Ikki va uch noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi. Kramer qoidasi



Yüklə 22,69 Kb.
səhifə1/2
tarix22.09.2022
ölçüsü22,69 Kb.
#63959
  1   2
aniqmas integral
aniqmas integral, biznes reja

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini Kramer va Gauss ussullari yordamida yechish.

Reja:


  1. Ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi.

  2. Uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasi.

  3. n noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi.

  4. Gauss usuli
  1. Ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi.


Ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasining

{ 𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦=𝑏1
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦=𝑏2
(1)

yechimini topish uchun determinantlar nazariyasidan foydalanamiz. Bu yerda 𝑥 va 𝑦 noma’lum sonlar, qolgan barcha sonlar esa ma’lum. Noma’lumlar oldidagi ko’paytuvchilar sistema koeffitsientlari, 𝑏1 va 𝑏2 sonlar esa ozod hadlar deb ataladi.

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish, 𝑥 va 𝑦 sonlarning shunday to’plamiki, ularni sistema tenglamalarining o’rniga qo’yilganda ular ayniyatga aylanadi. Bunday sonlar to’plamini sistemaning yechimi deb ataymiz.
Kamida bitta yechimga ega bo’lgan sistema birgalikdagi sistema deyiladi.
Bitta yechimga ega bo’lgan birgalikdagi sistema aniq sistema deyiladi.
Cheksiz ko’p yechimlarga ega bo’lgan birgalikdagi sistema aniqmas sistema deyiladi. Bitta ham yechimga ega bo’lmagan sistema birgalikda bo’lmagan sistema deyiladi.
Sistema koeffitsientlaridan quyidagi ikkinchi tartibli determinantni tuzib, uni ∆ bilan belgilaymiz va sistema

determinant deb ataymiz:
∆=
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22

So’ngra bu determinantda mos ravishda birinchi va ikkinchi ustunlarni ozod hadlar bilan almashtirib, ∆𝑥 , ∆𝑦 bilan belgilanadigan ushbu determinantni tuzamiz:

𝑥=
𝑏1 𝑎12
𝑏2 𝑎22
, ∆𝑦=
𝑎11 𝑏1
𝑎21 𝑏2

Agar ∆≠ 0 bo’lsa, (1) sistemaning yechimi

𝑥 = ∆𝑥

, 𝑦 = 𝑦

(2)

formula yordamida topiladi.
Isbot. (1) Sistema birinchi tenglamasining ikkala qismini (𝑎22) ga, ikkinchisini esa (−𝑎12) ga ko’paytirib va so’ngra olingan tenglamalarni qo’shib, quyidagini olamiz:
(𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12)𝑥 = 𝑏1𝑎22 − 𝑏2𝑎12 (3)
Shunga o’xshash, (1) sistema birinchi tenglamasining ikkala qismini (−𝑎21) ga, ikkinchisini esa (𝑎11) ga ko’paytirib, so’ngra olingan tenglamalarni qo’shib, quyidagini olamiz:
(𝑎11𝑎22 − 𝑎21𝑎12)𝑦 = 𝑎11𝑏2 − 𝑎21𝑏1 (4)

(3) va (4) formulalarda turgan ayirmalar biz yuqorida kiritgan ikkinchi tartibli determinantlardir.

𝑎11
𝑎22
− 𝑎21
𝑎12 =
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
= ∆,


𝑏1𝑎22 − 𝑏2𝑎12 =

𝑏1𝑎21 − 𝑏2𝑎11 =


𝑏1 𝑎12
𝑏2 𝑎22
𝑎11 𝑏1
𝑎21 𝑏2
= ∆𝑥,


= ∆𝑦

Bu belgilashlarda (3) va (4) tenglamalar bunday yoziladi:





{
𝑥 ∙ ∆=∆𝑥
𝑦 ∙ ∆=∆𝑦
(6)

Uch hol bo’lishi mumkin. a) Agar sistema determinanti


∆≠ 0 bo’lsa, u holda (6) formulalardan (1) sistema birgalikda

𝑥 = ∆𝑥

, 𝑦 = 𝑦

(7)

formulalar bilan aniqlanadigan bitta yechimga ega ekanligi kelib chiqadi. (2) formula isbot bo’ldi. (7) qoidaga Kramer qoidasi deyiladi.

  1. Agar sistema determinanti ∆= 0, lekin ∆𝑥 va ∆𝑦 determinantlardan kamida bittasi nolga teng bo’lmasa, u holda (6) formulalardan (1) sistema birgalikda emas, ya’ni bitta ham yechimga ega emasligi kelib chiqadi.

  2. Agar sistema determinanti ∆= 0 va ∆𝑥= 0, ∆𝑦= 0 bo’lsa u holda (6) formuladan (1) sistema aniqmas, ya’ni cheksiz ko’p yechimlarga ega ekani kelib chiqadi.

  1. misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching.


{
3𝑥 − 𝑦=5
𝑥 + 2𝑦=4
Yechish: Determinantni hisoblaymiz:

∆ = 3 −1
1 2
=7, ∆𝑥 =
5 −1
4 2
= 14, ∆ = 3 5 = 7

𝑦
1 4

Kramer qoidasidan foydalanib 𝑥 va 𝑦 ni topamiz:

𝑥 = ∆𝑥

= 14
7
= 2; y = 𝑦

= 7 = 1.
7

  1. misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching.


{
3𝑥 + 𝑦=2
6𝑥 + 2𝑦=3
Yechish. Determinantni hisoblaymiz:

∆ = 3 1
6 2
= 0, ∆ = 2 1

𝑥
3 2
= 1, ∆𝑦 =
3 2 = −3
6 3

Sistema birgalikda emas, yechimlari yo’q.

  1. misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching.


{
3𝑥 − 𝑦=2
6𝑥 − 2𝑦=4.
Yechish. Determinantni hisoblaymiz:

∆ = 3 −1
6 −2
= 0, ∆𝑥 =
2 −1
4 −2
= 0, ∆ = 3 2 = 0

𝑦
6 4

Sistema aniqmas, cheksiz ko’p yechimga ega. Agar ikkinchi tenglamani 2 ga qisqartirsak, sistema ushbu bitta

tenglamaga keladi.
3𝑥 − 𝑦=2.
No‘ma’lum 𝑥 ga ixtiyoriy qiymatlar berib, 𝑦 ning mos qiymatlarini hosil qilish mumkin.
(1) sistemada ozod hadlar nolga teng bo’lsa sistema bir jinsli sistema deyiladi.
{ 𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦=0
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦=0

Bunda ∆𝑥=
0 𝑎12
0 𝑎22
= 0, ∆𝑦=
𝑎 0

11
𝑎21 0 = 0

bo’lganligi uchun bunday sistema ∆≠ 0 bo’lganda aniq yechimga ega yoki ∆= 0 bo’lganda cheksiz ko’p yechimga ega.

  1. Yüklə 22,69 Kb.

    Dostları ilə paylaş:
  1   2




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2022
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə