Erlang va Pirson qonunlari
Yüklə 126,95 Kb.
|
|
Erlang va Pirson qonunlari Reja:
Tarqatish - tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishi bu erda tasodifiy o'zgaruvchilar X 1 , X 2 ,…, X n mustaqil va bir xil taqsimotga ega N(0,1). Bundan tashqari, atamalar soni, ya'ni. nchi-kvadrat taqsimotining "erkinlik darajalari soni" deb nomlanadi. Tarqatish t Student's t - tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishi bu erda tasodifiy o'zgaruvchilar U va X mustaqil, U standart normal taqsimotga ega N(0,1) va X - chi taqsimoti - kvadrat bilan n erkinlik darajasi. Qayerda n Talabalar taqsimotining "erkinlik darajalari soni" deb nomlanadi. Ushbu tarqatish 1908 yilda pivo zavodida ishlagan ingliz statistik xodimi V.Gosset tomonidan kiritilgan. Ushbu fabrikada iqtisodiy va texnik qarorlarni qabul qilishda ehtimollik-statistik usullardan foydalanilgan, shu sababli uning rahbariyati V. Gossetga o'z nomidan ilmiy maqolalarni nashr etishni taqiqlagan. Shu tarzda V. Gosset tomonidan ishlab chiqilgan ehtimollik-statistik usullar ko'rinishidagi "nou- xau" tijorat siri himoya qilindi. Biroq, u "Talaba" taxallusi bilan nashr etish imkoniyatiga ega bo'ldi. Gosset-Student hikoyasi shuni ko'rsatadiki, yana yuz yil davomida ehtimoliy-statistik qarorlarni qabul qilish usullarining katta iqtisodiy samaradorligi Buyuk Britaniya menejerlari uchun ravshan edi. Markaziy chegara teoremasi (har xil taqsimlangan atamalar uchun). Bo'lsin X 1 , X 2 ,…, X n, ... bu matematik taxminlarga ega bo'lgan mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar M (X 1 ), M (X 2 ), ..., M (X n), ... va farqlar D.(X 1 ), D.(X 2 ),…, D.(X n),… mos ravishda. Bo'lsin So'ngra, har qanday atamaning hissasining kichikligini ta'minlaydigan ma'lum sharoitlarda U n, har kim uchun x. Bu erda ko'rib chiqilayotgan shartlar shakllantirilmaydi. Ularni maxsus adabiyotlarda topish mumkin (masalan, qarang). "CPT faoliyat ko'rsatadigan sharoitlarning yoritilishi taniqli rus olimlari A.A. Markov (1857-1922) va, xususan, A.M. Lyapunov (1857-1918) ning xizmatidir". Markaziy chegara teoremasi shuni ko'rsatadiki, o'lchov (kuzatish) natijasi ko'plab sabablar ta'sirida shakllangan bo'lsa, ularning har biri faqat ozgina hissa qo'shadi va jami jami aniqlanadi qo'shimcha ravishda, ya'ni qo'shimcha ravishda, o'lchov (kuzatish) natijasining taqsimlanishi me'yorga yaqin. Ba'zida taqsimot normal bo'lishi uchun o'lchov (kuzatish) natijasi kifoya qiladi, deb hisoblashadi X ko'plab sabablar ta'siri ostida shakllanadi, ularning har biri kichik ta'sirga ega. Bu unday emas. Ushbu sabablar qanday ishlashi muhim. Agar qo'shimcha bo'lsa, unda X taxminan normal taqsimotga ega. Agar a ko'paytma (ya'ni individual sabablarning harakatlari ko'paytiriladi, qo'shilmaydi), keyin tarqatish X odatdagiga emas, balki deyilganga yaqin. logaritmik normal, ya'ni. emas X, va lg X taxminan normal taqsimotga ega. Agar yakuniy natijani shakllantirishning ushbu ikkita mexanizmidan biri (yoki boshqa biron bir aniq mexanizm) ishlaydi, deb hisoblash uchun hech qanday sabab bo'lmasa, u holda taqsimot haqida X aniq bir narsa aytish mumkin emas. Yuqoridagilardan kelib chiqadiki, ma'lum bir amaliy masalada o'lchov natijalarining (kuzatuvlarining) normalligi, odatda, umumiy fikrlardan kelib chiqmaydi, uni statistik mezonlardan foydalangan holda tekshirish kerak. Yoki, o'lchov natijalarining (kuzatuvlarining) taqsimlash funktsiyalari ma'lum bir parametrli oilaga tegishli degan taxminga tayanadigan parametrsiz statistik usullardan foydalaning. Tasodifiy qiymat X agar tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa, log-normal taqsimotga ega Y \u003d lg X normal taqsimotga ega. Keyin Z \u003d ln X = 2,3026…Y shuningdek normal taqsimotga ega N(a 1 , σ 1), qaerda ln X - tabiiy logaritma X... Kundalik normal taqsimotning zichligi quyidagicha: Markaziy chegara teoremasidan mahsulot ekanligi kelib chiqadi X = X 1 X 2 … X n mustaqil musbat tasodifiy o'zgaruvchilar X i, i = 1, 2,…, n, katta uchun n log normal taqsimoti bilan taxminiy bo'lishi mumkin. Xususan, ish haqi yoki daromadni shakllantirishning multiplikativ modeli ish haqi va daromadlarning taqsimlanishini logaritmik normal qonunlar bilan taqsimlash bo'yicha tavsiyalarga olib keladi. Rossiya uchun ushbu tavsiya asosli bo'lib chiqdi - statistika buni tasdiqlaydi. Log-normal qonuniga olib keladigan boshqa ehtimol modellari mavjud. Bunday modelning klassik namunasi A.N.Kolmogorov tomonidan berilgan bo'lib, u fizik jihatdan asosli postulatlar tizimidan ma'dan, ko'mir va boshqalarni maydalashda zarrachalar kattaligi to'g'risida xulosa chiqargan. shar tegirmonlarida lognormal taqsimot mavjud. Oqimlarning xarakteristikalari vaqtga bog'liq bo'lmagan holda, umumiy oqim bitta raqam - oqim tezligi bilan to'liq tavsiflanganligi isbotlangan. Umumiy oqim uchun tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing X - ketma-ket hodisalar orasidagi vaqt oralig'ining uzunligi. Uning taqsimlash funktsiyasi shaklga ega (10)
Ushbu taqsimot eksponent taqsimot deyiladi, chunki eksponent funktsiya (10) formulada ishtirok etadi e -λ x... 1 / The miqdori shkala parametridir. Berilgan muvaffaqiyatsizlik darajasidagi munosabat (11) λ (x)- funktsiya uchun differentsial tenglama F(x). Differentsial tenglamalar nazariyasidan shunday xulosa kelib chiqadi (13) (12) ni (13) ga almashtirib, biz bunga erishamiz (14) (14) formulada berilgan taqsimot Vaybull - Gnedenko taqsimoti deyiladi. Sifatida u holda (14) formuladan miqdor kelib chiqadi va(15) formula bilan berilgan shkala parametri. Ba'zan shift parametri ham kiritiladi, ya'ni. Vaybull - Gnedenko tarqatish funktsiyalari deyiladi F(x - v), qaerda F(x) (14) formula bo'yicha ba'zi λ 0 va berilgan b. Vaybul - Gnedenko taqsimotining zichligi shaklga ega (16)
qaerda a \u003e 0 - o'lchov parametri, b \u003e 0 - shakl parametri, dan - Shift parametri. Bunday holda, parametr va formuladan (16) parametr bilan bog'liq λ 0 (14) formuladan (15) formulada ko'rsatilgan munosabat bilan. Keling, gamma-tarqatish oilasiga o'tamiz. Ular iqtisodiyot va menejmentda, ishonchlilik va sinovlar nazariyasi va amaliyotida, texnologiyaning turli sohalarida, meteorologiya va boshqalarda keng qo'llaniladi. Xususan, gamma taqsimoti ko'p holatlarda mahsulotning umumiy ishlash muddati, o'tkazuvchan chang zarralari zanjirining uzunligi, korroziya paytida mahsulotning chegara holatiga etish vaqti va ishlash muddati kabi miqdorlarga bo'ysunadi. krad etish, k \u003d 1, 2, ... va boshqalar. Surunkali kasalliklarga chalingan bemorlarning umr ko'rish davomiyligi, davolanish paytida ma'lum ta'sirga erishish vaqti, ba'zi hollarda gamma-taqsimotga ega. Ushbu taqsimot inventarizatsiyani boshqarish (logistika) ning iqtisodiy va matematik modellaridagi talabni tavsiflash uchun eng mos keladi. Gamma taqsimotining zichligi shaklga ega (17) (17) formuladagi ehtimollik zichligi uchta parametr bilan aniqlanadi a, b, vqayerda a>0, b\u003e 0. Qayerda a shakl parametri, b - o'lchov parametri va dan- smenali parametr. Faktor 1 / Γ (a) normallashtirilgan, u bilan tanishtirilgan Bu yerda Γ (a) - matematikada ishlatiladigan "gamma funktsiya" deb ataladigan maxsus funktsiyalardan biri, (17) formulada berilgan taqsimot ham nomlangan, Ruxsat etilgan bilan va (17) formulada zichlik bilan taqsimlanish natijasida hosil bo'lgan taqsimotlarning masshtabli siljish oilasi aniqlanadi (18) Shaklning tarqalishi (18) standart gamma taqsimoti deb ataladi. U formuladan (17) at olinadi b \u003d 1 va dan= 0. Uchun gamma tarqalishining alohida holati va \u003d 1 eksponent tarqatish (bilan b \u003d 1 /b). Tabiiy bilan va va dan\u003d 0 gamma taqsimoti Erlang taqsimoti deyiladi. 1908-1922 yillarda o'qigan Kopengagen telefon kompaniyasi xodimi daniyalik olim K.A.Erlang (1878-1929) asarlaridan. telefon tarmoqlarining ishlashi, navbat nazariyasining rivojlanishi boshlandi. Ushbu nazariya optimal qarorlar qabul qilish uchun dasturlar oqimiga xizmat ko'rsatiladigan tizimlarni ehtimollik va statistik modellashtirish bilan shug'ullanadi. Erlang taqsimotlari eksponent tarqatish qo'llaniladigan dastur maydonlarida qo'llaniladi. Bu quyidagi matematik haqiqatga asoslanadi: bir xil parametrlar bilan eksponent ravishda taqsimlangan k mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi λ va dan, shakl parametri bilan gamma taqsimotiga ega a \u003dk, o'lchov parametri b \u003d 1 / λ va almashtirish parametri kc... Qachon dan \u003d 0 biz Erlang taqsimotini olamiz. Agar tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa X shakl parametriga ega bo'lgan gamma taqsimotiga ega va shu kabi d = 2 a - butun son, b \u003d 1 va dan \u003d 0, keyin 2 X bilan kvadratik taqsimotga ega d erkinlik darajasi. Tasodifiy qiymat X gvmma taqsimoti bilan quyidagi xususiyatlarga ega: Kutilayotgan qiymat M (X) \u003dab + v, Varians D.(X) = σ 2 = ab 2 , O'zgarish koeffitsienti Asimmetriya Ortiqcha Oddiy taqsimot - bu gamma taqsimotining cheklovchi holatidir. Aniqrog'i, Z (18) formulada berilgan standart gamma taqsimotiga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin. Keyin har qanday haqiqiy raqam uchun xqayerda F (x) - standart normal tarqatish funktsiyasi N(0,1). Amaliy tadqiqotlarda tarqatishning boshqa parametrli oilalari ham qo'llaniladi, ulardan eng mashhurlari Pirson egri chiziqlari, Edgevort va Charlier seriyasidir. Ular bu erda yopiq emas. Diskret qaror qabul qilishning ehtimoliy va statistik usullarida qo'llaniladigan taqsimotlar. Diskret taqsimotning uchta oilasi - binomial, gipergeometrik va Puasson, shuningdek, boshqa ba'zi oilalar - geometrik, salbiy binomial, multinomial, manfiy gipergeometrik va boshqalar eng ko'p ishlatiladi. Yuqorida aytib o'tganimizdek, binomial taqsimot har birida ehtimollik bilan mustaqil testlarda amalga oshiriladi r voqea paydo bo'ladi VA... Agar testlarning umumiy soni bo'lsa n berilgan, testlar soni Yunda voqea paydo bo'ldi VA, binomial taqsimotga ega. Binomial taqsimot uchun tasodifiy o'zgaruvchining qabul qilish ehtimoli Y ma'no y formula bilan aniqlanadi Ning kombinatsiyalari soni n elementlari tomonidan ykombinatorikadan ma'lum. Barcha uchun y, 0, 1, 2, ... tashqari n, bizda ... bor P(Y= y)= 0. Belgilangan o'lchov uchun binomial taqsimot n parametr bilan o'rnatiladi p, ya'ni binomial taqsimotlar bitta parametrli oilani tashkil qiladi. Ular namunaviy tadqiqotlar ma'lumotlarini tahlil qilishda, xususan iste'molchilarning xohish-istaklarini o'rganishda, bir bosqichli nazorat rejalari bo'yicha mahsulot sifatini tanlab nazorat qilishda, demografiya, sotsiologiya, tibbiyot, biologiya va boshqalar bo'yicha shaxslar populyatsiyasini sinashda foydalaniladi. Agar a Y 1 va Y 2 - bir xil parametrga ega bo'lgan mustaqil binomial tasodifiy o'zgaruvchilar p 0 hajmlari bilan namunalar bo'yicha aniqlanadi n 1 va n 2 shunga ko'ra, keyin Y 1 + Y 2 (19) bilan taqsimlangan binomial tasodifiy o'zgaruvchidir r = p 0 va n = n 1 + n 2 ... Ushbu eslatma binomial taqsimotning qo'llanilish doirasini kengaytiradi va ushbu guruhlarning barchasi bir xil parametrga mos keladi, deb taxmin qilish uchun asos bo'lganida bir necha sinov guruhlarining natijalarini birlashtirishga imkon beradi. Binomial taqsimotning xususiyatlari oldinroq hisoblab chiqilgan: M(Y) = np, D.(Y) = np(1- p). Binomial tasodifiy o'zgaruvchining "Voqealar va ehtimolliklar" bo'limida katta sonlar qonuni isbotlangan: har kim uchun. Markaziy chegara teoremasidan foydalanib, katta sonlar qonuni qancha ekanligini ko'rsatish orqali aniqlanishi mumkin Y/ n dan farq qiladi r. Moivre-Laplas teoremasi. Har qanday raqamlar uchun a va b, a< b, bizda ... bor
qaerda F(xO'rtacha 0 va dispersiya 1 ga ega bo'lgan standart normal taqsimot funktsiyasi. Gipergeometrik taqsimot uchun Y tasodifiy o'zgaruvchining y qiymatini qabul qilish ehtimoli shaklga ega (20)
qaerda D. - xususiyatga ega bo'lgan ob'ektlar soni VA, ko'rib chiqilgan hajm to'plamida N... Qayerda y max (0, dan qiymatlarni oladi, n - (N - D.) dan min (gacha) n, D.), boshqalari bilan y (20) formuladagi ehtimollik 0. Shunday qilib, gipergeometrik taqsimot uchta parametr - umumiy populyatsiya hajmi bilan aniqlanadi N, ob'ektlar soni D. unda ko'rib chiqilgan xususiyatga ega VAva namuna hajmi n. Agar dispersiya ifodasidagi oxirgi omil 1 ga yaqin bo'lsa, agar N>10 n... Agar bir vaqtning o'zida almashtirishni amalga oshirsa p = D./ N, u holda matematik kutish va gipergeometrik taqsimotning dispersiyasi uchun ifodalar binomial taqsimotning matematik kutish va dispersiyasi uchun ifodalarga aylanadi. Bu tasodif emas. Buni ko'rsatish mumkin da N>10 n, qaerda p = D./ N. Cheklash munosabati amal qiladi va bu cheklovchi munosabatlar uchun ishlatilishi mumkin N>10 n. Uchinchi keng tarqalgan diskret taqsimot - bu Puasson taqsimoti. Y tasodifiy o'zgaruvchisi Puasson taqsimotiga ega, agar , bu erda λ - Puasson taqsimotining parametri va P(Y= y)= 0 boshqalar uchun y (y \u003d 0 uchun 0! \u003d 1 bilan belgilanadi). Poisson tarqatish uchun M(Y) = λ, D.(Y) = λ. Ushbu taqsimot frantsuz matematikasi S.D.Puasson (1781-1840) nomi bilan atalgan bo'lib, uni 1837 yilda birinchi marta qo'lga kiritgan. r tadbirni amalga oshirish kichik, ammo sinovlar soni n ajoyib va np \u003d λ. Aniqrog'i, chegara munosabati to'g'ri Shuning uchun Puasson taqsimoti (eski atamashunoslikda "taqsimot qonuni") ko'pincha "kam uchraydigan hodisalar qonuni" deb nomlanadi. Poisson taqsimoti hodisalar oqimlari nazariyasida paydo bo'ladi (yuqoriga qarang). Doimiy intensivlikdagi eng oddiy oqim uchun sodir bo'lgan hodisalar (chaqiriqlar) soni isbotlangan t, iss \u003d Λ parametri bilan Poisson taqsimotiga ega t... Shuning uchun, ehtimol, bu vaqt ichida t hech qanday voqea sodir bo'lmaydi e - Λ t, ya'ni hodisalar orasidagi interval uzunligining taqsimlash funktsiyasi eksponent hisoblanadi. Poisson taqsimoti iste'molchilarni marketing bo'yicha o'tkazilgan namunaviy so'rov natijalarini tahlil qilish, nuqsonni qabul qilish darajasining kichik qiymatlari holatida statistik qabul qilishni nazorat qilish rejalarining operatsion xususiyatlarini hisoblash, vaqt birligiga statistik nazorat ostida bo'lgan texnologik jarayonning tartibsizliklar sonini, vaqt birligiga kelib tushgan "xizmat so'rovlari" sonini tavsiflash uchun ishlatiladi. navbat tizimi, baxtsiz hodisalar va kam uchraydigan kasalliklarning statistik namunalari va boshqalar. Diskret taqsimotlarning boshqa parametrli oilalarining tavsiflari va ulardan amaliy foydalanish imkoniyatlari adabiyotda ko'rib chiqilgan. Ba'zi hollarda, masalan, narxlarni, ishlab chiqarish hajmlarini yoki ishonchlilik muammolarida jami MTBFni o'rganishda, taqsimlash funktsiyalari ba'zi intervallarda doimiy bo'lib, tekshirilayotgan tasodifiy o'zgaruvchilarning qiymatlari tushishi mumkin emas. Oldingi X tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlash funktsiyasi har bir x uchun tasodifiy X ning qiymatni qabul qilish ehtimolini ifoda etuvchi F (x) funktsiyasidir., kichikroq x Tarqatish funktsiyasi xususiyatlari:
Shakl: 2.2 3. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlash funktsiyasi (2.3-rasmga qarang) quyidagi formula bilan ehtimollik zichligi orqali ifodalanishi mumkin: F (x) \u003d Jp (*) *. (2.10) 4. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik zichligining cheksiz chegaralaridagi noto'g'ri integral quyidagilarga teng: Geometrik xususiyatlar / va 4 ehtimollik zichligi uning grafigi ekanligini anglatadi taqsimot egri chizig'i - abssissa o'qi ostida emas, va rasmning umumiy maydoni, cheklangan taqsimot egri va abstsissasi, biriga teng. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun X kutilayotgan qiymat M (X) va dispersiya D (X) formulalar bilan belgilanadi: (agar integral mutlaqo yaqinlashsa); yoki (agar yuqoridagi integrallar yaqinlashsa). Tasodifiy o'zgaruvchini tavsiflash uchun yuqorida qayd etilgan sonli xususiyatlar bilan bir qatorda kvantillar va foiz punktlari tushunchasidan foydalaniladi. Miqdoriy daraja q (yoki q-kvantil) shunday qiymatx qtasodifiy o'zgaruvchi, unda uning tarqatish funktsiyasi qiymatni oladi, q ga teng, ya'ni
Tasodifiy o'zgaruvchining sonli xarakteristikalari orasida quyidagilar mavjud boshlang'ich v * va markaziy R * k-tartibli lahzalardiskret va uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun formulalar bo'yicha aniqlanadi: Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun taqsimot qonunlari orasida eng ko'p tarqalgani binomial taqsimot qonuni. Binomial taqsimot quyidagi sharoitlarda amalga oshiriladi. Mustaqil testlarda qandaydir hodisaning sodir bo'lish soni tasodifiy miqdorga bo'lsin, alohida testda yuzaga kelish ehtimoli tengdir. Ushbu tasodifiy o'zgaruvchi diskret tasodifiy o'zgaruvchidir, uning mumkin bo'lgan qiymatlari. Tasodifiy o'zgaruvchining qiymat olish ehtimoli Bernulli formulasi yordamida hisoblanadi:. Ta'rif 15.Agar diskret tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonuni Bernulli formulasi yordamida tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari ehtimolligi hisoblansa, binomial taqsimot qonuni deyiladi. Tarqatish seriyasi quyidagicha bo'ladi: Tasodifiy o'zgaruvchining har xil qiymatlari ehtimoli yig'indisi 1 ga teng ekanligini tekshirib ko'raylik. Ushbu hisob-kitoblar natijasida Nyuton binomial formulasi paydo bo'ldi, shuning uchun taqsimot qonuni binomial deb ataladi. Agar tasodifiy o'zgaruvchi binomial taqsimotga ega bo'lsa, unda uning raqamli xarakteristikalari quyidagi formulalar orqali topiladi: (42) (43) Puassonning tarqalish qonuni Ko'pgina amaliy masalalarni echishda Puasson taqsimot qonuniga bo'ysunadigan diskret tasodifiy o'zgaruvchilar bilan ishlash kerak. Puasson taqsimotiga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchiga odatiy misollar quyidagilardir: ma'lum vaqt ichida telefon stantsiyasiga qo'ng'iroqlar soni; vaqt o'tishi bilan jihozlangan murakkab uskunalar soni, agar bu nosozliklar bir-biridan mustaqil ekanligi ma'lum bo'lsa va o'rtacha vaqt birligida nosozliklar mavjud bo'lsa.Taqsimlash seriyasi quyidagi shaklga ega bo'ladi: Ya'ni, tasodifiy o'zgaruvchining qiymatni qabul qilish ehtimoli Puasson formulasi yordamida hisoblanadi: shuning uchun bu qonun Puasson taqsimot qonuni deb ataladi. Puasson qonuni bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi quyidagi sonli xususiyatlarga ega: Puasson taqsimoti bitta parametrga bog'liq, ya'ni tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi. 14-rasmda parametrning har xil qiymatlari uchun Puasson taqsimot ko'pburchagining umumiy ko'rinishi ko'rsatilgan. Tasodifiy o'zgaruvchining aniq taqsimoti binomial taqsimot bo'lgan taqdirda, sinovlar soni ko'p bo'lgan va individual sinovda voqea sodir bo'lishi ehtimoli kichik bo'lgan hollarda, Puasson taqsimoti taxminiy taqsimot sifatida ishlatilishi mumkin, shuning uchun Puasson taqsimot qonuni nodir hodisalar qonuni deb ataladi. Va shuningdek, agar matematik kutish dispersiyadan ozgina farq qilsa, ya'ni qachon. Shu nuqtai nazardan, Poisson tarqatish juda ko'p turli xil dasturlarga ega. Xulosa.
Shuni ta'kidlash kerakki, ketma-ketlik ehtimoli koeffitsienti kuzatilayotgan ob'ektlarni radar orqali aniqlash muammolarini hal qilishda ishlatilishi mumkin. Bunday holda, qisqartirish protsedurasi kuzatilayotgan dasturga tegishli bo'lishi shubhali bo'lgan ob'ektlar sinflarini ketma-ket chiqarib tashlashga imkon beradi. Axborotni ketma-ket to'plash ob'ektlarni tasniflash natijalarining ishonchliligini oshirishga imkon beradi. Olingan natijalar radar kuzatuvi muammolarini hal qilishda ketma-ket tahlil usullaridan foydalanish maqsadga muvofiqligini ko'rsatmoqda. Foydalangan adabiyotlar
yil. 725. Yüklə 126,95 Kb. Dostları ilə paylaş:
|