Markaziy limit teorema

Markaziy limit teorema
Juda ko`p hollarda tasodifiy miqdorlar yig`indisining taqsimot qonunini bilish zarur bo`ladi. - o`zaro bog`liq bo`lmagan tasodifiy miqdorlarning yig`indisi ni qaraymiz va har bir tasodifiy miqdor yoki qiymatni mos ravishda va ehtimolliklar bilan qabul qilsin. U holda tasodifiy miqdor binominal qonun bo`yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor bo`lib, uning matematik kutilishi dispersiyasi esa ga teng bo`lib, u qiymatlarni qabul qilishi mumkin va n ortishi bilan tasodifiy miqdorning qabul qiladigan qiymatlari istalgancha katta son bo`lishi mumkin.

Ta`rif. … tasodifiy miqdorlar ketma- ketligi berilgan bo`lsin. Agar shunday sonlar ketma - ketligi mavjud bo`lib, da

munosabat barcha haqiqiy lar uchun bajarilsa, tasodifiy miqdorlar ketma- ketligi uchun markaziy limit teorema o`rinli deyiladi.

Bu holda tasodifiy miqdor da asimptotik normal taqsimlangan deyiladi.

Yuqoridagi ta`rifdan ko`rinadiki Laplasning integral teoremasi

	0	1

tasodifiy miqdorlar ketma- ketligi uchun markaziy limit teorema ekan.

Faraz qilaylik tasodifiy miqdorlar ketma-ketlig bog`lanmagan va bir hil taqsimlangan va ularning matematik kutilma va dispyersiya ga teng bo`lsin.

deb olamiz va quyidagi belgilashlarni kiritamiz:



1- teorema: Yuqorida keltirilgan shartlarni qanoatlantiruvchi tasodifiy miqdorlar ketma- ketligi uchun da

munosabat barcha lar uchun bajariladi.

Isboti: Uzluksiz moslik haqidagi teoremalarga asosan, teoremani isbotlash uchun da tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi ning ga intilishini ko`rsatish yetarli.

tasodifiy miqdorlar o`zaro bog`liq bo`lmaganligi va bir xil taqsimlangani uchun, xarakteristik funksiyaning 2,3–hossalariga asosan





bo`lgani uchun

(1)

tasodifiy miqdorlar chekli dispyersiyaga ega bo`lganligi uchun

bu yerda da

bunga asosan, (2)

(1) ning o`ng tomoni

ko`rinishini oladi.

Ixtiyoriy da da limitga o`tib ga ega bo`lamiz. Teorema isbotlandi.

Bog`liq bo`lmagan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun bo`lsin. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz.

2 – teorema: Ixtiyoriy uchun da (3) bo`lsa, tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun markaziy limit teorema urinli bo`ladi.

(3) shartga Lindeberg sharti deyiladi. Bu shartning bajarilishi ixtiyoriy uchun qo`shiluvchilarning tekis kichikligini ta`minlaydi.

Haqiqatan ham,

bo`lgani uchun

Agar (3) bajarilsa, da oxirgi tengsizlikning o`ng tomoni nolga intiladi.

Endi teoremani isbotlaymiz..

, va

bo`lsin.

tasodifiy miqdorlar ketma- ketligi o`zaro bog`liq bo`lmaganligi uchun

(4)

bo`ladi va teoremani isbotlash uchun (3) sharti bajarilganda

bo`lishligini ko`rsatish yetarli.

Bizga ma`lumki uchun

(5)

va ixtiyoriy uchun

(6)

tengsizligi o`rinli.

Ixtiyoriy va da

(3) shartga asosan da

(7)

(5) va (7) ga asosan barcha va yetarlicha katta lar uchun shartni qanoatlantiruvchi larda

shuning uchun (6) dan

(8)

kelib chiqadi.

(6) ni e`tiborga olsak, (7), (8) ga asosan, da

(8) dagi yig`indini quyidagi tasvirlaymiz:

bu yerda

da ni ko`rsatamiz.

(5) dan

ni tanlash va (3) shartga asosan, da .

Demak, da ya`ni

Teorema isbot bo`ladi.

uchun mavjud bo`lsin va deb olamiz.

3 – teorema (Lyapunov teoremasi). Agar bog`lanmagan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bo`lib, da

(9)

sharti bajarilsa, tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun markaziy limit teorema o`rinli bo`ladi.

(9) shartga Lyapunov sharti deyiladi.

Isboti: Teoremani isbotlash uchun Lyapunov sharti bajarilganda Lindeberg sharti o`rinli bo`lishligini ko`rsatamiz.

bo`lganda tengsizligi bajariladi.

Bundan va (9) shartdan

.

Demak, 3- teoremaning isboti 2- teoremadan kelib chiqadi.