Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir.

• Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir.

• 17 yy.’da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya başlanan olasılık, uygulamalı matematiğin bir dalı olarak gelişim göstermiş ve istatistiksel yorumlamada önemli uygulama alanı bulmuştur.

• Örnekler:

• Madeni paranın atılması sonucu tura gelme olasılığı,

• Bir deste iskambil kağıdından çekilen 2 kağıdın en az birinin papaz olma olasılığı,

• Nişanlı olan bir çiftin evlenme olasılığı.???

Olay: Birden fazla basit olayın bir araya gelmesi sonucu oluşur.

• Olay: Birden fazla basit olayın bir araya gelmesi sonucu oluşur.

• Örnek: hilesiz bir zarın atılması sonucu asal sayı gelmesi,

• içinde 5 sarı 7 lacivert bilye bulunan torbadan 2 top çekildiğinde birinin sarı birinin lacivert olması.

Tekrarlanabilir Deney: Sonucu kesin olarak kestirilemeyen bir tek çıktı (şans değişkeni) oluşturan eylem, gözlem ya da süreçtir.

• Tekrarlanabilir Deney: Sonucu kesin olarak kestirilemeyen bir tek çıktı (şans değişkeni) oluşturan eylem, gözlem ya da süreçtir.

• Örnek: madeni para atılması,

• içinde 5 sarı 7 lacivert bilye bulunan torbadan bir top çekilmesi.

• Basit Olay: Tek bir deneyde tek bir sonuç olarak gerçekleşen olaylardır.

• Örnek: hilesiz bir zarın atılması sonucu 2 gelmesi, bir deste iskambil kağıdından çekilen kağıdın maça as olması.P(A)

Ayrık (bağdaşmaz) olay: Eğer A ve B gibi iki olay aynı anda gerçekleşemiyor ise bu olaylara ayrık(birbirini engelleyen) olaylar denir

• Ayrık (bağdaşmaz) olay: Eğer A ve B gibi iki olay aynı anda gerçekleşemiyor ise bu olaylara ayrık(birbirini engelleyen) olaylar denir

• Örnek: Madeni para atılması sonucunda yazı veya tura gelmesi ayrık olaylardır.

• Bir sınavda geçilir veya kalınır.

1) Tüm basit olayların olasılıkları 0 ile 1 arasındadır.

• 1) Tüm basit olayların olasılıkları 0 ile 1 arasındadır.

Klasik (A Priori) Olasılık

• Klasik (A Priori) Olasılık

• Frekans (A Posteriori) Olasılığı

• Aksiyom Olasılığı

• NOT:Bu sıralama olasılık teorisinin tarihsel gelişimini tanımlamaktadır.

Eğer bir örnek uzayı n(S) adet ayrık ve eşit olasılıkla ortaya çıkan basit olaylardan oluşuyor ve örnek uzayındaki basit olaylardan n(A) adedi A olayının özelliğine sahip ise A’nın olasılığı:

• Eğer bir örnek uzayı n(S) adet ayrık ve eşit olasılıkla ortaya çıkan basit olaylardan oluşuyor ve örnek uzayındaki basit olaylardan n(A) adedi A olayının özelliğine sahip ise A’nın olasılığı:

• P(A) = n(A) / n(S) kesri ile elde edilir
• n(S): Örnek uzayı eleman sayısı
• n(A): Örnek uzayındaki A elemanı sayısı

• Klasik olasılık TÜMDENGELİME dayanan çıkarımlar yaparak olasılığı bulur.

Örnek: Bir kapta 5 sarı, 5 lacivert ve 5 adet yeşil bilye bulunmaktadır. Çekilen bir bilyenin sarı olma olasılığı nedir?

• Örnek: Bir kapta 5 sarı, 5 lacivert ve 5 adet yeşil bilye bulunmaktadır. Çekilen bir bilyenin sarı olma olasılığı nedir?

• A: Çekilen bir bilyenin sarı olması

• n(S): Örnek uzayı eleman sayısı = 15

• n(A): Örnek uzayındaki A elemanı sayısı = 5

Araştırılan anakütle üzerinde n adet deney uygulanır. Yapılan bu deneylerde ilgilenilen A olayı n(A) defa gözlenmiş ise A olayının göreli frekansı (yaklaşık olasılığı):

• Araştırılan anakütle üzerinde n adet deney uygulanır. Yapılan bu deneylerde ilgilenilen A olayı n(A) defa gözlenmiş ise A olayının göreli frekansı (yaklaşık olasılığı):

• P(A) = n(A) / n olarak bulunur.

Bir fabrikanın üretmiş olduğu televizyonların hatalı olma olasılığı p nedir?

• Bir fabrikanın üretmiş olduğu televizyonların hatalı olma olasılığı p nedir?

• Önce örnek uzayı oluşturulur:

• S={sağlam,hatalı}

• Klasik olasılığa göre (eşit olasılıklı olaylar) p=0.5 olup gerçeği yansıttığı şüphelidir.

• Yapılması gereken örneklem alarak

• p = n(H) / n

• olasılığını hesaplamaktır.

Klasik olasılığın diğer bir ifade ile eşit olasılıklı olayların geçerli olduğu durumlarda:

• Klasik olasılığın diğer bir ifade ile eşit olasılıklı olayların geçerli olduğu durumlarda:

• Örnek uzayının eleman sayısı,
• İlgilenilen olayın eleman sayısının
• belirlenmesi gereklidir.
• Kullanılan iki temel prensip;
• 1) Toplama Yöntemi
• 2) Çarpma Yöntemi

Örnek uzayı ve olay sayısının büyük olduğu durumlarda kullanılan sayma yöntemleri;

• Örnek uzayı ve olay sayısının büyük olduğu durumlarda kullanılan sayma yöntemleri;
• Permütasyon
• Kombinasyon

Sıraya konulacak n adet nesne olsun ve her biri sadece bir kez kullanılmak üzere kaç farklı sıralama yapılabilir?

• Sıraya konulacak n adet nesne olsun ve her biri sadece bir kez kullanılmak üzere kaç farklı sıralama yapılabilir?

• ............

• n nesnenin mümkün sıralamalarının sayısı:
• n(n-1)(n-2)...(2)(1)=n! nPn = n!

• n tane nesne arasından seçilmiş x tane nesnenin permütasyon sayısı …..olarak ifade edilir.

• Toplam n tane nesne arasından x tane nesne seçilir ve bunlar sıraya konulursa ortaya çıkabilecek sıralamaların sayısıdır ve şu şekilde hesaplanır:

• Kullanıldığı durumlar

• İadesiz örnekleme
• Örneğe çıkış sırası önemli

Örnek: 8 atletin katıldığı 100 metre yarışmasında ilk üç dereceye girenler kaç farklı şekilde belirlenir ?

• Örnek: 8 atletin katıldığı 100 metre yarışmasında ilk üç dereceye girenler kaç farklı şekilde belirlenir ?

n adet nesne arasından seçilen x tanesinin kombinasyon sayısı ile gösterilir. Sıralama önemli olmaksızın tüm durumların sayısı olarak ifade edilir. Bu sayı şu şekilde hesaplanır:

• n adet nesne arasından seçilen x tanesinin kombinasyon sayısı ile gösterilir. Sıralama önemli olmaksızın tüm durumların sayısı olarak ifade edilir. Bu sayı şu şekilde hesaplanır:

Örnek: Beş kişilik bir topluluktan üç kişilik bir komisyon kaç farklı şekilde seçilir ?

• Örnek: Beş kişilik bir topluluktan üç kişilik bir komisyon kaç farklı şekilde seçilir ?

Örnek: 10 işletme ve 8 iktisat öğrencisi arasından 5 kişilik bir komisyon oluşturulacaktır. Rasgele bir seçim yapıldığında komisyonda çoğunlukla işletme öğrencisi olma olasılığı nedir?

• Örnek: 10 işletme ve 8 iktisat öğrencisi arasından 5 kişilik bir komisyon oluşturulacaktır. Rasgele bir seçim yapıldığında komisyonda çoğunlukla işletme öğrencisi olma olasılığı nedir?

• 5 işletme 0 iktisat, 4 işletme 1 iktisat, 3 işletme 2 iktisat

Her birinin sonucunun sonlu sayıda olduğu birden fazla deneyin tüm mümkün sonuçlarını görsel bir şekilde ortaya koymak için kullanılır.

• Her birinin sonucunun sonlu sayıda olduğu birden fazla deneyin tüm mümkün sonuçlarını görsel bir şekilde ortaya koymak için kullanılır.

Örnek: Ali ile Can masa tenisi oynamaktadırlar. 3 set kazananın galip geleceği maçın ortaya çıkabilecek tüm mümkün sonuçlarını gösteren ağaç diyagramını oluşturunuz.

• Örnek: Ali ile Can masa tenisi oynamaktadırlar. 3 set kazananın galip geleceği maçın ortaya çıkabilecek tüm mümkün sonuçlarını gösteren ağaç diyagramını oluşturunuz.

Örnek: Bir üniversitede okuyan öğrencilerin % 70’i tiyatroya, % 35 ise sinemaya ilgi duymaktadır.

• Örnek: Bir üniversitede okuyan öğrencilerin % 70’i tiyatroya, % 35 ise sinemaya ilgi duymaktadır.

• a) Bir öğrencinin sinemaya ilgi duyduğu bilindiğinde tiyatroya ilgi duyma olasılığı 0,40 ise her iki aktiviteye birden ilgi duyma olasılığı nedir?

• b) Bir öğrencinin tiyatro veya sinemaya ilgi duyma olasılığı nedir?

• T:Tiyatroya ilgi duyma S:Sinemaya ilgi duyma P ( T ) = 0,70 P( S ) = 0,35

• a) P ( T / S ) = 0,40 P (T ∩ S ) =?

• b)

Sonucun bilindiği durumda sebebin hangi olasılıkla hangi olaydan meydana geldiği ile ilgilenir.

• Sonucun bilindiği durumda sebebin hangi olasılıkla hangi olaydan meydana geldiği ile ilgilenir.

• Ele alınan örnekte depodan rast gele seçilen bir ilacın bozuk çıkması halinde 1.fabrikadan gelmesinin olasılığı araştırıldığında Bayes Teoremine ihtiyaç duyulmaktadır.

Örnek: Bir ilaç üç fabrika tarafından üretilmektedir. 1. Fabrikanın üretimi 2. ve 3. fabrikaların üretiminin 2 katıdır. Ayrıca 1. ve 2. fabrikalar % 2, 3. fabrika % 4 oranında bozuk ilaç üretmektedir. Depodan rasgele seçilen bir ilacın bozuk olduğu bilindiğine göre 1 nci fabrikadan gelmiş olma olasılığı;

• Örnek: Bir ilaç üç fabrika tarafından üretilmektedir. 1. Fabrikanın üretimi 2. ve 3. fabrikaların üretiminin 2 katıdır. Ayrıca 1. ve 2. fabrikalar % 2, 3. fabrika % 4 oranında bozuk ilaç üretmektedir. Depodan rasgele seçilen bir ilacın bozuk olduğu bilindiğine göre 1 nci fabrikadan gelmiş olma olasılığı;

• A = Seçilen ilacın bozuk olma olasılığı

• Bi= Seçilen ilacın i nci fabrikada üretilmesi (0.50)

Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli deneyinin varsayımlarının sağlanması gereklidir.

• Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli deneyinin varsayımlarının sağlanması gereklidir.

• Bernoulli Deneyinin Varsayımları:

• Deneyler aynı koşullarda tekrarlanabilirlik özelliğine sahip olmalıdır.

• Deneylerin yalnız iki mümkün sonucu olması gereklidir.

• Başarı olasılığı (p), deneyden deneye değişmemelidir. (Başarısızlık olasılığı q = 1-p ile gösterilir)

• Denemeler birbirinden bağımsız olmalıdır.

Örnek: Bir deste iskambilden çekilen bir kağıdın as olup olmaması ile ilgileniyor. As gelmesi başarı olarak ifade edildiği durum için olasılık fonksiyonunu oluşturunuz.

• Örnek: Bir deste iskambilden çekilen bir kağıdın as olup olmaması ile ilgileniyor. As gelmesi başarı olarak ifade edildiği durum için olasılık fonksiyonunu oluşturunuz.

• x = 0 (as gelmemesi) x = 1 ( as gelmesi)

• S = { x / 0,1 }

• P( X = 0 ) = 48 / 52 P( X = 1 ) = 4 / 52

Birbirinden bağımsız n adet bernoulli deneyinin bir araya gelmesi sonucunda binom deneyi gerçekleşir.

• Birbirinden bağımsız n adet bernoulli deneyinin bir araya gelmesi sonucunda binom deneyi gerçekleşir.

• Binom deneyinin gerçekleşmesi için bernoulli deneyinin bütün varsayımlarının sağlanması gereklidir.

• Binom şans değişkeni x, n adet denemedeki başarı sayısını ifade etmektedir.

• n denemede en az 0, en fazla n adet başarı gözlenebileceğinden

• S = { x / 0,1,2,……,n }

Örnek: Bir işletmede üretilen ürünlerin % 6’sının hatalı olduğu bilinmektedir. Rasgele ve iadeli olarak seçilen 5 üründen,

• Örnek: Bir işletmede üretilen ürünlerin % 6’sının hatalı olduğu bilinmektedir. Rasgele ve iadeli olarak seçilen 5 üründen,

• 1 tanesinin hatalı olmasının olasılığını,

• p = 0,06 1- p = 0,94 n = 5

• P ( X = 1 ) = ?

Bir şehirde bir aylık süre içerisinde meydana gelen hırsızlık olayların sayısı,

• Bir şehirde bir aylık süre içerisinde meydana gelen hırsızlık olayların sayısı,

• Bir telefon santraline 1 dk. içerisinde gelen telefon çağrılarının sayısı,

• Bir kitap içindeki baskı hatalarının sayısı,

• İstanbul’da 100 m2’ye düşen kişi sayısı,

• Ege Bölgesinde 3 aylık sürede 4,0 şiddetinden büyük olarak gerçekleşen deprem sayısı.

Örnek: Bir mağazaya Cumartesi günleri 5 dakikada ortalama 4 müşteri gelmektedir. Bir Cumartesi günü bu mağazaya,

• Örnek: Bir mağazaya Cumartesi günleri 5 dakikada ortalama 4 müşteri gelmektedir. Bir Cumartesi günü bu mağazaya,

• 5 dakika içinde 1 müşteri gelmesi olasılığını,

Kataloq: userweb -> hamdi.emec
userweb -> Sermaye( kaynak) maliyeti
userweb -> Is Economy Enough in Examining Environment? Kıvanç DÜZ
userweb -> Aynı tipten bir grup verinin aynı değişken isminde bulunmasıdır. Aynı tipten bir grup verinin aynı değişken isminde bulunmasıdır
hamdi.emec -> İki farklı anakütleyi birbirinden ayırmak için her zaman yalnızca yer ölçüleri yeterli olmayabilir