Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir



Yüklə 0,5 Mb.
tarix13.07.2017
ölçüsü0,5 Mb.



Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir.

  • Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir.

  • 17 yy.’da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya başlanan olasılık, uygulamalı matematiğin bir dalı olarak gelişim göstermiş ve istatistiksel yorumlamada önemli uygulama alanı bulmuştur.

  • Örnekler:

  • Madeni paranın atılması sonucu tura gelme olasılığı,

  • Bir deste iskambil kağıdından çekilen 2 kağıdın en az birinin papaz olma olasılığı,

  • Nişanlı olan bir çiftin evlenme olasılığı.???



Olay: Birden fazla basit olayın bir araya gelmesi sonucu oluşur.

  • Olay: Birden fazla basit olayın bir araya gelmesi sonucu oluşur.

  • Örnek: hilesiz bir zarın atılması sonucu asal sayı gelmesi,

  • içinde 5 sarı 7 lacivert bilye bulunan torbadan 2 top çekildiğinde birinin sarı birinin lacivert olması.





Tekrarlanabilir Deney: Sonucu kesin olarak kestirilemeyen bir tek çıktı (şans değişkeni) oluşturan eylem, gözlem ya da süreçtir.

  • Tekrarlanabilir Deney: Sonucu kesin olarak kestirilemeyen bir tek çıktı (şans değişkeni) oluşturan eylem, gözlem ya da süreçtir.

  • Örnek: madeni para atılması,

  • içinde 5 sarı 7 lacivert bilye bulunan torbadan bir top çekilmesi.

  • Basit Olay: Tek bir deneyde tek bir sonuç olarak gerçekleşen olaylardır.

  • Örnek: hilesiz bir zarın atılması sonucu 2 gelmesi, bir deste iskambil kağıdından çekilen kağıdın maça as olması.P(A)





Ayrık (bağdaşmaz) olay: Eğer A ve B gibi iki olay aynı anda gerçekleşemiyor ise bu olaylara ayrık(birbirini engelleyen) olaylar denir

  • Ayrık (bağdaşmaz) olay: Eğer A ve B gibi iki olay aynı anda gerçekleşemiyor ise bu olaylara ayrık(birbirini engelleyen) olaylar denir

  • Örnek: Madeni para atılması sonucunda yazı veya tura gelmesi ayrık olaylardır.

  • Bir sınavda geçilir veya kalınır.









1) Tüm basit olayların olasılıkları 0 ile 1 arasındadır.

  • 1) Tüm basit olayların olasılıkları 0 ile 1 arasındadır.



Klasik (A Priori) Olasılık

  • Klasik (A Priori) Olasılık

  • Frekans (A Posteriori) Olasılığı

  • Aksiyom Olasılığı

    • NOT:Bu sıralama olasılık teorisinin tarihsel gelişimini tanımlamaktadır.


Eğer bir örnek uzayı n(S) adet ayrık ve eşit olasılıkla ortaya çıkan basit olaylardan oluşuyor ve örnek uzayındaki basit olaylardan n(A) adedi A olayının özelliğine sahip ise A’nın olasılığı:

  • Eğer bir örnek uzayı n(S) adet ayrık ve eşit olasılıkla ortaya çıkan basit olaylardan oluşuyor ve örnek uzayındaki basit olaylardan n(A) adedi A olayının özelliğine sahip ise A’nın olasılığı:

    • P(A) = n(A) / n(S) kesri ile elde edilir
    • n(S): Örnek uzayı eleman sayısı
    • n(A): Örnek uzayındaki A elemanı sayısı
  • Klasik olasılık TÜMDENGELİME dayanan çıkarımlar yaparak olasılığı bulur.



Örnek: Bir kapta 5 sarı, 5 lacivert ve 5 adet yeşil bilye bulunmaktadır. Çekilen bir bilyenin sarı olma olasılığı nedir?

  • Örnek: Bir kapta 5 sarı, 5 lacivert ve 5 adet yeşil bilye bulunmaktadır. Çekilen bir bilyenin sarı olma olasılığı nedir?

  • A: Çekilen bir bilyenin sarı olması

  • n(S): Örnek uzayı eleman sayısı = 15

  • n(A): Örnek uzayındaki A elemanı sayısı = 5



Araştırılan anakütle üzerinde n adet deney uygulanır. Yapılan bu deneylerde ilgilenilen A olayı n(A) defa gözlenmiş ise A olayının göreli frekansı (yaklaşık olasılığı):

  • Araştırılan anakütle üzerinde n adet deney uygulanır. Yapılan bu deneylerde ilgilenilen A olayı n(A) defa gözlenmiş ise A olayının göreli frekansı (yaklaşık olasılığı):

  • P(A) = n(A) / n olarak bulunur.



Bir fabrikanın üretmiş olduğu televizyonların hatalı olma olasılığı p nedir?

  • Bir fabrikanın üretmiş olduğu televizyonların hatalı olma olasılığı p nedir?

  • Önce örnek uzayı oluşturulur:

  • S={sağlam,hatalı}

  • Klasik olasılığa göre (eşit olasılıklı olaylar) p=0.5 olup gerçeği yansıttığı şüphelidir.

  • Yapılması gereken örneklem alarak

  • p = n(H) / n

  • olasılığını hesaplamaktır.





Klasik olasılığın diğer bir ifade ile eşit olasılıklı olayların geçerli olduğu durumlarda:

  • Klasik olasılığın diğer bir ifade ile eşit olasılıklı olayların geçerli olduğu durumlarda:

    • Örnek uzayının eleman sayısı,
    • İlgilenilen olayın eleman sayısının
    • belirlenmesi gereklidir.
    • Kullanılan iki temel prensip;
    • 1) Toplama Yöntemi
    • 2) Çarpma Yöntemi










Örnek uzayı ve olay sayısının büyük olduğu durumlarda kullanılan sayma yöntemleri;

    • Örnek uzayı ve olay sayısının büyük olduğu durumlarda kullanılan sayma yöntemleri;
    • Permütasyon
    • Kombinasyon


Sıraya konulacak n adet nesne olsun ve her biri sadece bir kez kullanılmak üzere kaç farklı sıralama yapılabilir?

  • Sıraya konulacak n adet nesne olsun ve her biri sadece bir kez kullanılmak üzere kaç farklı sıralama yapılabilir?

  • ............

    • n nesnenin mümkün sıralamalarının sayısı:
    • n(n-1)(n-2)...(2)(1)=n! nPn = n!


  • n tane nesne arasından seçilmiş x tane nesnenin permütasyon sayısı …..olarak ifade edilir.

  • Toplam n tane nesne arasından x tane nesne seçilir ve bunlar sıraya konulursa ortaya çıkabilecek sıralamaların sayısıdır ve şu şekilde hesaplanır:

  • Kullanıldığı durumlar

    • İadesiz örnekleme
    • Örneğe çıkış sırası önemli


Örnek: 8 atletin katıldığı 100 metre yarışmasında ilk üç dereceye girenler kaç farklı şekilde belirlenir ?

  • Örnek: 8 atletin katıldığı 100 metre yarışmasında ilk üç dereceye girenler kaç farklı şekilde belirlenir ?



n adet nesne arasından seçilen x tanesinin kombinasyon sayısı ile gösterilir. Sıralama önemli olmaksızın tüm durumların sayısı olarak ifade edilir. Bu sayı şu şekilde hesaplanır:

  • n adet nesne arasından seçilen x tanesinin kombinasyon sayısı ile gösterilir. Sıralama önemli olmaksızın tüm durumların sayısı olarak ifade edilir. Bu sayı şu şekilde hesaplanır:



Örnek: Beş kişilik bir topluluktan üç kişilik bir komisyon kaç farklı şekilde seçilir ?

  • Örnek: Beş kişilik bir topluluktan üç kişilik bir komisyon kaç farklı şekilde seçilir ?



Örnek: 10 işletme ve 8 iktisat öğrencisi arasından 5 kişilik bir komisyon oluşturulacaktır. Rasgele bir seçim yapıldığında komisyonda çoğunlukla işletme öğrencisi olma olasılığı nedir?

  • Örnek: 10 işletme ve 8 iktisat öğrencisi arasından 5 kişilik bir komisyon oluşturulacaktır. Rasgele bir seçim yapıldığında komisyonda çoğunlukla işletme öğrencisi olma olasılığı nedir?

  • 5 işletme 0 iktisat, 4 işletme 1 iktisat, 3 işletme 2 iktisat



Her birinin sonucunun sonlu sayıda olduğu birden fazla deneyin tüm mümkün sonuçlarını görsel bir şekilde ortaya koymak için kullanılır.

  • Her birinin sonucunun sonlu sayıda olduğu birden fazla deneyin tüm mümkün sonuçlarını görsel bir şekilde ortaya koymak için kullanılır.



Örnek: Ali ile Can masa tenisi oynamaktadırlar. 3 set kazananın galip geleceği maçın ortaya çıkabilecek tüm mümkün sonuçlarını gösteren ağaç diyagramını oluşturunuz.

  • Örnek: Ali ile Can masa tenisi oynamaktadırlar. 3 set kazananın galip geleceği maçın ortaya çıkabilecek tüm mümkün sonuçlarını gösteren ağaç diyagramını oluşturunuz.







Örnek: Bir üniversitede okuyan öğrencilerin % 70’i tiyatroya, % 35 ise sinemaya ilgi duymaktadır.

  • Örnek: Bir üniversitede okuyan öğrencilerin % 70’i tiyatroya, % 35 ise sinemaya ilgi duymaktadır.

  • a) Bir öğrencinin sinemaya ilgi duyduğu bilindiğinde tiyatroya ilgi duyma olasılığı 0,40 ise her iki aktiviteye birden ilgi duyma olasılığı nedir?

  • b) Bir öğrencinin tiyatro veya sinemaya ilgi duyma olasılığı nedir?

  • T:Tiyatroya ilgi duyma S:Sinemaya ilgi duyma P ( T ) = 0,70 P( S ) = 0,35

  • a) P ( T / S ) = 0,40 P (T ∩ S ) =?

  • b)



Sonucun bilindiği durumda sebebin hangi olasılıkla hangi olaydan meydana geldiği ile ilgilenir.

  • Sonucun bilindiği durumda sebebin hangi olasılıkla hangi olaydan meydana geldiği ile ilgilenir.

  • Ele alınan örnekte depodan rast gele seçilen bir ilacın bozuk çıkması halinde 1.fabrikadan gelmesinin olasılığı araştırıldığında Bayes Teoremine ihtiyaç duyulmaktadır.



Örnek: Bir ilaç üç fabrika tarafından üretilmektedir. 1. Fabrikanın üretimi 2. ve 3. fabrikaların üretiminin 2 katıdır. Ayrıca 1. ve 2. fabrikalar % 2, 3. fabrika % 4 oranında bozuk ilaç üretmektedir. Depodan rasgele seçilen bir ilacın bozuk olduğu bilindiğine göre 1 nci fabrikadan gelmiş olma olasılığı;

  • Örnek: Bir ilaç üç fabrika tarafından üretilmektedir. 1. Fabrikanın üretimi 2. ve 3. fabrikaların üretiminin 2 katıdır. Ayrıca 1. ve 2. fabrikalar % 2, 3. fabrika % 4 oranında bozuk ilaç üretmektedir. Depodan rasgele seçilen bir ilacın bozuk olduğu bilindiğine göre 1 nci fabrikadan gelmiş olma olasılığı;

  • A = Seçilen ilacın bozuk olma olasılığı

  • Bi= Seçilen ilacın i nci fabrikada üretilmesi (0.50)











Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli deneyinin varsayımlarının sağlanması gereklidir.

  • Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli deneyinin varsayımlarının sağlanması gereklidir.

  • Bernoulli Deneyinin Varsayımları:

  • Deneyler aynı koşullarda tekrarlanabilirlik özelliğine sahip olmalıdır.

  • Deneylerin yalnız iki mümkün sonucu olması gereklidir.

  • Başarı olasılığı (p), deneyden deneye değişmemelidir. (Başarısızlık olasılığı q = 1-p ile gösterilir)

  • Denemeler birbirinden bağımsız olmalıdır.







Örnek: Bir deste iskambilden çekilen bir kağıdın as olup olmaması ile ilgileniyor. As gelmesi başarı olarak ifade edildiği durum için olasılık fonksiyonunu oluşturunuz.

  • Örnek: Bir deste iskambilden çekilen bir kağıdın as olup olmaması ile ilgileniyor. As gelmesi başarı olarak ifade edildiği durum için olasılık fonksiyonunu oluşturunuz.

  • x = 0 (as gelmemesi) x = 1 ( as gelmesi)

  • S = { x / 0,1 }

  • P( X = 0 ) = 48 / 52 P( X = 1 ) = 4 / 52



Birbirinden bağımsız n adet bernoulli deneyinin bir araya gelmesi sonucunda binom deneyi gerçekleşir.

  • Birbirinden bağımsız n adet bernoulli deneyinin bir araya gelmesi sonucunda binom deneyi gerçekleşir.

  • Binom deneyinin gerçekleşmesi için bernoulli deneyinin bütün varsayımlarının sağlanması gereklidir.

  • Binom şans değişkeni x, n adet denemedeki başarı sayısını ifade etmektedir.

  • n denemede en az 0, en fazla n adet başarı gözlenebileceğinden

  • S = { x / 0,1,2,……,n }











Örnek: Bir işletmede üretilen ürünlerin % 6’sının hatalı olduğu bilinmektedir. Rasgele ve iadeli olarak seçilen 5 üründen,

  • Örnek: Bir işletmede üretilen ürünlerin % 6’sının hatalı olduğu bilinmektedir. Rasgele ve iadeli olarak seçilen 5 üründen,

  • 1 tanesinin hatalı olmasının olasılığını,

  • p = 0,06 1- p = 0,94 n = 5

  • P ( X = 1 ) = ?









Bir şehirde bir aylık süre içerisinde meydana gelen hırsızlık olayların sayısı,

  • Bir şehirde bir aylık süre içerisinde meydana gelen hırsızlık olayların sayısı,

  • Bir telefon santraline 1 dk. içerisinde gelen telefon çağrılarının sayısı,

  • Bir kitap içindeki baskı hatalarının sayısı,

  • İstanbul’da 100 m2’ye düşen kişi sayısı,

  • Ege Bölgesinde 3 aylık sürede 4,0 şiddetinden büyük olarak gerçekleşen deprem sayısı.









Örnek: Bir mağazaya Cumartesi günleri 5 dakikada ortalama 4 müşteri gelmektedir. Bir Cumartesi günü bu mağazaya,

  • Örnek: Bir mağazaya Cumartesi günleri 5 dakikada ortalama 4 müşteri gelmektedir. Bir Cumartesi günü bu mağazaya,

  • 5 dakika içinde 1 müşteri gelmesi olasılığını,






Yüklə 0,5 Mb.

Dostları ilə paylaş:




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2020
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə