasi elementning tugunlari bilan mos keladi, uchinchisi esa elementning normal yo‘nalishi bo‘yicha birlik ofsetiga ega (2.2.2-rasm).

2.2.2-rasm – O‘q bo‘yicha qo‘yilgan kuchning balkaning egilishiga ta’siri
O‘zgartirish funktsiyalari shakl funktsiyalarining chiziqli birikmasidir, shuning uchun ular global x va y koordinatalarining chiziqli funktsiyalari hamdir. Ular uchburchakli chekli elementning tepasida joylashgan uchburchak tekisliklar sifatida tasvirlanishi mumkin, shunda ularning har bir tugundan hisoblangan nuqtalarining ordinatalari mos keladigan tugun siljishlari q_i ga teng bo'ladi.
2.2.3 - rasmda tekis kuchlanishli strukturada uchta qo'shni element ( ) uchun joy o‘zgartirish funksiyasi ko‘rsatilgan. Rasmdan ko‘rinib turibdiki, bu siljishlar faqat tugunlarda emas, balki tugunlar orasidagi qirralar bo‘ylab ham uzluksizdir. Bu yerda ham ko‘rish mumkinki, har bir element uchun tekisliklarning qiyaligi global X o‘qiga ham, Y o'qiga ham doimiy bo‘lib qoladi. Bu qiyaliklar elementlarning nisbiy deformatsiyalari miqdori bilan bevosita bog‘liq. Shuning uchun har bir element ichidagi deformatsiya va shunga mos ravishda kuchlanish doimiy qiymatga ega. Deformatsiyalar va kuchlanishlarning qiymatlari turli elementlar uchun har xil bo‘ladi va ularning elementdan elementga o‘tishdagi o‘zgarishi elementlarning chegaralarida keskin ravishda amalga oshiriladi.

elementlarning joy o'zgartirish funktsiyalari

2.2.3 - rasm. O‘q bo‘yicha qo‘yilgan kuchning balkaning egilishiga ta’siri
Shakl funktsiyalarining doimiy koeffitsientlarini (C_ij) quyidagi ko‘rinishdagi matritsa tenglamasining yechimi asosida aniqlash mumkin:
(2.2.7)
Matritsa qo'shma matritsa usuli bilan tenglamaning o‘ng tomoniga teskari aylantirilsa, tenglama quyidagi shaklni oladi:
(2.2.8)
Tenglama (2.2.8) shuni ko‘rsatadiki, uchburchak elementning shakl funktsiyalarining doimiy koeffitsientlari uning tugunlarining global koordinatalari bilan to‘liq aniqlanadi: . (2.2.7) tenglamaning o‘ng tomonidagi matritsaning determinanti bo‘lgan (2.2.8) tenglamadagi maxraj uchburchak elementining ikki barobari maydoni sifatida talqin qilinishi mumkin, ya'ni:
(2.2.9)
(2.2.8) va (2.2.9) tenglamalarni (2.2.7) tenglamaga qo‘yish uchburchakli chekli elementning shakl funksiyalari uchun quyidagi ko‘rinishdagi ifodalarni beradi:
(2.2.10)
(2.2.11)
(2.2.12)
Olingan shakl funktsiyalariga asoslanib, uchburchakli chekli elementning qattiqlik matritsasi quyidagicha formulalanadi:
(2.2.13)
bu erda [B] - nisbiy deformatsiyalarning mavjud bog‘liqliklariga mos ravishda differentsiatsiyalangan shakl funktsiyalarining hosilalari massivi bo‘lgan deformatsiya matritsasi;
[E] - kuchlanish va nisbiy deformatsiyalar vektorlarini bog‘laydigan materialning elastik konstantalari matritsasi.
Tekis kuchlanish holatidagi uch tugunli chekli element uchun deformatsiya matritsasi quyidagicha ifodalanadi:
(2.2.14)
(2.2.10-2.2.12) tenglamalarni (2.2.14) tenglamaga almashtirish va keyingi differentsiallash:
(2.2.15)
Tekis kuchlanish holati uchun elastik konstantalar matritsasi quyidagi shaklga ega:
(2.2.16)
bu erda E - ishlatiladigan materialning elastiklik moduli, MPa;
- ishlatiladigan materialning Puasson nisbati.
Ko‘rinib turibdiki, [B] va [E] matritsalari faqat o‘zgarmas koeffitsientlar bilan aniqlanadi, shuning uchun (2.2.13) tenglamani integrallash quyidagi ko‘rinishdagi tenglamaga olib keladi:
(2.2.17)
bu erda - uchburchak elementning maydoni, mm2;
t – ba’zi bir doimiy element qalinligi, mm.
Ushbu turdagi elementlar tomonidan olinadigan yuklar faqat element tekisligida ko‘rsatilishi kerak va element nuqtasida to‘planishi, elementning maydoni bo‘ylab taqsimlanishi va elementning chekkasi bo‘ylab taqsimlanishi mumkin.