O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus

MAVZU: Mashxur qadimiy masalalar


REJA:
1. Gilbert maslalari.


2. Qadimiy masalalar haqida ma’lumot.


3. Mashxur qadimiy masalalar

Gilbert maslalari.
o‘tkir matematiklar uchun murakkab muammolar.
Olmon matematigi David Gilbert tomonidan 1900-yilda e'lon qilingan 23 ta murakkab matematik masaladan iborat ro‘yxat, XX-asr matematiklarining bir necha avlodi uchun ilmiy faoliyatdagi eng oliy maqsad o‘laroq gavdalangandi.
1900-yilning 8-avgust sanasida Butunjahon matematiklarining II-xalqaro kongressida olmon matematik olimi David Gilbert (1862-1943) «Matematika muammolari» deb nomlanuvchi tarixiy ma'ruzasini o‘qib eshittirdi. Mazkur ma'ruzada 23 ta murakkab matematika masalalar ro‘yxat tariqasida beyon qilingan bo‘lib, ma'ruzachining ta'rifiga ko‘ra, matematika fanining keyingi taraqqiyoti ko‘p jihatdan ushbu masalalarning yechilishi bilan uzviy bog‘liq bo‘lishi taxmin qilingan. Gilbert haq bo‘lib chiqdi. U o‘sha kongressda bayon qilgan ro‘yxatdagi murakkab matematik masalalarning yechimiga keyingi bir necha avlod matematiklar uchun eng oliy ilmiy maqsadga aylandi. Hozirda Gilbert masalalarining aksariyati o‘z yechimini topgan, lekin ular ichida hanuz olimlarga tinchlik bermayotganlari ham bor.
Gilbertning o‘sha mashhur ma'ruzasidan uch yilcha avvalroq boshqa bir nufuzli olim Anri Puankare (1854-1912) Syurix kongressi uchun shunga o‘xshash ma'ruza tayyorlagandi. o‘z ma'ruzasida Puankare matematik analiz va matematik fizika orasidagi o‘zaro uzviylik masalalariga e'tibor qaratgan bo‘lib, ularning hal etilishi ya'ni, isbotlanishi matematika va fizikaning keyingi rivoji uchun ulkan qadam bo‘lishini ta'kidlagan.
Parij kongressi uchun Gilbertga shunga o‘xshash ma'ruza qilish taklifi bilan chiqishganida, olim bu fikrni Puankarega nisbatan behurmatlik bo‘lishini aytib rad etgan edi. Lekin, Gilbertning do‘sti va salohiyatda undan kam bo‘lmagan boshqa bir matematik olim German Minkovskiy, uni bu borada umuman boshqacha yo‘l tutish mumkinligiga ishontirdi. Uning maslahatiga ko‘ra, Gilbert o‘z ma'ruzasida o‘sha davrning eng murakkab masalalari sifatida qaralayotgan, hamda, yaqin kelajak matematiklari hal etishi (isbotlashi) lozim deb qaralgan muammolarni o‘rtaga tashlashi kerak edi. Shunday qilib, Minkovskiyning maslahati bilan, Gilbert mana yaqin 100 yildan ziyod vaqtdan buyon dunyo matematiklarini aqlini shoshirib kelayotgan 23 ta muhim va murakkab matematik masalalar ro‘yxatini e'lon qildi.

David Gilbert (chapda) va German Minkovskiy (o'ngda) - XX asrning eng buyuk matematiklari sirasiga kirishgan

Gilbert o‘z maruzasida matematikaning keyingi taraqqiyoti uchun eng muhim deb hisoblagan bo‘limlariga katta e'tibor qaratgan. Masalalarni saralashda eng birinchi mezon, qo‘yilgan muammoning murkkabligi professional matematiklarning diqqatini torta oladigan darajada yetarlicha qiyin bo‘lishi, shu bilan birga u albatta yechimga ega bo‘lishi lozim edi. Shuningdek ikkinchidan, Gilbert iddaosiga ko‘ra, mazkur masalalarning bayoni, ya'ni, sharti «birinchi duch kelgan odamga ham tushuntirsa bo‘ladigan darajada ravon bo‘lishi» kerak edi.
Gilbertning birinchi muddaosi o‘zi istaganidek amalga oshdi. Ikkinchisi esa faqat rasmiy bir mulohaza o‘laroq qolib ketdi. Zero nafaqat Gilbertning o‘sha mushkul matematik muammolarini, balki, o‘rtacha murakkablikdagi har qanday matematik masalani ham, birinchi duch kelganga tushuntirsa bo‘ladigan sodda va ravon bayon qila bilish uchun, o‘sha birinchi duch keluvchini Gyottingen yoki, Prinston kabi oliy matematika institutlari yo‘laklarida poylash kerak
Ma'ruzaning o‘zida vaqt tig‘izligi sababli Gilbert faqat 10 ta masala bayoniga to‘xtalgan xolos. Lekin u yuqorida ham aytilganidek, aslida 23 ta muammodan iborat bo‘lgan. Ushbu muammolarni shartli ravishda to‘rtta kichik guruhlarga ajratish mumkin. Birinchi guruhga matematika asoslariga taaluqli bo‘lgan masalalar tegishl bo‘lib, 1-6 masalalarni o‘z ichiga oladi. ikkinchi guruh 7-12 raqamli masalalardan iborat bo‘lib, sonlar nazariyasiga taaluqli masalalardan iborat bo‘lgan. 13-17 raqamli masalalarni o‘z ichiga olgan uchinchi guruhda, Gilbertning ta'biri bilan aytganda sof matematika'ga taaluqli bo‘lgan, ya'ni, algebra va funksiyalar nazariyasini qamrab oluvchi muammolar bayon etilgan. 19-23 raqamli masalalardan iborat to‘rtinchi guruhda esa mohiyatan matematik analizga tegishli muammolar o‘rtaga tashlangan. Ular bilan quyidagi jadvalda tanishishingiz mumkin.
Adolat yuzasidan aytish joizki, ushbu masalalarning aksariyati mohiyatan faqat matematik masalagina bo‘lib qolmay, balki, butun boshli yangi bir nazariyani shakllantiruvchi gipotezalarning markaziy muammosi sanaladi. Ularning aksariyatining yechishga bo‘lgan urinishlar, keyinchalik katta ilmiy gipotezalarga aylanib ketgan va butun boshla matematika olaida yangi yo‘nalishlar ochilishiga sabab bo‘lgan. Bu jihatdan ham Gilbert matematiklar oldiga qo‘ygan maqsadga erishildi desak mubolag‘a bo‘lmaydi. Vaqt o‘tishi bilan, Gilbert ro‘yxatidagi 6-, 8- va 12-raqamli masalalardan tashqari qolgan barcha 20 ta masala o‘z yechimi yoki, isbotini topdi.
Gilbert masalalarining shartini bayon qilishda ba'zi xilma-xilliklar mavjud. Buning sababi esa, so‘nggi yillarda matematika fanining taraqqiyoti aql bovar qilmas darajada keskin ilg‘orlikka erishgani bilan izohlanadi. Bu haqida Gilbert orzu ham qilmagan bo‘lsa kerak. Jadvalda ham ko‘rganingizdek, uning masalalari ilmiy va texnik atamalar bilan liq to‘la bo‘lgan o‘ta murakkab matematika masalalardan iborat bo‘lgan. Jadvalda, allaqachon yechilgan va hamon o‘z yechimini kutayotgan masalalar alohida rang bilan ajratib ko‘rsatilgan. Keling ulardan ayrimlarining tafsilotlariga qisqacha to‘xtalib o‘tsak:
Adolat yuzasidan aytish joizki, ushbu masalalarning aksariyati mohiyatan faqat matematik masalagina bo‘lib qolmay, balki, butun boshli yangi bir nazariyani shakllantiruvchi gipotezalarning markaziy muammosi sanaladi. Ularning aksariyatining yechishga bo‘lgan urinishlar, keyinchalik katta ilmiy gipotezalarga aylanib ketgan va butun boshla matematika olaida yangi yo‘nalishlar ochilishiga sabab bo‘lgan. Bu jihatdan ham Gilbert matematiklar oldiga qo‘ygan maqsadga erishildi desak mubolag‘a bo‘lmaydi. Vaqt o‘tishi bilan, Gilbert ro‘yxatidagi 6-, 8- va 12-raqamli masalalardan tashqari qolgan barcha 20 ta masala o‘z yechimi yoki, isbotini topdi.
Gilbert masalalarining shartini bayon qilishda ba'zi xilma-xilliklar mavjud. Buning sababi esa, so‘nggi yillarda matematika fanining taraqqiyoti aql bovar qilmas darajada keskin ilg‘orlikka erishgani bilan izohlanadi. Bu haqida Gilbert orzu ham qilmagan bo‘lsa kerak. Jadvalda ham ko‘rganingizdek, uning masalalari ilmiy va texnik atamalar bilan liq to‘la bo‘lgan o‘ta murakkab matematika masalalardan iborat bo‘lgan. Jadvalda, allaqachon yechilgan va hamon o‘z yechimini kutayotgan masalalar alohida rang bilan ajratib ko‘rsatilgan. Keling ulardan ayrimlarining tafsilotlariga qisqacha to‘xtalib o‘tsak:
Awalo, matematika tarixi matematik fanlar jumlasiga kirishirii e’tirof etish joiz. Ma’lumki, matematik fanlaming sohalari turh-tuman bo‘lishiga qaramay, ular umumiylik belgisi ostida bitta predmetga birlashtirilgan. Bu umumiylik belgisini quyidagi matematikaga berilgan ta’rifidan yaqqol ko‘rish mumkin. «Matematika-haqiqiy borliqning miqdoriy munosabatlari va fazoviy formalaridir». Matematikaning turli sohalari mana shu miqdoriy munosabatlar va fazoviy formalaming ayrim xususiy hollari bilan ish ko‘radi. Matematika predmetining tarkibi quyidagilardan iborat: 1. Matematika rivojlanishi jarayonida yig‘ilgan faktlar. 2. Gipotezalar, ya’ni ilmiy farazga asoslangan, keyinchalik tajribada sinab ko‘riladigan faktlar. 3. Umumiylashtirilgan va o‘z asosini topgan materiallar, ya’ni matematik nazariya va qonun-qoidalar. 4. Matematika metodologiyasi-matematika predmetini o'rganishga yondashishni xarakterlovchi matematik qonunlar va nazariyalami tushuntirishning umumiy usuli. Matematika predmetining sanab o‘tilgan elementlari o'zaro bog‘liq va rivojlanishda. Biror aniq davrda shu rivojlanish qanday ro‘y bergan, keyinchalik bu rivojlanish qanday tus oladi, shulami o‘rganish, natijada ulaming sabablarini ochib berish matematika tarixi predmeti zimmasiga yuklatiladi. Demak, matematika tarixi matematika rivojlanishining obyektiv qonunlari haqidagi fan ekan. Shu sababli ham matematika tarixi juda katta masalalami hal etishiga to‘g‘ri keladi. Bu vazifalar ro‘yxatini keltirish ancha mushkul ish, ammo bo‘lajak matematika o‘qituvchilari matematika tarixidan nimalami bilishlari zarur ekanini sanab ko‘rsatish mumkin. Birinchidan, bo‘lajak matematika o‘qituvchisi matematikaning rivojlanish bosqichlarini, matematik tushunchalar qadim-qadim zamonlarda qanday shakllanganini biiish, ikkinchidan, fan sifatidagi matematika qanday yo‘llar bilan shakllanganligini biiish, uchinchidan, tan sifatidagi va o'quv predmeti sifatidagi geometriyaning rivojlanish tarixi bilan tanish bo‘lish, to 'rtinchidan, trigonometriya tarixini biiish, beshinchidan, algebraning vujudga kelishi, rivojlanishi, hozirgi kundagi ahvoli bilan tanish bo'lish, oltinchidan, matematik tahlil predmeti, uning boshlang‘ich tarixini biiish zarur. Bundan tashqari, matematika tarixini o‘rganishda hozirgi zamon mantiqiy strukturalaming tarixiy xarakteri, ulaming rivojlanish di- alektikasi sistemali o‘rganilishi kerak, bu esa matematika sohalarinmg nisbati va ular rivojlanishining istiqbolini bilib olishga yordam beradi. Matematika tarixi predmeti ko‘p sondagi boshqa fanlar va ulaming tarixi bilan bog‘liq, bu esa uning muammolari doirasini yanada kengaytiradi va tarixiy-matematik tekshirish metodlari rolini orttiradi. Matematika rivojlanishining asosiy davrlari Ko‘pchilik matematika tarixchilari matematika rivojlanishining A.N.Kolmogorov tomonidan tavsiya qilingan davrlashtirishni ma’qul ko‘radilar. Buning asosiy sababi, Kolmogorovning davrlashida matematikaning muhim metodlari, g‘oyalari va natijalari, ya’ni matematikaning mazmunini baholash asosi qilib olingan. Matematika rivojlanishini bunday maxsus davrlarga bo‘lish matematika tarixini mohiyatini butunlay hal qilib bermaydi, balki matematika rivojlanishining obyektiv qonunlarini yaxshiroq tushunish uchun qo‘shimcha bir vosita bo'ladi. Uning fikricha matematika rivojlanishini quyidagi to‘rt davrga bo‘lish maqsadga muvoliqdir: 1.Matematikaning vujudga kelishi. Bu davr eradan oldingi VIY asrlargacha davom etgan, ya’ni bu davrda matematika o‘zining predmeti va metodlariga ega bo‘lgan mustaqil fanga aylangan. Davming boshi eng qadimgi davr-ibtidoiy jamoa tuzumiga borib taqaladi. Bu davming xarakterli tomoni-matematik faktlaming yig‘ihshidan iborat. 2.Elementar matematika davri (CTzgarmas miqdorlar matematikasi davri). U er.avv. VI-V asrlardan XVII asrgacha davom etgan. Bu davrda o‘zgarmas miqdorlami o‘rganish sohasida katta yutuqlarga erishildi. Bu yutuqlar haqida hozirgi kunda o‘rta maktablarda o‘qitiladigan matematika kurslari ba’zi tasawurlami berish mumkin. Bunda o‘zbek olimi Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy (780-850 yy.) tomonidan algebra fanining yaratilishi, R.Dekart tomonidan analitik geometriyaning yaratilishi, cheksiz kichik miqdorlaming rivojlana boshlashini eslash lozim. Umuman olganda, elementar matematika tushunchasiga ta5 rif berish qiyin, uning aniq bir ta’rifi ham yo‘q, ammo matematika tarixida mana shunday davmi farqlash to‘g‘ri va u tarixni o‘rganishni qulaylashtiradi. 3.Q‘zgaruvchi miqdorlar matematikasi davri. Bu davr R.Dekart (1596-1650) tomonidan analitik geometriyaning uzul-kesil 5 yaratilishi, I.Nyuton (1642-1727) va Leybnis (1646-1716) lar tomonidan differensial va integral hisobning vujudga kelishi bilan boshlanadi. Davrini oxiri XIX asming yarmigacha boradi. Bu davrda matematika hozirgi zamon ko‘ri-nishiga keldi. Xuddi shu davrda klassik matematika deb ataluvchi matematikaning hamma ilmiy asoslari hosil bo‘ladi. 4.Hozirgi zamon matematikasi davri. U XIX asming o‘rtalaridan boshlanadi. Bu davr matematik abstraksiya rolining ortishi, matematikada matematik modellash keng ko‘lamda qo‘llanilishi bilan xarakterlanadi. Mana shu davrda klassik matematika deb ataladigan matematika o‘zi uchun, matematikaning boshqa sohalari uchun tatbiq etishga ancha torlik qihb qoldi. Sababi, matematika juda ko‘p tarmoqlarga ajralib ketdi, unda aksiomatik metod keng rivojlandi, natijada yangi matematik tushuncha-matematik struktura vujudga keldi. Matematik struktura tushunchasi bir qaraganda bir-biridan juda uzoq tuyulgan matematik faktlar va metodlaming birligini o‘rgatishga yordam beradi. Ma’lumki, matematika elementlari ixtiyoriy bo‘lgan to'plamlar ustida amallar bajaradi va turli munosabatlami qaraydi. To‘plamlaming elementlari ulami boshqaruvchi aksiomalarga bog‘liq ravishda turli matematik strukturalar hosil qiladi. Keyingi paytlarda matematikaning turli bo4imlarini, hatto ayrim matematik predmetlami o‘sha strukturalaming modeh sifatida talqin qilina boshladi. Shu sababli hozirgi zamon matematikasini matematik strukturalar va ulaming modellari haqidagi fan deb ta’riflash mumkin. Matematika hamma boshqa fanlar singari uzluksiz rivojlanib turadi. Buning quyidagi ikki sababi mavjud: birinchidan, uning rivojlanishini kundalik hayot va amaliyot taqozo qiladi; ikkinchidan, rivojlanishni matematikaning o‘z ichki ehtiyoji talab qiladi. Matematikaning tez sura’tlar bilan rivojlanishi texnikani, iqtisodni, ishlab chiqarishni boshqarishning rivojlanishiga, shuningdek boshqa qo‘shni fanlaming ham rivojlanishiga katta ta’sir ko'rsatadi. Matematika darslari jarayonida tarixiy ma’lumotlardan foydalanish uni yanada qiziqarli qiladi, o‘quvchilaming o‘rganilavotgan materialga qiziqishlarini orttiradi, bilimlami mustahkam egallashlariga yordam beradi .
Bizning son va figuralar haqidagi tasawurimiz juda qadirn zaraonlardan - tosh asridan, ya’ni paleolitdan boshlanadi. Ma’lumki, kishilar bir necha yillar g‘orlarda yashagan, hayot uchun zaruriy narsalami bevosita tabiatdan yig‘ib olishgan. Ov uchun toshdan asboblar yasashgan. Oldinlari ular bir-birlari bilan imo-ishora orqali muomala qilishgan, keyinchalik mehnat jarayonida til paydo bo‘lgan. Sezgi organlari rivojlana boshlagan, miya esa hisoblash va oichash uchun abstraksiya hosil qilgan. Son va figura tushunchalarining tarixini o‘rganish faqat matematika tarixi uchun emas, balki insoniyat tarixi uchun zarur. Ba’zi olimlar sodda matematik tushunchalar hayvonlarda ham mavjud, deb tasdiqlashadi va o‘z da’volarini dalillash uchun misollar keltirishadi. Masalan, nemis matematigi M.Kantor: « 0 ‘rdaklar ham o'z bolalarini sanaydi»-deydi. Ba’zilari esa hayvonlarda ham figura tushunchasi mavjud deb hisoblashadi va bunga misol qilib, asalarilaming in yasashlarini keltirishadi. Ma’lumki, asalarilaming inlari muntazam oltioyoqli prizmaga o‘xshaydi. Demak, ular fazoni muntazam oltioyoqli prizmalar bilan to‘ldirishni bilishsa, ulaming oliy matematikadan ham xabari bor ekanda! Rus olimi Pavlovning ta’limotiga ko‘ra hayvonlarda abstraksiya hosil bo‘lmaydi, ulardagi «ко‘р», «кат» tushunchalari instinkt va rellekslar natijasida hosil bo‘ladi. Biz yuqorida misol qilib keltirgan tosh asboblar fikrlashsiz hosil boimagan, albatta. Ammo shuni aytish lozimki, bu fikrlashlar o‘sha sha-roitda chekli bolgan. Ibttdoiy jamiyat odami uchun 2 va 3 dan ortiq son ko‘p edi. Ular o‘zlarining ovchi itlarini sanamagan, balki ulaming biror belgisini yodda tutgan. Ma’lumki, yunon, semit tillarida ikkilik son saqlanib qolgan. Masalan, arab tilida bitta kitob-kitob, ikkita kitob-kitoboni. Avstraliyadagi bitta qabila bimi-guna deb, ikkini-barkula deb ataydi, uchni barkula-guna, to‘rtni-barkula - barkula deyishadi. Demak, ko‘plik birlikni takrorlash bilan hosil qilinadi. Bunday sanash hozirgi hindistonliklarda ham mavjud. Masalan, ular do‘stni bixay deyishadi, do‘stlami esa bixay-bixay deydi. Keltirilgan misollaming hammasi sanoq sistemaning asta-sekinlik bilan rivojlanganligidan dalolat beradi. Dastlab kishilar ikkigacha, so‘ngra beshgacha, undan keyin o‘ngacha, o‘n besh va yigirmagacha sanashni o‘rganishgan. 0 ‘zbeklaming «ikki o‘n besh bir o‘ttiz» degan maqolining tagida ham bir vaqtlar bizda o‘n beshlik sanoq sistemasi mavjud bo‘lganligidan dalolat beradi. Yaqin-yaqinlarda ham qishloqlarda qariyalar 40 o‘miga ikki yigirma deyishar edi. Umuman, xalqlardagi sonlaming turli belgilar yordamida yozilishi (1,2 va 3-jadvallarga qarang) va aytilishi quyidagi 3 prinsipga amal qiladi: 1. Additivlik (additio-lotincha so‘zdan olingan bo‘lib, qo‘shish degan ma’noni beradi). Misol: Rim raqamida 2, 3 ni yozilishi. 2. Substraktivlik (substactio-ayirish). Masalan: Rim raqamidagi 4 va 9 ni yozish. 3. Multiplikativlik (multiplicatio-ko‘paytirish). Masalan o'z-bek tilida 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800 va hokazolaming aytilishi. Sanoqning yuqori chegarasi keyinchalik sanoq sistemasining asosi uchun qabul qilingan. Unga o‘nli sanoq sistemasi misol bo‘la oladi. Geometrik figuralar haqidagi tushunchalaming paydo bo‘lishi va rivojlanishi insoniyatning mehnat faoliyati ya’ni dehqonchilik, kulolchilik, to‘quvchilik va qurilish ishlarining rivojlanishi bilan bog‘liq bo‘lgan. Masalan, dehqonchilikda yerlami ekishga tayyorlash, yig‘ib olingan donlami saqlash muammolari geometriyaning ba’zi faktlarini yuzaga chiqaradi. Qurilish ishlarida esa qadimgi binolaming formalarini - konus, silindr va prizma ko‘rinishda yoki uning peshtoqlariga solingan turli xil ornament va figuralar, ulaming tengligi, o‘xshashligi va simnietriyasini ko‘ramiz. Umuman geometriyada dastlab geometrik etalonlar (masalan: koptok-sharsimon predmetlar uchun, qarag‘ay mevasi-uchli jismlar uchun), keyinchalik abstrakt geometrik figuralar nomlari hosil bo‘ldi. Masalan: «chiziq» - linea (lotincha) so‘zdan olingan bo‘lib, «капор ip», «arqon» degan ma’noda keladi. 2-§. Quldorlik jamiyatida matematika Tarixdan dastlabki davrlarda odamlar toshdan turli xil qurol va aslahalar yasagani ma’lum bo‘lsa, keyinchalik mis va bronzadan va nihoyat, temirdan qurol-aslahalar yasashgani ma’lum. Temir qurollar vujudga kelganidan so‘ng, eramizdan oldingi VI asrda quldorlik jamiyati vujudga keldi. U esa o‘z navbatida xususiy mulkchilikni keltirib chiqardi. Quldorlar boylik orttirish yo‘liga o‘tishdi. Jamiyat taiixidan quldorlik jamiyati dastlab Misr, Bobil, Xitoy va Hindistonda vujudga kelganligini, G‘arbiy yarim sharda esa ancha keyin maya va ink qabilalarida paydo bo‘lganligini bilamiz. Hunar va savdo-sotiqning rivojlanishi tufayli shaharlar vujudga keldi. Shaharlar qurilish texnikasini rivojlantirishni taqozo qildi. Quldorlar boyib ketishi natijasida, boshqa elatlaming yer va shaharlariga ko‘z olaytira boshlashdi. Bu esa urushsiz bo‘lmas edi. Urush uchun esa texnika kerak edi. Ma’lumki, o‘z navbatida harbiy texnikalar bilimsiz vujudga kelmaydi. Xuddi mana shu davrda arifmetik qoidalar bilan bir qatorda ba’zi bir amaliy masalalami yechish usullari ham vujudga keldi. O'lchashga doir masalalardan asta-sekin nazariy geometriya hosil boidi. Juda qadim zamondagi bu ma’lumotlar qayerdan olingan? Bobilda matematik ma’lumotlar, turli xil jadvallar va boshqa yozuvlar loydan yasalgan taxtachalarga yozilib xumdonda pishirib olingan. Shu sababli bu ma’lumotlaming yozilganiga bir necha asrlar o‘tganligiga qaramay ular bizgacha hech qanday o‘zgarishsiz yetib kelgan. Biz keyinroq bobilliklaming matematik ma'lumotlaridan, ulaming matematik bilimlari haqida ancha to‘liq tasawurga ega bo‘lamiz. Qadimgi Misrda matematik qoidalar, jadvallar va boshqa yozuvlar papirusga, ya’ni papims daraxti po‘stlog‘i tilimiga yozilgan. Bu material turli xil tabiiy sharoitlarga chidamsizligidan misrliklaming matematik ma’lumotlari va bilimlari haqida kamroq ma'lumotga egamiz. Xitoyda esa matematik ma’lumotlar bambukka yozilgan. Xitoy matematikasi haqida ham ma’lumot juda oz. Nega turli ma’lumotlar turli narsalarga yozilgan? Qog‘oz yo‘q edimi?, -degan savol tug‘iladi. -Qog‘oz yo‘q edi, u bizning eramizning II asrida Xitoyda kashf etilgan. Keyingi asrlarda Samarqandda ham qog‘oz tayyorlangan. 3-§. Misr matematikasi Misrning mashhur piramidalari qadimgi podsholik davri (e.o. 3600-2700) da qurilgan. Bu piramidalaming ostiga Misr shoh (firavn)larining maqbaralari joylashgan. Bu piramidalar o‘sha qadimgi davrda ham, Misrda matematika ancha yuqori darajada bo‘lganligidan dalolat beradi, chunki bunday qurilishlar anchagina murakkab arifmetik amallami va geometrik o‘lchashlami talab qiladi. Bundan tashqari, tarixdan o‘sha davrda Misrda kanallar, to‘g‘onlar va suv omborlari qurilganligi haqida ma’lumotlar bor, ular ham quruvchilardan katta matematik ma’lumot talab etar edi. Podshoh o‘z dehqonlariga yerlami bo‘lib berardi, demak iming maxsus tanobchilari bor edi. Olsha yerlarga mos qilib, ulardan o‘lpon olishardi, demak, hisobchilar darkor edi. Dehqonchilik ishlarini yaxshi olib borish uchun yaxshi tuzilgan taqvim (kalendar) lozim edi. Bu talab astranomiyani, shu bilan birga matematikani rivojlantirishni talab qiladi. Shunday qilib, qadimgi Misrda matematika bilim ancha yuqori darajada bo‘lgan deyish mumkin. Bizgacha qadimgi Misrning arxitektori, me’mori va matematigi Imxotepning nomi yetib kelgan. Ammo bu davrdan faqat sonlaming yozilishi, ba’zi bir o‘lchovlargina saqlanib qolgan. Biz Misming qadimgi podsholigi davri matematikasi haqida ana shular bo‘yicha hukm chiqaramiz.
Bizgacha yetib kelgan ma’lumotlar misrliklarda o‘nli sanoq sistemasi mavjud bo‘lganligini bildiradi. Ulardagi ba’zi belgilar 1 dan 107 gacha borgan. Ular bimi o‘lchov cho‘pi, o‘nni bo‘yunturaq, yuzni 10 o‘lchov arqoni, mingni nilufar guli, o‘n mingni ko‘rsatgich barmoq, yuz mingni qushcha, millionni hayratdagi odam, o‘n millionni quyosh ko‘rinishida yozishgan (1-jadval, 1-ustunga qarang). Ular jadvalda keltirilgan belgilami takrorlash bilan istalgan sonni yoza olishgan. Misrliklaming yozuvi turh belgilardan tuzilgan-iyeroglif, iyeratik va demotik yozuv turlaridan iborat bo‘lgan. KeyinchaHk ular bu belgilami harflarga almashtirishgan. Shunga ko‘ra sonlaming belgilari ham o‘zgargan. Sonlar yuqori xona birligidan boshlab yozilgan. Misr piramidalarining o‘lchamlari butun sonlarda |»tirsak»| ifodalangan. Ular qurilish ishlarida butun sonlardan foydalanishgan, yer ustida o‘lchashlarda esa kasr sonlar ham uchraydi. Misrda matematik ma’ lumotlami va boshqa yozuvlami qayd qilib boruvchi kitoblar bo‘lgan. 0 ‘rtapodshohlik davriga (er.aw. 2000- 1700) doir turli xil xo‘jalik yozuvlari bizning davrimizgacha yetib kelgan. Ular orasida matematik yozuv bilan birga kichkina maxsus matematik qo‘llanma ham bor. Bu qo‘llaimia kotiblarga moijallangan. Shunday matematik papiruslardan ikkitasi saqlanib qolgan. 1. London papirusi, kotibi Axmes, shuning uchun uni Axmes papirusi, ya’ni papirusning londonlik egasi Rayndning nomi bilan «Raynd papimsi» ham deyishadi. Papirusning bo‘yi 5,25 m, eni 33 sm, unda 84 ta matematik masala bo‘lib, u e.o. 2000 yillarda yozilgan. 2. Moskva papirusi-bo'yi 5,44m, eni 8 sm, unda 25 ta masala bor. Bu papirus ham Misming o‘rta podshohlik davri (e.o.2000-1700 yillar) ga to‘g‘ri keladi. London papimsi Eyzenlor va Baboninlar o‘rganishgan. Moskva papirusini esa akademiklar B.A.Turayev va V.V.Struvelar tatbiq qilishgan va 1930 yili rus tilida nashr qilishgan. Arifmetik amallar Yuqorida eslatilgan papimslardan misrliklar musbat sonlar ustidagi to'rt amalni qanday bajarganliklarini bilamiz. Oldin eslatganimizdek, ularda o‘nli sanoq sistemasi mavjud bo‘lganidan qo‘shish amalini bajarish hozirgi bizning qo‘shish amalini baja- rishimizdan hech ham farq qilmaydi. Ular ham bir xil xona birliklarini qo‘shib, bunday birliklar soni 10 dan ortib ketsa, yuqori xona birligini bittaga orttirib qolganini birliklar xonasida qoldirgan. Ayirish amali ham hozirgi bizning usulda bajarilgan, ammo hamma vaqt katta sondan kichigi ayrilgan, chunki manfiy son tushunchasi bo‘lmagan. Qo‘shish va ayirish amallari uchun maxsus iyerogliflar bo‘Igan . л (qo‘shish), A, (ayirish). Bu iyerogliflar ilgari bir tomonga qarab «yurish»ni bildirgan.
Shumerlar sonlami loydan yasalgan taxtachaga uchqurlangan tayoq-chani bosish bilan yozishgan. Agar tayoqchaning doira shaklidagi uchini og‘maroq holda bosilsa, Ellips о hosil bo‘ladi, bu birning belgisi; to‘g‘ri burchak ostida bosilsa, doira О hosil boiadi., bu o‘nning belgisi. Keyinchalik tayoqchaning o‘tkir uchidan foydalaniladigan boidi, u holda birning belgisioddiy pona T shaklida boiib qoladi. O'nning belgisi 4 prizma shaklidagi tayoqchani og‘maroq bosishdan hosil boiadi (1-jadval, 4-ustunga qarang). Shumerlar hisoblashlarda 601i sanoq sistemasidan, boshqa hollarda esa o‘nU sanoq sistemasidan foydalanishar edi. Matematik va astronomik matnlardagina sonlar oichovlarida aralash yozuv ishlatilar edi. Masalan, 225 ni «2 me 25» deb atashadi, bunda «me» yuzni anglatadi.
Awal o‘nning katta qilib yozilgan belgisi 100, 60 li sistemada esa 60 ni bildirgan. Bir-biriga qarama-qarshi qo‘yilgan i У ikki belgi 120 ni; agar orasida yana bitta o‘n belgisi boisa > 1200 ni bildirgan. 100 - T >kabi, 1000 - Уkabi, 10000-^ i ^ >kabi belgilangan. Keyinchalik yozuvning soddalashuvi, bir xil ko‘rinishga kela borish bilan katta va kichik belgining ahamiyati qolmadi va nihoyat, ^ \a ( ikki belgigina qoldi. Natijada turli xona birliklarini turli belgilar bilan yozish yo‘qoldi, bu esa o‘z navbatida pozitsion sistemani vujudga keltirdi. Bu sistemada hamma sonlar T va ( belgilami takrorlash bilan yozilar edi; masalan, 21 quyidagicha yoziladi: ( i T Bu yerda qo'shishdan foydalanilsa, boshqa joyda ayirishdan foydalanilar edi; 19 ni 20-1 ko‘ri-nishida, ya’ni ( kabi yozishgan, bu yerdagi yT belgi «lal» bizning «siz» qo‘shimchamizga to‘g‘ri keladi. Belgini «birsiz 20» deb o‘qish lozim, u 19 degani. Bobilliklar borib-borib belBobilliklaming 60 li sanoq sistemasi kasrlar ustida amallar bajarishda qulay edi, qo‘shimcha qoida talab etmas edi. Bunda oxirgi natijada xona birligi ko‘rsatilsa bas! Hozir biz burchaklami, vaqtni o‘lchashda ishlatiladigan 60 li sistema bobillik astronomiardan kelgan (bir soat 60 daqiqa, daqiqa 60 soniya). Matematika tarixchilarining aytishlaricha, o‘lchovlar orasida eng qadimgisi og‘irlik o‘lchovi, keyingisi esa yuz o‘lchovi hisoblanadi. Birinchi bo‘lib oziq-ovqat, ikkinchi bo‘lib maydonlar o‘lchangan. Bu ma’lum yerga ketadigan urug'ni bilishga, shuningdek, ma’lum yerdan ohnadigan hosilni bilishga xizmat qilgan. Dehqonchilik vujudga kelishi bilan, to‘g‘ri to‘rtburchakli maydonlar qadamlab, boshqa formadagi maydonlar esa ular perimetrlarining uzunligi bilan o‘lchangan. Keyinchalik maydonlaming atrofiga to‘g‘ri to‘rtburchak yasab, uning bo‘yi bilan enini ко'paytirishgan. Hosil bo‘lgan yuzdan ortiqcha joylarini ayirib tashlagan. Ortiqcha joylami to‘g‘ridan-to‘g‘ri o‘lchashmagan balki sepish uchun ketadigan g‘alla miqdori bo‘yicha aniqlangan. Ular aniq uzunlikdagi jo‘yakka ketadigan urug‘ miqdorini ol-dindan bilgan.