Joy, oʻrin va logiya

---

Topologiya
Topologiya
(
lotincha
: 
topos
— joy, oʻrin va
...logiya) — 
matematikaning
istalgan
tabiatli obʼyektlar shakli bilan bogʻliq eng
umumiy xossalarni oʻrganuvchi sohasi
hamda shu sohaning eng muhim
tushunchalaridan biri.

---

Geometriyaning
 bir necha ming yillik
tarixiy rivojlanishi davomida koʻplab tayin
chiziklar va sirtlar xossalari oʻrganib
kelingan boʻlsa, 19-asrning soʻnggi
choragida, bir tomondan, B. Riman, S. Li
kabi matematiklar chiziq va sirt
tushunchalarini umumlashtirish natijasida
ancha keng geometrik obraz — qurama
(koʻpxillik ham deyiladi) tushunchasini
kiritdilar; ikkinchi tomondan,
funksiyalarning turli sinflarini oʻrganish
natijasida fransuz matematiklari A. Lebeg
(1875— 1941), E. Borel (18711956) va
boshqa ishlarida analisis situs (oʻrinjoy
tahlili) deb nomlangan yoʻnalish
shakllana boshladi. Xuddi shu davrda
italiyalik matematik E. Betti (1823—98)

---

koʻpyokdilar haqidagi Eyler teoremasini
umumlashtirib, koʻp oʻlchovli
koʻpyoqsimon (hozirgi atamaga koʻra,
chiziqli boʻlakli) quramalarning
murakkablik darajasini belgilovchi
koʻrsatkich — Betti sonlarini kiritdi. Bir oz
keyin J. A. Puankare yana ham
umumiyroq gomologik va fundamental
gruppa tushunchalarini qoʻllash natijasida
T. mat.ning keyingi taraqqiyotida muhim
rol oʻynashini bashorat qildi. 20-asr
boshlarida nemis matematigi F. Xausdorf
(1868—1942) topologik fazo
tushunchasiga taʼrif berdi. Shundan soʻng
T.ning jadal surʼatlar bilan rivojlanish davri
boshlandi. 20-asrning oʻrtalariga kelib T.
algebra bilan bir qatorda butun mat.ning

---

poydevorini tashkil qilishi, mat. sohalari u
yoki bu darajadagi nisbatda olingan
algebra bilan T. tushuncha va
gʻoyalarining sintezidan iborat boʻlishi
eʼtirof etildi.
Agar istalgan tabiatli X toʻplam oʻz
holicha qaralsa, uning elementlari orasida
hech bir munosabat boʻlmaydi. Agar X
toʻplam metrik fazo boʻlsa, u gʻolda
nuqtalar orasida masofani oʻlchash va
shu bilan bogʻliq tushunchalarni oʻrganish
imkoniyati tugʻiladi. Bunga nisbatan
gʻoyat keng tushuncha — nuqtaning
qismtoʻplamga yaqinligi yoki nuqtaning
atrofi tushunchasidir. Mas., matematik
analizning asosiy goyasi —

---

funksiyalarning lokal (yaʼni nuqtaning
atrofidagi tabiati bilangina
belgilanadigan) xossalari va ulardan kelib
chiqadigan natijalarni oʻrganishdan
iborat. Bunda a nuqtaning (a—e,yaQe)
koʻrinishdagi intervallar majmuasi asosiy
rol oʻynaydi. Agar X toʻplamning har bir
nuqtasi uchun quyidagi aksiomalarni
kanoatlantiradigan atroflari majmuasi
koʻrsatilgan boʻlsa, X topologik fazo
boʻladi; 1) har bir nukta oʻzining ixtiyoriy
atrofiga tegishli; 2) agar U nuktaning
atrofi hamda UcW boʻlsa, u holda W ham
shu nuqganing atrofi. Shunday qilib,
topologik fazo — biror yoʻsinda T. bilan
taʼminlangan toʻplamdir. Bunda ana shu
majmualar tizimi X fazoning T.si deyiladi.

---

Mas., X toʻplam [a, ] kesmada aniklangan
uzluksiz funksiyalardan tashkil topgan
boʻlsa, f(x) funksiyaning atrofi qanday
funksiyalardan tuzilishiga qarab xossalari
bir-biridan farq qiladigan topologik
fazolar hosil boʻladi.
Odatda, bir toʻplam bir necha usulda
topologik fazoga aylantirilishi mumkin.
Bunda ularning topologiyalari nuqtalar
atroflari majmualari boyligiga qarab
oʻzaro taqqoslanadi — bir T. ikkinchisiga
nisbatan kuchliroq (boyroq), ikkinchisi
esa kuchsizroqdeb ataladi. Mas., barcha
x nuqta uchun bittagina atrof X ning
oʻzidan iborat boʻlsa, eng kucheiz T.,
aksincha x ni oʻz ichiga oladigan istalgan

---

toʻplam uning atrofi deb eʼlon qilinsa, eng
kuchli (diskret) T. hosil boʻladi.
Shuningdek, T. atroflar oʻrniga ochiq
toʻplamlar, yopiq toʻplamlar, chegara,
yopilma, toʻplamning ochiq yadrosi,
atroflar bazasi kabi xilmaxil usulda
aniqlanishi mumkin — ularning bari oʻzaro
tengkuchlidir. Istalgan toʻplamda turli
usulda xilmaxil T. kiritish mumkinligi T.
mat.ning universal sohasi ekanligidan
dalolat beradi.
T.ning eng muhim tushunchalaridan biri —
bir topologik fazoning ikkinchi topologik
fazoga uzluksizdir. Bunda Gʻning x0
nuqtadagi uzluksizligi shunday
taʼriflanadi: J[x0) ning ixtiyoriy V atrofi

---

uchun xd nuqta f(U)cV shartni
qanoatlantiruvchi U atrofga ega. T.
tatbiqlarida bunga nisbatan teskari
yondashuv ham koʻp qoʻllanadi: agar
f:X>Y akslantirish berilgan boʻlib, X (yoki
Y) topologik fazo boʻlsa, u holda Yda
(moye ravishdan X da) Gʻakslantirish
uzluksiz boʻladigan eng kuchsiz (moye
ravishda eng kuchli) T. kiritish mumkin. Bu
usulni umumlashtirish yoʻli bilan topologik
fazolar va uzluksiz akslantirishlar ustida
qismfazo, Dekart koʻpaytmasi, topologik
fazolarni yelimlash kabi muhim amallar
anikdanadi.
Shunday qilib T. — topologik fazolar,
ularning uzluksiz akslanmalari hamda

---

ular bilan boshqa matematik obʼyektlar
orasidagi munosabatlarni oʻrganuvchi
fandir. Agar A’va K topologik fazolar
oʻrtasida oʻzi ham, teskarisi ham uzluksiz
boʻlgan oʻzaro bir qiymatli akslantirish
oʻrnatish mumkin boʻlsa, X va Y
gomeomorf fazolar deyiladi. Bunday
fazolar T. nuqtai nazaridan bir-biridan
farq qilmaydi — biriga oid xossalar
ikkinchisida ham oʻrinli boʻladi. Shuning
uchun mana shunday, yaʼni gomeomorf
akslantirishda oʻzgarmaydigan xossalar
topologik invariantlar deyiladi. Topologik
fazoning kompaktligi, oʻlchami, tutash
(bogʻlamli) komponentalar soni, bir
nuqtaga yigʻishtirilishi, sirtlarning bir yoki
ikki tomonliligi, uch oʻlchovli fazodagi

---

chizikdarning tugilgan yoki tugilmaganligi
topologik invariant namunalaridir. T.da
invariantlar vositasida murakkab
muammolar hal etiladi.
Topologik fazolar, ularning akslantirishlari
va invariantlarining xilmaxilligi tufayli 20-
asrning 2 yarmidan T. tarmoqlanib
rivojlana boshlagan. Umumiy (nazariy
abstrakt) T.da topologik fazolar
qoʻshimcha aksiomalar bilan oʻrganiladi.
Kombinatorik (chizikliboʻlakli) T.
triangulyatsiyalanadigan fazolarni
tekshiradi. Algebraik T.da topologik
masalalarni algebra masalasiga
keltirishga asoslangan usullar
rivojlantiriladi. Differensial T.da

---

differensial geometriya va T.
chegarasidagi masalalar, maxsusliklar
nazariyasida silliq akslantirishlarning
xususiyatlari, Knazariyada T.ning
differensial operatorlarga tatbiqi
oʻrganiladi. T., shuningdek, nazariy va
kvant mexanikasi, nisbiylik nazariyasi kabi
sohalarda muhim tatbiklarga ega.
Pontryagin L. S, Osnovoʻ
kombinatornoy topologii, M., 1976;
Aleksandrov P. S, Vvedeniye v
topologiyu, M., 1980.
Abdulla Aʼzamov.
Adabiyot

---