Elliptik egri chiziqlar nazariyasi va ularning kriptografiyaga tadbiqi

ELLIPTIK EGRI CHIZIQLAR NAZARIYASI VA ULARNING KRIPTOGRAFIYAGA TADBIQI


Rakhimberdiev K.B¹., Kamalov R².
¹O’zbekiston milliy universiteti
[e-mail]


²O’zbekiston milliy universiteti
[e-mail]


Annotatsiya. Mazkur ishda elliptik egri chiziqlarni tanlab olishda hisobga olinishi lozim bo’lgan shartlarini aniqlashning asosiy hollari, elliptik egri chiziq tushunchasiga oid apparat, elliptik egri chiziqlar nazariyasining singulyar va supersingulyarlik hossalari va ularning asosida yotuvchi nazariy g’oyalari qaraladi.
Kalit so’zlar. Supersingulyar, singulyar, elliptik egri chiziq,kriptografik protocol, kibernetik, kriptograf, kriptobardoshlilik,
Instruction. Elliptik egri chiziqlar va ratsional nuqtalarning guruhi ko’rinishidagi nazariyalarning matematik asosi va kriptografiyaga qo’llashga qiziqishlar dastlab 1985-yilda paydo bo’la boshladi. Elliptik egri chiziqlar nazariyasini kriptografiyaga qo’llash quyidagicha ikkita masalaga asoslanadi:

1. 
   Katta butun sonlarni tub ko’paytuvchilarga ajratish
   
2. 
   Kriptografik protokollar yasash
   

Hozirgi kunga kelib bu masalalani kalitlarni generatsiya qilish blokcheyn texnologiyasini shakllantirishda foydalanishning nazariy va amaliy ishlar qilinmoqda[1,2]. So’nggi yillarda elliptik egri chiziqlar nazariyasiga asoslangan yangi kriptotizimlarni yaratish va blokcheyn texnologiyasiga qo’llash muammosi dolzarblikni kasb etmoqda. Shundan ko’plab matematik, kibernetik, kriptograf olimlar bu muammoni yechishga qiziqish bildirishmoqda. Sababi, elliptik egri chiziqlar murakkab hossalarga ega bo’lib chekli Abel guruhlarining manbai ekanligidan ularni qo’llash asosida sonli va ko’phadli kriptotizimlargina ega bo’luvchi turg’unlik ko’rsatgichlarini ta’minlashga erishiladi. Lekin, shunga mos turga turg’unlik ko’rsatkichlarining ta’minlanishi kalit o’lchamining sezilarli darajada qisqarishiga olib keladi. Bu kriptotizimlarning amallarni texnik tomondan hisoblash tezligini orttiradi va kriptobardoshlilikni oshirishga imkoniyat yaratadi. Bu borada murakkab matematika muammoli masalalarni yechish bilan bog’liq bo’lgan ko’pchilik qiyinchiliklar o’tgan yillar davomida muvafaqqiyatli yengib chiqildi. Bu limning olmashumul natijalari chekli maydonda elliptik egri chiziqlarning arifmetikasini amaliyotgan qo’llash natijasida yaratilgan elektron imzo standartlari va shu bilan bir qatorda DTS U4145-2002 Ukraina standartini ham keltirishimiz mumkin.
Axborotni himoya qilish tizimlarini ishlab chiqish va loyihalashtirish amaliyotida elliptik egri chiziqlardan foydalanadigan kriptotizimlarni keng joriy qilish mos soha bo’yicha mutaxasislarni tayyorlaydigan oliy o’quv yurtlari o’quv dasturlariga matematikaning yangi bo’limlari va kriptologiyaning rivojlanishining yangi yo’nalishini ta’minlaydigan maxsus fanlar va adabiyotlarni chuqur o’rganish soha rivojiga katta hissa qo’shadi. Albatta bu kriptotizimlarni, protokollarni yaratishda eng effektiv bo’lgan elliptik egri chiziqni ko’rsatkichlarini belgilaydi.
Elliptik egri chiziqning to’g’ri tanlanishi kriptoalgoritmlarning asosiy ko’rsatkichlaridan biri bo’lib ularning turg’unlik darajasini aniqlaydi. Ko’p yillik ilmiy tadqiqotlar shuni ko’rsatadiki, elliptik egri chiziqlarning barchasi ham kriptotizimlarda foydalanishga birdek foydali va yaroqli bo’lavermaydi. Mazkur maqolada kriptografik qo’llash uchun yaroqli bo’lgan elliptik egri chiziqlarni tanlashda hisobga olinishi kerak bo’lgan shartlarni aniqlaymiz.

1.