Muayyan kombinatsion identifikatsiyalarni isbotlashda ko'pincha quyidagi qoidalardan biri yoki ikkalasi qo'llaniladi

Muayyan kombinatsion identifikatsiyalarni isbotlashda ko'pincha quyidagi qoidalardan biri yoki ikkalasi qo'llaniladi:

Jamlama qoidasi. Agar A ob'ektni m ta usulda va B ob'ektini boshqa n ta usulda tanlash mumkin bo'lsa, u holda "yoki A yoki B" ni tanlash m + n usulda amalga oshirilishi mumkin.

Mahsulot qoidasi. Agar A ob'ektni m ta usulda tanlash mumkin bo'lsa va bu tanlovlarning har biridan keyin B ob'ektni o'z navbatida n ta usulda tanlash mumkin bo'lsa, u holda bu tartibda "A va B" ni tanlash mn usulda amalga oshirilishi mumkin.

Misollar. Ushbu qoidalarga asoslanib, matematik tahlil jarayonida k-oʻrin almashishlar soni va n ta obʼyektning k-kombinatsiyalari soni uchun formulalar osonlik bilan olingan, yaʼni.

Takroriy n ta ob'ektning k-o'rin almashtirishlar soni teng ekanligini isbotlang

Takroriy n ta ob'ektning k-kombinatsiyalari soni teng ekanligini isbotlang

Yechish (L. Eyler): X={1,2,…n} bo‘lsin va bu n ta sondan takrorlangan k-birikmalarning har qandayini ko‘rib chiqamiz (biz faraz qilamizki, kombinatsiyasida elementlar bo‘lmagan holda yoziladi). kamaytirish tartibi). Tabiiyki, har bir kombinatsiyada cheksiz takrorlash imkoniyati tufayli har qanday qo'shni elementlar bir xil bo'lishi mumkin. Ushbu vaziyatni hisobga olgan holda, biz munosabatlardan foydalangan holda tuzamiz

elementlar ketma-ketligi shuning uchun har qanday ci elementlari uchun di elementlari har doim bir-biridan farq qiladi. dan gacha bo'lgan xaritalash ikki tomonlama ekanligi aniq. Di elementlaridan ketma-ketliklar soni 1 dan n + k-1 gacha bo'lgan elementlardan takrorlanmasdan k-kombinatsiyalar soniga teng, ya'ni. Kombinatsiyalar uchunfunksiyalarni yaratish.

Masalan, etiketli uchta ob'ektni ko'rib chiqing. Biz ishni shakllantiramiz

(1+ t) (1+ t) (1+ t).

Ushbu mahsulotni t kuchiga ko'paytirish va kengaytirish, biz hosil qilamiz

1+( t+(

Yoki

1+а₁t+а₂t²+а₃t³

bu erda a1, a2, a3 uchta o'zgaruvchining elementar simmetrik funksiyalari x1, x2, x3. Bu simmetrik funksiyalar yuqoridagi ifoda bilan aniqlanadi. Ko'rinib turibdiki, har bir am koeffitsientining hadlari soni (m=1,2,3) uchta elementning birikmalari soniga k ga teng. Shuning uchun bunday kombinatsiyalar soni har bir xi ni bittaga tenglashtirish orqali olinadi, ya'ni.