Kassini ovali va Bernulli leminskata

---

Kassini ovali va Bernulli leminskata
Reja
1.Kassini ovali va Bernulli leminskata
2.Fokuslari ixtiyoriy miqdorda bo`lgan lemniskata. 
Kassini ovali va Bernulli leminskata.
Kassini ovali - berilgan ikki Ft, Gʻ2 nuqtagacha boʻlgan masofalarning 
koʻpaytmasi MFt-MF2 oʻzgarmas boʻlgan nuqtalarning geometrik oʻrnini 
tasvirlovchi tekis egri chiziq. Bu oʻzgarmas a2, Ft, F2 nuqtalar orasidagi masofa 2 
s deb belgilansa, K.o. ning Dekart koordinatalar tizimidagi tenglamasi (l-2+>>2)2 
— 2s2(x2—u2)= =ya4—s4 koʻrinishida yoziladi. K.o. ning koʻrinishi a bilan s 
orasidagi munosabatga bogʻliq: 1. a>c V2 boʻlsa, K.o. — qavariq chiziq. 2. sboʻlsa, K.o. ikkita alohida ovaldan iborat. Fransuz astronomi J. [[Kassini U nomi 
bilan ataladi (q. [[Kassini).[1]
Tekislikda M nuqtani shunday tafsiflaylikki, bunda M nuqtadan shu tekislikda 
aniqlangan ikkita F
1 
va
F
2 
nuqtalargacha bo`lgan masofalar ko`paytmasi p 
o`zgarmas soni bo`lsin.Bu egri chiziqni qaraymiz.Bunday egri chiziq leminskata 
deyiladi.L emniskata grekcha lenta ma’nosini anglatadi.Agar F
1
F
2
kesmadan 
uzunligi C mavjud bo`1sa, u xolda F
1
F
2
kesmada O markazdan F
1 
va F
2
nuqtagacha 
bo`lgan masofalar ga teng va bu masofalar ko`paytmasi bo`ladi. Berilgan p 
o`zgarmas ko`paytma ga teng deb faraz qilamiz. Ya’ni . U holda O nuqta 
lemniskatada yotadi. Lemniskataning o’zi esa yotuvchi sakkiz raqami ko`rinishiga 
ega bo’ladi. Agar F
1
F
2
kesmani har ikki tarafga lemniskata bilan kesishguncha 
davom ettirsak, u holda ikkita A
1 
va A
2
nuqtalarga ega bo`lamiz. Lemniskata 
orasidagi masofa A
1
A
2 
= 
x
va shu kesmada yotuvchi kesma F
1
F
2 
= 
c
ligi ma’lum . 
Bundan A
2
nuqtadan F
2
nuqtagacha bo’lgan masofa , A
2
nuqtadan F
1
nuqtagacha 
bo’lgan masofa bo’lishini ko`rish qiyin emas. Shuning uchun masofalar 
ko`paytmasi bo`ladi. Lekin bu ko`paytma shartga ko`ra , bundan va munosabatga 

---

kelamiz. Bunday leminskata vat eng yonli giperbola orasida ajoyib bog`lanish 
mavjud . O nuqtadan turli xil to`g`ri chiziq nurlarini o`tkazamiz. Leminskata bilan 
kesishgan nuqtalarini belgilaymiz. Shu narsa ma’lumki OF
2
(yoki OF
1
) nurni 
og`ish burchagi 45 gradusdan kichik va bu nur lemniskataning yana O nuqtasidan 
kesib o`tadi. Agar og`ish burchagi 45
0
yoki 45
0
dan katta bo`lsa, u holda ikkinchi 
kesishish nuqtasi bo`lmaydi. Birinchi gruppa deb biror bir nurni olamiz va bu nur 
M nuqtada lemniskata bilan kesishsin (o dan farqli). Bu nurga O nuqtadan kesma 
yotqizamiz. Agar bu qurishni birinchi gruppa nurlarining har biriga qo`llasak, u 
xolda N nuqtalar lemniskatadagi M nuqtalarga mos keluvchi shunday va 
nuqtalarda bo`lgan fokuslar bilan teng yonli giperbolada joylashadiki, bunda va .
1. Bernulli lemniskatasining dekart va qutb koordinatalr bo`yicha tenglamasi 
tuzilsin.
Y echish. Bernulli lemniskatasi kassini ovalining xususiy holi bo`lib, oval 
tenglamasidan kelib chiqadi.
d(F
1
,M)∙d(F
2
,M)=b
2
(1)
b
=
c
bo`lganda oval Bernulli lenistikaasi deyiladi. Uning tenglamasi formulalar 
yordamida dekart koordinataladan qutb koordinatalarga o`tsak, ( b>c) tenglama 
kelib chiqadi. BO masofa shu bilan birga BM=BM΄ kesma. Ikki fokus bilan 
berilgan lemminiskata. Agar p o`zgarmasko`paytmaning qiymatini ga teng emas 
deb olsak, u xolda lemminiskata o`z ko`rinishini o`zgartiradi.p ko`paytma dan 
kichik bo`lgan xolda lemminiskata ikkita ovaldan tashkil topadi.Ulardan biri o`z 
ichida F
1
nuqtani oladi, ikkinchisi esa F
2
nuqtani o`z ichiga oladi.p ko`paytma dan 
katta, lekin dan kichik bo`lgan xolda lemniskata biskvit ko`rinishi da bo`ladi.
Agar p dan ozgina kam farqlansa, u xolda “siqilgan biskvit” bo`ladi.k
1
k
2
juda qisqa 
bo`lganda egri chiziq “yotuvchi sakkiz” ko`rinishiga yaqin bo`ladi.Agarda p dan 
kam farq qilsa, u xolda biskvit deyarli “siqilishga” ega bo`ladi.Agarda p ga teng 
yoki dan katta bo`lsa ”siqilish umuman yo`qoladi va lemniskata oval shaklida 
bo`ladi.

---