Graflar ustida amallar. Marshrutlar va zanjirlar

Mavzu: Graflar ustida amallar. Marshrutlar va zanjirlar
Graflar ustida amallar

Graflar ustida turli amallar bajarish mumkin, masalan, graflarni birlashtirish, biriktirish, ko‘paytirish, grafni qismlarga ajratish va hokazo.

Eng sodda amallardan biri sifatida grafdan uchni olib tashlash amalini keltirsa bo‘ladi. Bu amalni qo‘llash berilgan grafning uchlari to‘plamidan birorta element yo‘qotishni (olib tashlashni) anglatadi. Natijada uchlari soni bittaga kamaygan yangi graf hosil bo‘ladi. Albatta, bu amalni uchlari soni ikkitadan kam bo‘lmagan graflar uchun qo‘llash mumkin bo‘lib, uni bajarish jarayonida olib tashlanayotgan uch bilan birgalikda shu uchga insident bo‘lgan barcha qirralar (yoylar) ham olib tashlanadi.
Eng sodda amallar qatoriga grafdan qirrani (yoyni) olib tashlash amalini ham kiritish mumkin. Bu amalga ko‘ra berilgan grafning qirralari (yoylari) to‘plamidan birorta element yo‘qotiladi (olib tashlanadi). Berilgan grafdan qirrani (yoyni) olib tashlayotganda shu qirraga (yoyga) insident uchlarni grafda qoldirish ham yo‘qotish ham mumkin. Bu yerda vaziyatga qarab ish yuritiladi.

G  (V ,U ) va G '  (V ',U ') graflar berilgan bo‘lsin. Agar V  V ' va G grafning barcha qirralari (yoylari) G ' grafning ham qirralari (yoylari), ya’ni U  U ' bo‘lsa, u holda G graf G ' grafning qism grafi deb ataladi

1- misol. 1- shaklda Petersen grafining

qism graflaridan biri tasvirlangan. ■

1-shakl

Agar G graf karrali qirralarga ega bo‘lmasa, u holda uchlari G grafning barcha uchlaridan iborat bo‘lgan shunday yagona G graf mavjudki, G grafdagi barcha juft uchlar faqat va faqat G grafda qo‘shni bo‘lmagandagina qo‘shnidir. Bunday G graf berilgan G grafning to‘ldiruvchi grafi deb ataladi.

Berilgan graf uchun to‘ldiruvchi grafni qurish jarayonini ham graflar ustida bajariladigan amallar qatoriga kiritish mumkin. G graf uchun to‘ldiruvchi grafni qurish amalini qo‘llash natijasida G graf hosil bo‘ladi. Isbotlash mumkinki, G  G munosabat o‘rinlidir.

• 
  misol. 2- shaklda tasvirlangan graf 1- shaklda ifodalangan graf uchun to‘ldiruvchi grafdir. Graflar ustida shunday amallarni bajarish mumkinki, ular elementlari soni berilgan grafdagidan ko‘proq bo‘lgan boshqa graflarning hosil bo‘lishiga olib keladi.
  

• 
  shakl
  

Bunday amallar qatoriga uchni qo‘shish amali yoki qirrani (yoyni) qo‘shish amalini kiritish mumkin.
Grafga yangi uchni qo‘shish turlicha usul bilan amalga oshirilishi mumkin. Masalan, yangi v uchni berilgan grafga qo‘shish shu grafning v1 va v2 uchlariga insident bo‘lgan qandaydir u qirrasiga qo‘shish orqali quyidagicha ikki bosqichda bajarilishi mumkin:

• 
  u qirra berilgan grafdan olib tashlanadi;
  
• 
  hosil bo‘lgan grafga ikkita yangi qirralar: v va v₁ uchlarga insident u₁ qirra hamda v va v₂ uchlarga insident u₂ qirra qo‘shiladi.
  

Bu jarayon grafda qirraga darajasi 2 bo‘lgan yangi uchni qo‘shish (kiritish) yoki qirrani ikkiga bo‘lish amali deb ataladi.

Agar G graf G ' grafdan qirrani ikkiga bo‘lish amalini chekli marta ketma-ket qo‘llash vositasida hosil qilingan bo‘lsa, u holda G graf G ' grafning bo‘linish grafi deb ataladi.

Bo‘linish graflari izomorf bo‘lgan graflar gomeomorf graflar deb ataladi.


3- shakl

• 
  shaklda tasvirlangan graflar izomorf emas, lekin ular gomeomorf, chunki bu graflarning har biri 4- shaklda tasvirlangan bo‘linish grafiga ega.
  

4-shakl

Graflarni birlashtirish




G₁=(V₁,U₁) va G₂=(V_2,U₂) graflar berilgan bo‘lsin. Uchlari to‘plami V  V₁ va qirralari (yoylari) korteji U  U₁ U₂ kabi aniqlangan G  (V ,U ) graf G₁ va G₂ graflarning birlashmasi (uyushmasi) deb ataladi va G = G₁ ko‘rinishda belgilanadi.



3-misol. 5- shaklda uchlari to‘plamlari kesishmaydigan graflarning birlashmasi amali tasvirlangan. ■

K<sub>2 va K3

1 4 4</sub>

^{2 5 5}



5- shakl

• 
  
  
• 
  misol. Uchlari to‘plamlari kesishadigan
  

graflarning birlashmasi amali 6- shaklda tasvirlangan. ■

Agar birlashtirilayotgan graflarning uchlari
to‘plamlari kesishmasa, u holda bu graflarning birlashmasi diz’yunkt
_{1 4 4}

^{2 5 5}

6- shakl

birlashma deb ataladi. Masalan, 5- shaklda tasvirlangan birlashma diz’yunkt, 6- shakldagi birlashma esa – diz’yunkt emas.
Graflarni biriktirish.




G_{1  (V1,U1 )} va G₂  (V_{2 ,U2 )} graflar berilgan bo‘lsin. G₁ va G₂ graflar birlashtirilishi hamda G₁ grafning har bir uchi G₂ grafning har bir uchi bilan qirra vositasida tutashtirilishi natijasida hosil bo‘lgan G  (V ,U ) graf G₁ va G₂ graflarning birikmasi (tutashmasi) deb ataladi va G  G_{1  G2} ko‘rinishda belgilanadi.

• 
  misol. Uchta uy va uchta quduq haqidagi boshqotirma masalaga mos graf uchlari to‘plamlari kesishmaydigan ikkita (O₃ ) nolgraflarning birikmasidir. ■
  

shakl

•