Gottfried Wilhelm von Leibnitz (1646-1716) promovisao binarni brojni sistem



Yüklə 453 b.
tarix01.04.2017
ölçüsü453 b.


BROJNI SISTEMI

  •  




Gottfried Wilhelm von Leibnitz (1646-1716)

  • promovisao BINARNI brojni sistem

  • bit (od eng. binary digit)

  • an-1 × 2n-1 + an-2 × 2n-2 + ... + a0 × 20

  • se predstavlja kao

  • an-1 an-2 ... a0



10012 = 1 × 24-1 + 0 × 24-2 + 0 × 24-3 + 1 × 24-4

  • 10012 = 1 × 24-1 + 0 × 24-2 + 0 × 24-3 + 1 × 24-4

  • = 1 × 23 + 1 × 20

  • = 8 + 1 = 910

  •  

  • 11.0112 = 1 × 22-1 + 1 × 22-2 + 0 × 22-3 + 1 × 22-4 + 1 × 22-5

  • = 1 × 21 + 1 × 20 + 0 × 2-1 + 1 × 2-2 + 1 × 2-3

  • = 2 + 1 + 1/4 + 1/8

  • = 3 3/810





PREDSTAVLJANJE NEGATIVNIH BROJEVA

  • predznak i vrijednost,

  • unipolarni kod (excess-N) i

  • komplement kodovi.





Komplement notacije

  • omogućavaju da se sabiranje i oduzimanje, i pozitivnih i negativnih brojeva, pojednostavi i svede na komplementiranje (kada je to potrebno) i sabiranje



  • Za svaku bazu r postoji :

  • r-komplement kod (rkk, komplement baze ili potpuni komplement) i

  • (r-1)-komplement kod ((r-1)kk, komplement maksimalne cifre ili nepotpuni komplement).



  • Po definiciji, za bilo koji broj N, sa bazom r i n cjelobrojnih cifri, njegov r-komplement je:

  • r-k(N) = rn - N za N ≠ 0, i

  • r-k(N) = 0 za N = 0



  • Po definiciji, za bilo koji broj N, sa bazom r, n cjelobrojnih i m decimalnih cifara, njegov (r-1) – komplement je:

  • (r-1)k(N) = rn - r-m - N



  • U opštem slučaju važi:

  • r-k(N) = (r-1)k(N) + r-m

  • za cjelobrojne vrijednosti

  • 10k(N) = 9k(N) + 1

  • 2k(N) = 1k(N) + 1





Oduzimanje brojeva M i N po bazi r pomoću r-komplementa se svodi na sabiranje

  • Oduzimanje brojeva M i N po bazi r pomoću r-komplementa se svodi na sabiranje

  • N - M = M + r-k(N)

  •  

  • Ako u ovoj operaciji postoji prenos, on se zanemaruje, a ako ne postoji, rezultat se komplementira i promjeni mu se predznak. Dokaz:

  • (M + rn - N)  rn za M  N postoji prenos

  • (M + rn - N) < rn za M < N ne postoji prenos



Oduzimanje brojeva M i N po bazi r pomoću (r-1)-komplementa svodi se na sabiranje:

  • Oduzimanje brojeva M i N po bazi r pomoću (r-1)-komplementa svodi se na sabiranje:

  • N - M = N + (r-1)k(M)

  • Ako u ovoj operaciji postojii prenos, dodaje se 1 cifri najniže vrijednosti, a ako ne, odredi se (r-1)-komplement i promjeni predznak





BCD Kodovi



GRAY-EV KOD



BROJEVI SA POMIČNIM ZAREZOM

  • masa elektrona (9 × 10-28 grama)

  • masa Sunca (2 × 1033 grama) – kako predstaviti?

  • U dekadnom brojnom sistemu format broja za pomičnim zarezom je:

  • n = f × 10e

  • gdje je f - frakcija ili mantisa, a e - eksponent.



Opseg / preciznost

  • Opseg vrijednosti koje se mogu predstaviti na ovaj način, je određen brojem cifara u eksponentu, a preciznost brojem cifara u frakciji



  • Neka je :

  • 0.1  |f | < 1 ili 0

  • trocifreni broj sa predznakom,

  • eksponent e - dvocifreni broj sa predznakom. Vrijednost takvog broja se kreće u opsegu

  • +0.100 × 10-99 < n < +0.999 × 10+99





dva osnovna problema:

  • dva osnovna problema:

  • 1. Vrijednosti u područjima 1, 3, 5 i 7 se ne mogu predstaviti sa 3-cifrenom frakcijom i 2-cifrenim eksponentom. Pri tome su greške usljed ulaska u područja 3 i 5 "manje ozbiljne" od onih u području 1 i 7.

  • 2. Između svaka dva realna broja X i Y postoji realan broj Z=(X+Y)/2. Za razliku od kontinualnog niza realnih brojeva, u pomenutom formatu sa pomičnim zarezom se može predstaviti samo 900 × (99 × 2 +1) = 179100 pozitivnih brojeva (0.100 × 10-99 do 0.999 × 1099), isto toliko negativnih i nula, što ukupno čini samo 358201 brojeva od beskonačno mnogo realnih brojeva iz tog opsega.



FP binarno!

  • Binarni broj X se može predstaviti u formatu pomičnog zareza kao:

  • X = F × 2E

  • gdje je frakcija F u opsegu

  • -1 < F < 1

  • predstavljena u 2kk sa decimalnom tačkom desno od najznačajnijeg bita, a eksponent E - cijeli broj sa predznakom.





normalizovana forma



IEEE 754 (1985. god)

  • 1. Format jednostruke preciznosti (32 bita),

  • 2. Format dvostruke preciznosti (64 bita) i

  • 3. Format proširene preciznosti (80 bita)





signifikant umjesto frakcija

  • 1 ≤ s < 2

  • Primjeri:

  • 0.510 = 3F000000

  • 1.010 = 3F800000

  • 1.510 = 3FC00000





Tipovi brojeva prema IEEE 754 standardu



Yüklə 453 b.

Dostları ilə paylaş:




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2020
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə