Prof. Yav Ksoy uz a cilt 2 Dİferansiyel denklemler

MATEMATİK BÖLÜMÜ
Y I L D I Z T E K N İ K Ü N İ V E R S İ T E S İ
F E N - E D E B İ YAT FA K Ü LT E S İ
Prof. Yav
KSOY
uz A
CİLT 2
DİFERANSİYEL
DENKLEMLER
Ü N İ V E R S İ T E
Y A Y I N
N O :
Y T Ü . F E . D K - 2 0 1 7 . 0 9 0 5
YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ BASIM-YAYIN MERKEZİ / İSTANBUL-2011
DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ – LİNEER
SİSTEMLER – HOMOGEN SİSTEMLER – MATRİSLER -
LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ – KUVVET SERİLERİ -
SAYISAL YÖNTEMLER – OPERATÖRLER - GRAFİK
YÖNTEM – ÇEŞİTLİ ALANLARDA UYGULAMALAR
Yrd. Doç. Dr. E .Mehmet ÖZKAN

Yıldız Teknik Üniversitesi Yönetim Kurulu’nun
12.10.2017 tarih ve 2017/23 sayılı Toplantısında Alınan karara göre
Üniversitemiz Matbaasında  550 (Beşyüzelli)  adet bastırılan,
“Diferansiyel Denklemler” adlı telif  eserin  her türlü
bilimsel ve etik sorumluluğu yayına hazırlayanlara aittir.
T.C.
YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ
FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ
Y.T.Ü. Kütüphane ve Dokümantasyon Merkezi Sayı
YTÜ.FE.DK-2017.0905
Baskı
Yıldız Teknik Üniversitesi
Basım-Yayım Merkezi-İstanbul
Tel: [phone]
DİFERANSİYEL DENKLEMLER
(Cilt 2)
Prof. Yavuz AKSOY
Yrd. Doç. Dr. E .Mehmet ÖZKAN
ISBN: 978-975-461-541-8
Bütün Hakları Saklıdır.   c  2017, Yıldız Teknik Üniversitesi
Bu eserin bir kısmı veya tamamı, Y.T.Ü. Rektörlüğü’nün izni olmadan,
hiçbir şekilde çoğaltılamaz, kopya edilemez.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Yaşar ÖZDEMİR’in 
 
ANISINA   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DİFERANSİYEL  DENKLEMLER  ~  CİLT 2 
2017 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
Prof. Yaşar ÖZDEMİR 
 
KİMDİR ? 
 
Yaşar ÖZDEMİR 1932 yılında, Ağrı ilinin Doğu Beyazıt ilçesinde dünyaya gelmiştir. Henüz 
çocuk  iken  babasının  işi  gereği  İstanbul’a  gelmişler  ve  bundan  sonraki  yaşamı  burada 
geçmiştir. Öğrenimini sırasıyla Sultanahmet İlkokulu, Cağaloğlu Orta Okulu ve İstanbul Erkek 
Lisesi’nde  tamamlamıştır.  Yükseköğrenimini  1954  yılından  başlayarak  İstanbul  Üniversitesi 
Fen  Fakültesi  Matematik  Enstitüsü  (Bölümü)’nde  yapmıştır.  1962  yılında  mezun  olduktan 
sonra, 1962-1964 yılları arasında askerlik görevini tamamlamıştır. 
 
1964  yılında  İstanbul  Teknik  Okulu’na  matematik  asistanı  olarak  kabul  edildi.  Bu  kurumun 
bütün  değişim  süreçlerini  bizzat  yaşadı  ve  görevlerine  devam  etti.  Akademik  çalışmalarını 
devam  ettirdi.  1974  yılında  öğretim  görevlisi  oldu.  Bu  sırada,  doçentlik  çalışmaları  ile  ilgili 
olarak Fransa’ya gitti. Dönüşünde doçentlik çalışmalarına hız verip 1979 yılında doçent oldu. 
Bu  görev  daha  sonra  Yıldız  Üniversitesi  bünyesinde  de  devam  etti.  1987  yılından  itibaren, 
Matematik  Bölümü,  Analiz  ve  Fonksiyonlar  Teorisi  Anabilim  Dalı  Başkanlığına  yürüttü. 
11.5.1989  tarihi  itibariyle  profesör  olarak  atandı.  1994  yılından  itibaren  üç  yıl  süreyle 
Matematik Bölümü Başkanlığı yaptı. 1997 yılında emekli oldu.  
 
Prof. Özdemir öğretim üyeliği süresi içinde lisans ve  yüksek lisans eğitim programlarında şu 
dersleri  vermiştir:  Diferansiyel  ve  İntegral  Hesap,  Matematik  Analiz,  Kısmi  Diferansiyel 
Denklemler,  Operasyonel  Hesap,  İki  Değişkenli  Laplace  Dönüşümleri,  İleri  Kısmi  Türevli 
Diferansiyel Denklemler, Özel Diferansiyel Denklemler 
 
Üniversitenin bazı birimlerinde yönetim görevlerinde bulunmuştur. Atatürk İlkeleri ve İnkılap 
Tarihi Bölümü Başkanlığı; Atatürk İlkeleri ve İnkılap Tarihi Araştırma ve Uygulama Merkezi 
Müdürlüğü  de  yapmıştır.  Yıldız  Koruma  ve  Yaşatma  Derneğinde,  aktif  olarak  1976-1994 
yılları  arasında  yönetim  kurulunda  görev  almış,  bu  yıllar  içinde  2  yönetim  dönemi,  Dernek 
Başkanlığı yapmıştır.    
 
O, Aksoy’un 62 yıllık arkadaşı,  Özkan’ın da öğretmenidir. Aksoy ile  1954  yılında  başlayan 
üniversite sınıf arkadaşlığı hiç kesintisiz devam etmiştir.  7 Ekim 2016 günü aramızdan ayrıldı. 
Nurlar içinde yat sevgili kardeşim. 
    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
     
 
 
 
 
 

 
Ö N S Ö Z   
NİHAYET 
 
Bu  kitabımın  1.cildi  1990  yılında  yazıldı  ve  ilk  baskısı  o  yıl  yapıldı.  Aynı  zamanda  bir  ders 
kitabı olması nedeniyle kısa sürede tükendi. Ancak uzun yıllar yeni bir baskısı yapılamadı. Bu, 
o zamanki teknik olanaksızlıklardan kaynaklanan bir sonuçtu. Üniversitemiz Basım ve Yayın 
Merkezi  kurulduktan  bir  süre  sonra,  2001  yılında  kitabın  2.Baskısı  yapılabildi.  Bunu  2004 
yılındaki 3. Baskısı, 2006 yılındaki 4.Baskısı ve nihayet 2011 yılındaki 5.Baskısı izledi. Bu 5 
baskının toplam tirajı 4750 adet oldu. Kitap halen satılmaktadır. 
 
Bu baskıların hepsinde kitabın 2.cildinden söz edildi ve konuları bile belirlenmişti. Oysa ders 
notları olarak yazılım hazırdı. Yıllarca derslerde anlattığım konulardı. Ancak işin kitap olarak 
düzenlenmesi  o  zamanlar  bizim  için  bir  sorun  oldu.  O  kadar  yoğun  matematik  ifadeleri  ve 
bunları  yazabilmek  için  kullanılacak  olan  o  kadar  çok  sembol  düzenlemesi  yapılması 
gerekiyordu ki işimizi engelleyen işin bu kısmıydı.  
 
Çok sabır ve dikkat gerektiren bu yazılım işi, sevgili öğrencim ve mesai arkadaşım Yrd. Doç. 
Dr.  E.  Mehmet  ÖZKAN  tarafından  yerine  getirilmiştir.  Kitaptaki  iki  konu  onun  tarafından 
düzenlenmiştir. Kitabın oluşumunda böyle bir iş paylaşımı vardır. Kitabın oluşumuna katkıları 
nedeniyle Yrd. Doç. Dr. E. Mehmet ÖZKAN’a çok teşekkür ediyorum. 
 
İnanıyorum  ki  aranan-sorulan  bu  kitap,  kısa  sürede  tanınacak  ve  kullanılacaktır.  1.cildin 
önsözünde bir de Kısmî Türevli Diferansiyel Denklemler’ den söz edilmişti. Bu da belki, ileriye 
dönük ayrı bir çalışma olabilir. 
 
Bütün  çalışmalarımızda  olduğu  gibi,  bu  kitabın  yazılımı  sırasında  da  birçok  kaynak  eserden 
yararlanılmıştır. Bilimsel etik gereğince kaynak olarak kullanılan bu eserler ya dip not olarak 
sayfa altlarında ya da kitabın sonunda listelenerek gösterilmişlerdir. Yararlandığımız bu eserler 
için yazarlarına ve yayıncılarına teşekkür borcumuz vardır. 
 
NİHAYET!  Diferansiyel  Denklemler  Cilt  2  adlı  kitabımızı  gerçekleştirmiş  olduk.  Böylece 
okuyucularımıza  yıllar  öncesinden  verilmiş  bir  sözümüzü  de  yerine  getirmiş  olmanın 
mutluluğunu yaşıyorum. Bu benim 34. kitabım olacak. Böylece yazarlık kariyerime çok önemli 
bir kitapla son vermiş olacağım.  Saygıyla, sevgiyle… 
 
Beşiktaş, 14 Şubat 2017                                            Prof. Yavuz AKSOY    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
Çok değerli doktora danışmanım Prof. Yavuz Aksoy hocam, 
Benden  bir  ikinci  önsöz  yazmamı  rica  ettiğinizde duyduğum  sevinç ve  sizin  gibi  kıymetli 
hocama  ve  bir  o  derece,  matematiğe  adım  atmış  ve  ilerleyen  herkese  rehber  olabileceğine 
inancımın tam olduğu bir kitabın muhteşem  yazım  gücüne  gölge düşürmeme telaşı eşliğinde, 
önsözlerin  okuyucuya  yazılması  adetinden  ayrılarak,  ben  size  ithafen  tüm  okuyucularınıza 
seslenmek isterim.  
İnsanın  özel  bir  minnettarlığı  ifade  etmek  için  kullandığı  en  harika  ifadelerden  biridir 
“Teşekkürler...”.  Ancak  çoğu  kez,  bunun  içinde,  bu  tek  kelimenin  söyleyebileceğinden  daha 
fazlası  vardır.  Kalpten  geldiğinde,  “teşekkürler”  çok  şey  ifade  eder:  Hayatımı  değiştirdiniz, 
yoluma  ışık  kattınız,  bana  verdiğiniz  katkının  değerinin  ölçüsünü  sonsuz  kıldınız,  yapmak 
zorunda olmadığınız ama yaptığınız her şey için beni müteşekkir yaptınız ve tüm bunları hem 
şahsıma hem de öğrencilerime aşılayacak gücü ve buna ait hayat felsefesini öğrettiniz...  
Ülkemizin, yaşamı boyunca 33 tane kitap yazarlığı yapmış yegâne matematikçisi ile hem mesai 
paylaşımı  hem  de  akademik  anlamda  alışverişte  bulunmuş  olmaktan  sonsuz  mutluluk 
duyduğumu  hem  size  hem  de  bu  satırları  okuyan  sevgili  okuyucuya  en  kalbi  dileklerimle 
belirtmek isterim. 
Öğrencilerimizin  her  daim  sordukları  “Diferansiyel  Denklemler  Cilt  2”  başlıklı  kitap  ne 
zaman  çıkacak  sorusuna  artık  rahatlıkla  sizin  de  belirttiğiniz  gibi  “Nihayet”  cevabını 
veriyorum.  Yalnız  bu  “nihayet”  kelimesi  sadece  bu  soruya  yanıt  olacaktır.  Sizin  “Elveda” 
yanıtınızı bu kitabınızla taçlandırmanızı şimdilik kısa bir mola olarak kabul ettiğimi de buraya 
not  düşmek  isterim.  Bizleri  matematik  anlattığınız  kitaplardan  tarih  anlattığınız  kitaplara, 
şiirlerinizi  paylaştığınız  kitaptan  çevirilerini  yaptığınız  matematik  kitabına  uzanan  geniş 
spektrumdan mahrum  bırakmayacağınız temennisiyle, bölümümüze, üniversitemize, ülkemize 
kattığınız değerden ve yetiştirdiğiniz binlerce öğrenci ve her birinin sizden almış olduğu bilgi 
ve görgü ile dolaylı olarak dokunduğunuz aile üyeleri adına bu kitabı bizlerle paylaştığınız için 
şükranlarımı sunarım. 
Sevgi, saygı ve hürmetlerimle “Teşekkürler”... 
 
   12 Mayıs 2017, Beşiktaş                                 Yrd. Doç. Dr. E. Mehmet ÖZKAN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

İÇİNDEKİLER 
 
ŞEKİL LİSTESİ 
1.BÖLÜM   
GENEL BİLGİLER VE TEOREMLER  
[BAŞLANGIÇ BİLGİLERİ  -  HATIRLATMALAR] 
 
01.01. Giriş  /  1 
01.02. Tanım  /  1 
01.03. Sınıflandırılma  /  2 
01.04. Bir Diferansiyel Denklemin Oluşumu  /  2 
01.05. Lipschitz Koşulu  /  3 
01.06. Çözüm Kavramı  /  3 
01.07. Varlık ve Teklik Teoremleri  /  4 
2. BÖLÜM           
DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ 
02.01. Giriş  /  5 
02.02. Tanım  /  5 
02.03. Çözüm Kavramı Ve Çeşitleri  /  7 
02.04. Mertebe  /  8 
02.05. Türeterek Yok Etme Yöntemi  /  8 
02.06. Kanonik Sistem  /  10 
02.07. Normal Sistem  /  10 
02.08. Teorem  /  11 
02.09. Wronskien ve Çözümlerin Lineer Bağımlılığı  /  19 
02.10. Teklik Teoremi  /  21 
02.11. Asal İntegraller  /  22 
02.12. Mertebe Düşürmeye Dair Teorem  /  28 
02.13. Sabit Katsayılı Homojen Denklem Sistemleri  /  29 
 
02.13.01. Karakteristik Denklemin Basit Kökleri Bulunması Hali  /  30 
 
02.13.02. Karakteristik Denklemin Çakışık Kökleri Bulunması Hali  /  34 
 
02.13.03. Karakteristik Denklemin Karmaşık Kökleri Bulunması Hali  /  36 
02.14.  Alıştırma Problemleri ve Yanıtları  /  39 
3. BÖLÜM  
SİSTEMLERİN İNCELENMESİNDE MATRİSLERİN KULLANILMASI 
03.01. Giriş  /  41 
03.02. Bazı Tanımlar  /  41 
03.03. Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri  /   44 
03.04. Sabit Katsayılı Lineer Homojen Diferansiyel Denklem Sistemleri  /  44 
03.05. Sabit Katsayılı Lineer Homojen Olmayan Diferansiyel Denklem Sistemleri  /  45 
03.06. Homojen Olmayan Lineer Sistem için Yöntemler /  52 
 
03.06.01. Sabitlerin Değişimi Yöntemi  /  52 
 
03.06.02. Köşegenleştirme Yöntemi  /  53 
03.07. Alıştırma Problemleri ve Yanıtları  /  57 

4. BÖLÜM 
DİFERANSİYEL  DENKLEMLERİN  VE  SİSTEMLERİN  İNCELENMESİNDE 
LAPLACE DÖNÜŞÜMÜNÜN KULLANILMASI 
04.01.  Giriş  /  58 
04.02. Dönüşüm Hakkında Bazı Tanım Ve Teoremler  /  58 
04.03. Laplace Dönüşümü için Varlık Teoremi  /  60 
04.04. Bazı Temel Fonksiyonların Laplace Dönüşümleri  /  60 
04.05. Bazı Özel Fonksiyonların Laplace Dönüşümleri  /  63 
 
04.05.01. Basamak Fonksiyonu  / 63 
 
04.05.02. Rampa Fonksiyonu  /  63 
 
04.05.03. Darbe Fonksiyonu  /  63 
04.06.  Laplace Dönüşümünün Temel Özellikleri  /  63 
 
04.06.01. Lineerlik Özelliği  /  63 
 
04.06.02. Birinci Kaydırma Özelliği  /  64 
 
04.06.03. İkinci Kaydırma Özelliği  /  64 
 
04.06.04. Skala Değiştirme Özelliği  /  65 
 
04.06.05. Türetilmiş Fonksiyonların Laplace Dönüşümleri  /  65 
04.07.  t
n
.f(t) nin Laplace Dönüşümünün Bulunması /  67  
04.08. Periyodik Fonksiyonların Laplace Dönüşümü  /  68 
04.09. Başlangıç ve Son Değer Teoremleri  /  70 
 
04.09.01. Başlangıç Değer Teoremi  /  70 
 
04.09.02. Son Değer Toremi  /  71 
04.10. Ters Laplace Dönüşümü  /  73 
 
04.10.01. Tanım  /  73 
 
04.10.02. Learch Teoremi  /  73 
04.11. Ters Laplace Dönüşümünün Bazı Özellikleri  /   74 
 
04.11.01. Lineerlik Özelliği  /  74 
 
04.11.02. Birinci Kaydırma Özelliği  /  74 
 
04.11.03. İkinci Kaydırma Özelliği  /  74 
 
04.11.04. Skala Değiştirme Özelliği  /  75 
 
04.11.05. Türetilmiş Fonksiyonların Ters Laplace Dönüşümü  /  75 
04.12. Konvolüsyon Teoremi  /  76 
04.13. Laplace Dönüşümünün Diferansiyel Denklemlerin Çözümünde Kullanılması /  77 
04.14. Laplace Dönüşümünün Diferansiyel Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümünde 
 
 Kullanılması  /  81 
04.15. Alıştırma Problemleri ve Yanıtları  /  85 
5. BÖLÜM   
DİFERANSİYEL  DENKLEMLERİN  İNCELENMESİNDE  KUVVET  SERİLERİNİN 
KULLANILMASI                    
05.01. Giriş  /  86 
05.02. Kuvvet Serileri  /  86 
05.03. Taylor Açılımı Yöntemi  /  87 
05.04. Adi Nokta – Tekil Nokta.  Frobenius Yöntemi /  90 
05.05. Adi Nokta  /  90 
05.06. Düzgün Tekil Nokta  /  95 
05.07. Alıştırma Problemleri ve Yanıtları  /  110 

6. BÖLÜM   
LEGENDRE VE BESSEL DİFERANSİYEL DENKLEMLERİ 
06.01. Giriş  /  111 
06.02. Legendre Diferansiyel Denklemi  /  111 
06.03. Bessel Diferansiyel Denklemi  /  114 
7. BÖLÜM   
DİFERANSİYEL  DENKLEMLERİN  İNCELENMESİNDE  SAYISAL  HESABIN 
KULLANILMASI 
07.01. Giriş  /  119 
07.02. Başlangıç Değer Problemi  /  119 
07.03. Teorem (Varlık Teoremi)  /  120 
07.04. Teorem (Teklik Teoremi)  /  120 
07.05. Sınır Değer Problemi  /  120 
07.06. Seri Yöntemleri  /  120 
 
07.06.01. Taylor Serisi Yöntemi / 120 
 
07.07.02. Picard İterasyon Yöntemi  /  122 
07.07. Tek Adım Yöntemleri /  123 
 
07.07.01. Euler Yöntemi  /  123 
 
07.07.02. Düzeltilmiş Euler ve Huen Yöntemi  /  125 
 
07.07.03. Runge-Kutta Yöntemi /  125 
07.08. Çok Adım Yöntemi  /  128 
 
07.08.01. Adams Yöntemi  /  129 
 
07.08.02. Adams – Bashforth – Moulton Yöntemi  /  131 
 
07.08.03. Milne Yöntemi  /  132 
07.09. Birinci Mertebeden Adi Difransiyel Denklem Sistemi  /  133  
8. BÖLÜM   
DİFERANSİYEL DENKLEM  SİSTEMLERİNİN İNCELENMESİNDE 
OPERATÖRLERİN  KULLANILMASI 
08.01. Giriş  /  138 
08.02. Homojen Denklem Sisteminin Operatörler ile Çözümü  /  139 
 
08.02.01.  F(D) = 0  Denkleminin Basit Kökleri Bulunması Hali  /  141 
 
08.02.02.  F(D) = 0  Denkleminin Çakışık Köklerinin Bulunması Halı  /  143 
 
08.02.03.  F(D) = 0  Denkleminin Karmaşık Köklerinin Bulunması Hali  /  150 
08.03.  Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklem Sisteminin Operatörler  
 
ile Çözümü  /  160 
 
08.03.01. Basit Halin İncelenmesi  /  160 
 
08.03.02. Genel Halin İncelenmesi  /  164 
08.04. Alıştırma Problemleri ve Yanıtları  /  173  
9. BÖLÜM     
DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN GRAFİK YÖNTEM VE ALETLER 
09.01. Grafik Yöntem  /  175 
09.02. Aletler  /  175 
09.03. Doğrultu Alanı  /  176 
09.04.  y = f (x) Fonksiyonunun Grafikle İntegrasyonu  /  177 

09.05. Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümü  /  179  
09.06. Yarım Adımlar Yöntemi  /  182 
09.07. İzoklin Yöntemiyle Integrasyon  /  183 
09.08. Nomogramların Kullanılması /  185 
10. BÖLÜM  
 
DİFERANSİYEL  DENKLEMLERİN  VE  SİSTEMLERİN  ÇEŞİTLİ  ALANLARDAKİ  
UYGULAMALARI 
10.01. Giriş  /  190  
10.02. Mekanikteki Uygulamalar  /  190 
 
10.02.01  Newton’un Hareket Yasaları  /  190 
 
10.02.02.  c g s sistemi veya Santimetre, Gram, Saniye Sistemi  /  191 
 
10.02.3.  f p s Sistemi veya Foot, Pount, Saniye Sistemi  /  191 
10.03. Elektrik Devrelerine Dair Uygulamalar  /  193   
10.04. Kimya ve Kimyasal Karışımlar İle İlgili Uygulamalar  /  195 
10.05. Çeşitli Artma ve Azalma Problemleriyle İlgili Uygulamalar  /  198 
10.06. Nüfus Artış Problemleri  /  200 
10.07. Geometri Kapsayan Fizik Problemleri  /  201 
10.08. Karma Örnekler  /  203 
 
BU CİLDİN HAZIRLANMASINDA YARARLANILAN ESERLER  
ADLAR – DEYİMLER – SÖZCÜKLER DİZİNİ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ŞEKİL LİSTESİ 
Şekil 2.1.  
Elektrik devresi 
Şekil 4.1.  
Sı¸crama
 süreksizliği
 
Şekil 9.1.  
zoklin Eğrisi 
Şekil 9.2.  
( )
y
f x

fonksiyonunun grafikle integre edilebilmesi-1 
Şekil 9.3.  
( )
y
f x

fonksiyonunun grafikle integre edilebilmesi-2 
Şekil 9.4.  
2
3
4
1
y
x
x
 


fonksiyonunun integral eğrisi 
Şekil 9.5.  
3
2
2
y
x
x
x
 


 fonksiyonunun integral eğrisi 
Şekil 9.6.  
Diferansiyel denkleminin integrali olan y = f(x) eğrisi 
Şekil 9.7.  
y’=- x  Diferansiyel denkleminin integral eğrisi 
Şekil 9.8.  
Yarı adımlar yöntemi 
Şekil 9.9.  
İzoklin yöntemi 
Şekil 9.10.   y’ + x y = 0 Dif. denklemi için İzoklin yöntemi 
Şekil 9.11.   Nomogramların kullanılması 
Şekil 9.12. 
y’ = [x
2
 – y
2
] / [x
2
 + y
2
]  dif. denkleminin çözümü 
Şekil 10.1.   Paraşüt problemi 
Şekil 10.2.   Karıştırma problemi 
Şekil 10.3.   Artma azalma problemi 
Şekil 10.4.   Fizik problemi 
Şekil 10.5.   Toricelli Kanunu 
Şekil 10.6.   Akışkanlar mekaniği 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
1. BÖLÜM 
 
GENEL BİLGİLER VE TEOREMLER 
[BAŞLANGIÇ BİLGİLERİ – HATIRLATMALAR] 
 
 
01.01.  Giriş 
Bu  bölümde  diferansiyel  denklemler  hakkında  bilinmesi  gereken  temel  tanımlar  ve 
teoremlerden  söz  edilecektir.  Bunlar  1.Cild’in  konuları  olmakla  birlikte,  burada  da 
kullanılacağından  hatırlanmasında  mutlaka  fayda  vardır.  Bu  nedenle  bilgilerimizin 
tazelenmesi  gerekmektedir.  Sistemlerin  yanı  sıra,  ayrıca  birinci  ya  da  ikinci  mertebeden 
denklemlerle  ilgili  yapılacak  çalışmalarda,  işlemler  sırasında  birçok  yerde  ilk  ciltteki  konu-
larla karşılaşılacağı görülecektir. Bu demektir ki bu iki kitap gerçekte bir bütündür; birbirinin 
tamamlayıcısıdır. 
Temel  bilgiler  denilince:  tanımdan  başlayarak,  ifade  edilişi,  var  oluşu,  sınıflara  nasıl  ayrıl-
dığı, varlık ve teklik teoremleri, çözüm kavramı ve çeşitleri ve özellikleri gibi alt yapıya ait 
bilgiler öngörülmektedir.  
01.02. Tanım 
Bir  y  =  f(x)  fonksiyonunun,  x  serbest  değişkeni,  y  bağlı  değişkeni  ve  onun  sınırlı  sayıda 
herhangi  mertebeye  kadar  türevleri  arasında  kurulmuş  olan  bir  bağıntıya  Diferansiyel 
Denklem denir. Bu tanıma göre bir diferansiyel denklemin genel ifadesi şu şekildedir: 
 
 
2
2
, ,
,
,...,
0
n
n
dy d y
d y
F x y
dx dx
dx







 
Buradaki  tanım,  genel  anlamda  tüm  diferansiyel  denklemleri  kapsamış  olsa  da  uygulamada 
çok farklı durumlarla karşılaşılır. Özellikle çözüme yönelik formları oluştururken, daha farklı 
ve özel düzenlerin tanımlandığına tanık olacağız. Buna bağlı olarak çözüm kavramı da ayrıca 
konu edilmeyi gerektirecektir.     
Yukarıdaki tanımda sözü edilen denklemlere, tek bir serbest değişken ile kuruldukları için Adi 
Diferansiyel  Denklem  ya  da  sadece  Diferansiyel  Denklem  denir.  Diferansiyel  denklem 
denilince, kendiliğinden, Adi Diferansiyel Denklemler anlaşılacaktır.  
z = f(x,y) gibi iki serbest değişkeni olan bir fonksiyon söz konusu ise bunun türevleri  ∂z / ∂x ; 
∂z / ∂y şeklinde ifade edileceğinden, bunlarla elde edilecek diferansiyel denklemler de bu tür 
türevleri  içerecektir.  Bunlara  Kısmî  Türev  denildiği  için,  bunlarla  oluşacak  diferansiyel 

2 
 
 
 
denklemlere  de  Kısmî  Türevli  Diferansiyel  Denklemler  ya  da  sadece  Kısmî  Diferansiyel 
Denklemler denir. Aşağıda bu tür denklemler için iki örnek gösterilmiştir.     
                         
2
2
2
2
z
z
z
x
y






          
2
2
2
2
z
z
z
x
x y
y






 

 
Bu konunun diferansiyel denklemler teorisi içinde ayrı bir yeri vardır. Bu nedenle kitabımızın 
konuları arasında yer almayacaktır.  
 
01.03. Sınıflandırılma 
Adi  Diferansiyel  Denklemler  (Diferansiyel  Denklemler),  farklı  şekillerde  sınıflara  ayrılarak 
incelenirler. Bunlardan biri mertebelerine göre bir diğeri de katsayılarının sabit ya da değişken 
oluşlarına göre yapılır.  
Bir  diferansiyel  denklemdeki  en  yüksek  türev  mertebesi,  aynı  zamanda  diferansiyel 
denklemin mertebesi olur. Bir diferansiyel denklemde türev mertebesi bir ise, bunlar Birinci 
Mertebeden Diferansiyel Denklemler olarak anılırlar. Eğer mertebe iki ya da daha büyük ise