Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi manfiy emasligini isbotlash uchun o'rtacha qiymatdan kvadrat og'ishning kutilishi sifatida aniqlangan dispersiya har doim noldan katta yoki teng ekanligini ko'rsatishimiz kerak.
Tasodifiy miqdorni X, o‘rtacha qiymatini m deb belgilaymiz.
Var(X) bilan belgilangan X ning dispersiyasi quyidagicha ifodalanadi:
Var(X) = E[(X - m)^2]
Kvadratni kengaytirib, kutishning chiziqliligidan foydalanib, bizda:
Var(X) = E[X^2 - 2mX + m^2]
m doimiy bo'lgani uchun biz buni quyidagicha qayta yozishimiz mumkin:
Var(X) = E[X^2] - 2mE[X] + m^2
Keling, birinchi E[X^2] hadini ko'rib chiqaylik. Bu X tasodifiy o'zgaruvchining kvadratini kutishdir.
X^2 har doim salbiy bo'lmaganligi sababli, uning kutilishi E[X^2] ham salbiy bo'lmasligi kerak.
Keyinchalik, ikkinchi atama -2mE[X] ni ko'rib chiqamiz. m doimiy bo'lgani uchun -2m ham doimiydir.
E[X] - X ning kutilishi, bu shunchaki o'rtacha m.
Konstantani o'rtachaga ko'paytirish uning belgisiga ta'sir qilmaydi. Shuning uchun -2mE[X] ham manfiy emas.
Nihoyat, oxirgi had m ^ 2 doimiyning kvadratidir va har doim manfiy emas.
Shunday qilib, barchasini birlashtirib, bizda:
Var(X) = E[X^2] - 2mE[X] + m^2
Bu ifodadagi har bir atama manfiy emasligi sababli, Var(X) manfiy emas.
Demak, biz tasodifiy miqdorning dispersiyasi manfiy emasligini isbotladik.
