Lagranj teoremasi o`z navbatida quyidagi teoremaning xususiy holi bo`ladi.
Teorema (Koshi teoremasi). Agar [a,b] kesmada f(x) va g(x) berilgan bo`lib,
1) [a,b] da uzluksiz;
) (a,b) intervalda f`(x) va g`(x) mavjud, hamda g`(x)0 bo`lsa, u holda hech bo`lmaganda bitta shunday c (a) nuqta topilib, tenglik o`rinli bo`ladi.
Isbot.
. Ravshanki, (1.4) tenglik ma`noga ega bo`lishi uchun g(b)g(a) bo`lishi kerak. Bu esa teoremadagi g`(x)0, x(a;b) shartdan kelib chiqadi.
Haqiqatdan ham, agar g(a)=g(b) bo`lsa, u holda g(x) funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantirib, biror c(a;b) nuqtada g`(c)=0 bo`lar edi. Bu esa x(a;b) da g`(x)0 shartga ziddir. Demak, g(b)g(a).
Haqiqatdan ham, agar g(a)=g(b) bo`lsa, u holda g(x) funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantirib, biror c(a;b) nuqtada g`(c)=0 bo`lar edi. Bu esa x(a;b) da g`(x)0 shartga ziddir. Demak, g(b)g(a).
Endi yordamchi
funksiyani tuzaylik.
Shartga ko`ra f(x) va g(x) funksiyalar [a,b] da uzluksiz va (a,b) intervalda differensialanuvchi bo`lgani uchun F(x) birinchidan [a,b] kesmada uzluksiz funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida uzluksiz, ikkinchidan (a,b) intervalda hosilaga ega.
Shartga ko`ra f(x) va g(x) funksiyalar [a,b] da uzluksiz va (a,b) intervalda differensialanuvchi bo`lgani uchun F(x) birinchidan [a,b] kesmada uzluksiz funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida uzluksiz, ikkinchidan (a,b) intervalda hosilaga ega.
So`ngra F(x) funksiyaning x=a va x=b nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz: F(a)F(b)0. Demak, F(x) funksiya [a,b] kesmada Roll teoremasiinng barcha shartlarini qanoailantiradi. Shuning uchun hech bo`lmaganda bitta shunday c (a) nuqta topiladiki, F`(c)0 bo`ladi.
So`ngra F(x) funksiyaning x=a va x=b nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz: F(a)F(b)0. Demak, F(x) funksiya [a,b] kesmada Roll teoremasiinng barcha shartlarini qanoailantiradi. Shuning uchun hech bo`lmaganda bitta shunday c (a) nuqta topiladiki, F`(c)0 bo`ladi.
Shunday qilib,
va bundan (1.4) tenglikning o`rinli ekani kelib chiqadi. Isbot tugadi.
