Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir.
Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir.
17 yy.’da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya başlanan olasılık, uygulamalı matematiğin bir dalı olarak gelişim göstermiş ve istatistiksel yorumlamada önemli uygulama alanı bulmuştur.
Örnekler:
Madeni paranın atılması sonucu tura gelme olasılığı,
Bir deste iskambil kağıdından çekilen 2 kağıdın en az birinin papaz olma olasılığı,
Nişanlı olan bir çiftin evlenme olasılığı.???
Olay: Birden fazla basit olayın bir araya gelmesi sonucu oluşur.
Olay: Birden fazla basit olayın bir araya gelmesi sonucu oluşur.
Örnek: hilesiz bir zarın atılması sonucu asal sayı gelmesi,
içinde 5 sarı 7 lacivert bilye bulunan torbadan 2 top çekildiğinde birinin sarı birinin lacivert olması.
Tekrarlanabilir Deney: Sonucu kesin olarak kestirilemeyen bir tek çıktı (şans değişkeni) oluşturan eylem, gözlem ya da süreçtir.
Tekrarlanabilir Deney: Sonucu kesin olarak kestirilemeyen bir tek çıktı (şans değişkeni) oluşturan eylem, gözlem ya da süreçtir.
Örnek: madeni para atılması,
içinde 5 sarı 7 lacivert bilye bulunan torbadan bir top çekilmesi.
Basit Olay: Tek bir deneyde tek bir sonuç olarak gerçekleşen olaylardır.
Örnek: hilesiz bir zarın atılması sonucu 2 gelmesi, bir deste iskambil kağıdından çekilen kağıdın maça as olması.P(A)
Ayrık (bağdaşmaz) olay: Eğer A ve B gibi iki olay aynı anda gerçekleşemiyor ise bu olaylara ayrık(birbirini engelleyen) olaylar denir
Ayrık (bağdaşmaz) olay: Eğer A ve B gibi iki olay aynı anda gerçekleşemiyor ise bu olaylara ayrık(birbirini engelleyen) olaylar denir
Örnek: Madeni para atılması sonucunda yazı veya tura gelmesi ayrık olaylardır.
Bir sınavda geçilir veya kalınır.
1) Tüm basit olayların olasılıkları 0 ile 1 arasındadır.
1) Tüm basit olayların olasılıkları 0 ile 1 arasındadır.
Klasik (A Priori) Olasılık
Klasik (A Priori) Olasılık
Frekans (A Posteriori) Olasılığı
Aksiyom Olasılığı
NOT:Bu sıralama olasılık teorisinin tarihsel gelişimini tanımlamaktadır.
Eğer bir örnek uzayın(S) adet ayrık ve eşit olasılıkla ortaya çıkan basit olaylardan oluşuyor ve örnek uzayındaki basit olaylardan n(A) adedi A olayının özelliğine sahip ise A’nın olasılığı:
Eğer bir örnek uzayın(S) adet ayrık ve eşit olasılıkla ortaya çıkan basit olaylardan oluşuyor ve örnek uzayındaki basit olaylardan n(A) adedi A olayının özelliğine sahip ise A’nın olasılığı:
P(A) = n(A) / n(S) kesri ile elde edilir
n(S): Örnek uzayı eleman sayısı
n(A): Örnek uzayındaki A elemanı sayısı
Klasik olasılık TÜMDENGELİME dayanan çıkarımlar yaparak olasılığı bulur.
Örnek: Bir kapta 5 sarı, 5 lacivert ve 5 adet yeşil bilye bulunmaktadır. Çekilen bir bilyenin sarı olma olasılığı nedir?
Örnek: Bir kapta 5 sarı, 5 lacivert ve 5 adet yeşil bilye bulunmaktadır. Çekilen bir bilyenin sarı olma olasılığı nedir?
A: Çekilen bir bilyenin sarı olması
n(S): Örnek uzayı eleman sayısı = 15
n(A): Örnek uzayındaki A elemanı sayısı = 5
Araştırılan anakütle üzerinde n adet deney uygulanır. Yapılan bu deneylerde ilgilenilen A olayı n(A) defa gözlenmiş ise A olayının göreli frekansı (yaklaşık olasılığı):
Araştırılan anakütle üzerinde n adet deney uygulanır. Yapılan bu deneylerde ilgilenilen A olayı n(A) defa gözlenmiş ise A olayının göreli frekansı (yaklaşık olasılığı):
P(A) = n(A) / n olarak bulunur.
Bir fabrikanın üretmiş olduğu televizyonların hatalı olma olasılığı p nedir?
Bir fabrikanın üretmiş olduğu televizyonların hatalı olma olasılığı p nedir?
Önce örnek uzayı oluşturulur:
S={sağlam,hatalı}
Klasik olasılığa göre (eşit olasılıklı olaylar) p=0.5 olup gerçeği yansıttığı şüphelidir.
Yapılması gereken örneklem alarak
p = n(H) / n
olasılığını hesaplamaktır.
Klasik olasılığın diğer bir ifade ile eşit olasılıklı olayların geçerli olduğu durumlarda:
Klasik olasılığın diğer bir ifade ile eşit olasılıklı olayların geçerli olduğu durumlarda:
Sıraya konulacak n adet nesne olsun ve her biri sadece bir kez kullanılmak üzere kaç farklı sıralama yapılabilir?
Sıraya konulacak n adet nesne olsun ve her biri sadece bir kez kullanılmak üzere kaç farklı sıralama yapılabilir?
............
n nesnenin mümkün sıralamalarının sayısı:
n(n-1)(n-2)...(2)(1)=n! nPn = n!
n tane nesne arasından seçilmiş x tane nesnenin permütasyon sayısı …..olarak ifade edilir.
Toplam n tane nesne arasından x tane nesne seçilir ve bunlar sıraya konulursa ortaya çıkabilecek sıralamaların sayısıdır ve şu şekilde hesaplanır:
Kullanıldığı durumlar
İadesiz örnekleme
Örneğe çıkış sırası önemli
Örnek: 8 atletin katıldığı 100 metre yarışmasında ilk üç dereceye girenler kaç farklı şekilde belirlenir ?
Örnek: 8 atletin katıldığı 100 metre yarışmasında ilk üç dereceye girenler kaç farklı şekilde belirlenir ?
n adet nesne arasından seçilen x tanesinin kombinasyon sayısı ile gösterilir. Sıralama önemli olmaksızın tüm durumların sayısı olarak ifade edilir. Bu sayı şu şekilde hesaplanır:
n adet nesne arasından seçilen x tanesinin kombinasyon sayısı ile gösterilir. Sıralama önemli olmaksızın tüm durumların sayısı olarak ifade edilir. Bu sayı şu şekilde hesaplanır:
Örnek: Beş kişilik bir topluluktan üç kişilik bir komisyon kaç farklı şekilde seçilir ?
Örnek: Beş kişilik bir topluluktan üç kişilik bir komisyon kaç farklı şekilde seçilir ?
Örnek: 10 işletme ve 8 iktisat öğrencisi arasından 5 kişilik bir komisyon oluşturulacaktır. Rasgele bir seçim yapıldığında komisyonda çoğunlukla işletme öğrencisi olma olasılığı nedir?
Örnek: 10 işletme ve 8 iktisat öğrencisi arasından 5 kişilik bir komisyon oluşturulacaktır. Rasgele bir seçim yapıldığında komisyonda çoğunlukla işletme öğrencisi olma olasılığı nedir?
Her birinin sonucunun sonlu sayıda olduğu birden fazla deneyin tüm mümkün sonuçlarını görsel bir şekilde ortaya koymak için kullanılır.
Her birinin sonucunun sonlu sayıda olduğu birden fazla deneyin tüm mümkün sonuçlarını görsel bir şekilde ortaya koymak için kullanılır.
Örnek: Ali ile Can masa tenisi oynamaktadırlar. 3 set kazananın galip geleceği maçın ortaya çıkabilecek tüm mümkün sonuçlarını gösteren ağaç diyagramını oluşturunuz.
Örnek: Ali ile Can masa tenisi oynamaktadırlar. 3 set kazananın galip geleceği maçın ortaya çıkabilecek tüm mümkün sonuçlarını gösteren ağaç diyagramını oluşturunuz.
Örnek: Bir üniversitede okuyan öğrencilerin % 70’i tiyatroya, % 35 ise sinemaya ilgi duymaktadır.
Örnek: Bir üniversitede okuyan öğrencilerin % 70’i tiyatroya, % 35 ise sinemaya ilgi duymaktadır.
a) Bir öğrencinin sinemaya ilgi duyduğu bilindiğinde tiyatroya ilgi duyma olasılığı 0,40 ise her iki aktiviteye birden ilgi duyma olasılığı nedir?
b) Bir öğrencinin tiyatro veya sinemaya ilgi duyma olasılığı nedir?
T:Tiyatroya ilgi duyma S:Sinemaya ilgi duyma P ( T ) = 0,70 P( S ) = 0,35
a) P ( T / S ) = 0,40 P (T ∩ S ) =?
b)
Sonucun bilindiği durumda sebebin hangi olasılıkla hangi olaydan meydana geldiği ile ilgilenir.
Sonucun bilindiği durumda sebebin hangi olasılıkla hangi olaydan meydana geldiği ile ilgilenir.
Ele alınan örnekte depodan rast gele seçilen bir ilacın bozuk çıkması halinde 1.fabrikadan gelmesinin olasılığı araştırıldığında Bayes Teoremine ihtiyaç duyulmaktadır.
Örnek: Bir ilaç üç fabrika tarafından üretilmektedir. 1. Fabrikanın üretimi 2. ve 3. fabrikaların üretiminin 2 katıdır. Ayrıca 1. ve 2. fabrikalar % 2, 3. fabrika % 4 oranında bozuk ilaç üretmektedir. Depodan rasgele seçilen bir ilacın bozuk olduğu bilindiğine göre 1 nci fabrikadan gelmiş olma olasılığı;
Örnek: Bir ilaç üç fabrika tarafından üretilmektedir. 1. Fabrikanın üretimi 2. ve 3. fabrikaların üretiminin 2 katıdır. Ayrıca 1. ve 2. fabrikalar % 2, 3. fabrika % 4 oranında bozuk ilaç üretmektedir. Depodan rasgele seçilen bir ilacın bozuk olduğu bilindiğine göre 1 nci fabrikadan gelmiş olma olasılığı;
A = Seçilen ilacın bozuk olma olasılığı
Bi= Seçilen ilacın i nci fabrikada üretilmesi (0.50)
Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli deneyinin varsayımlarının sağlanması gereklidir.
Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli deneyinin varsayımlarının sağlanması gereklidir.
Bernoulli Deneyinin Varsayımları:
Deneyler aynı koşullarda tekrarlanabilirlik özelliğine sahip olmalıdır.
Deneylerin yalnız iki mümkün sonucu olması gereklidir.
Başarı olasılığı (p), deneyden deneye değişmemelidir. (Başarısızlık olasılığı q = 1-p ile gösterilir)
Denemeler birbirinden bağımsız olmalıdır.
Örnek: Bir deste iskambilden çekilen bir kağıdın as olup olmaması ile ilgileniyor. As gelmesi başarı olarak ifade edildiği durum için olasılık fonksiyonunu oluşturunuz.
Örnek: Bir deste iskambilden çekilen bir kağıdın as olup olmaması ile ilgileniyor. As gelmesi başarı olarak ifade edildiği durum için olasılık fonksiyonunu oluşturunuz.