Qoraqalpoq davlat universtiteti Fizika fakulteti 2-v guruh talabasi Sobirov Muzaffarbekning Nazariy mexanika fanidan ishlagan mustaqil ishi Mavzu: Inertsiya tenzori va inertisya ellipsoidi. Kamilton tenglamalari

Qoraqalpoq davlat universtiteti Fizika fakulteti 2-V guruh talabasi Sobirov Muzaffarbekning Nazariy mexanika fanidan ishlagan mustaqil ishi


Mavzu: Inertsiya tenzori va inertisya ellipsoidi. Kamilton tenglamalari
Inersiya tenzori
Biz impuls momenti va kinetik energiya tushunchalarini qattiq
jismga tatbiq qilganimizda inersiya momenti (tenzori) tushunchasini
kiritgan edik. Bu juda muhim tushuncha bo'lib, uni alohida o'rganish
maqsadga muvofiqdir. Inersiya tenzori ta’rifmi yana bir marta yozib
olamiz:
(6.28)
Muhokama qilingan qoida bo’yicha uzluksiz muhit uchun
(6.29)
Ta’rifga asosan, inertsiya tenzori jism ichidagi massa taqsimotining harakteristikasi ekan. Bu-har bir jismning ichki harakteristikasi. Uning komponentalarini ochib yozaylik:
(6.30)
Ta’rifdan ko‘rinib turibdiki, inersiya tenzori simmetrik tenzordir:
(6.31)
Bundagi shartlarning soni 3 ta, demak, simmetrik tenzorning 9 ta
komponentasidan 6 tasi mustaqildir. Undan tashqari, uchta burchakdan
foydalanib jismning fazodagi oriyentatsiyasini o'zgartirishimiz mumkin,
bu yana 3 ta shartni beradi. Shularni hisobga olinsa simmetrik tenzorni
uchta mustaqil komponenta orqali ifodalangan ko'rinishga keltirish
mumkinligi aniqdir. Buni boshqacha ham aytish mumkin:
Koordinata o'qlarini aylantirib, simmetrik tenzorni diagonal ko'rinishga keltirish
mumkin:
(6.32)
Bu yangi yo'naltirilgan o'qlar inersiya bosh o'qlari deyiladi, , , lar esa bosh inertsiya momentlari deyiladi. Diagonal ko'rinishga
keltirishga geometrik ma'no ham berish mumkin. Quyidagi kvadratik
formani ko'raylik:
(6.33)
Ma’lumki, ixtiyoriy simmetrik matritsani diagonal ko'rinishga keltirish
mumkin va shu matritsa bilan bog'liq bo'lgan kvadratik formani
kanonik (ya’ni, faqat kvadratlardan iborat bo'lgan) ko'rinishga keltirish
mumkin. lkkinchi rang simmetrik tenzorini mana shunday matritsa
deb qarab, uni (6.32) diagonal formaga va u bilan bog'liq bo'lgan
(6.33) kvadratik formani kanonik formaga keltirish mumkin. Buning
Uchun koordinata o 'q iari ustida quyidagi ortogonal almashtirish bajarish kerak:
(6.34)
Natijada
(6.35)
Formula olinadi. Analitik geometryadan ma’lumki

Tenglama ellipsoidning tenglamasi, shu sababdan kvadratik forma


Bilan bog’liq bo’lgan figura ko’pincha inersiya ellipsoidi deb ataladi. Inersiya ellipsoidi.
Shunday ish bajarilgandan keyin aylanish kinetik energiyasi
(6.36).
Ko’rinishini oladi. Impuls momenti uchun ham (6.22) ning o’rniga soddaroq ifoda olinadi:
. (6.37)
Bosh inertsiya momentlarining ixtiyoriy biri boshqa ikkitasining yig’indisidan hech qachon katta bo’lishi mumkin emas- buni (6.36) ning dioganal elementlaridan ko’rish qiyin emas.
Agar bo’lsa bunday jism asimmetrik pirildoq deyiladi. bo’lsa simmetrik pirildoq deyiladi. Birinchi holda ellipsoidning uchala asosiy o’lchamlari har xil bo’ladi. Ikkinchi holda ellipsoidni x, y tekislik bilan kesilsa to’g’ri aylana oladi. Bu holda shu tekislikda x, y o’qlarini qanday tanlab olish ahamiyatga ega emas. Uchinchi holda ellipsoid sharga aylanadi, uchala o’qlarni qanday tanlab olish ahamiyatga ega emas.
Agar , bo’lsa bunday jism rotarator deyiladi.
Inertsiya tenzori o’zining qanday nuqtaga nisbatan aniqlanganligiga bog’liq bo’ladi. Inertsiya tenzorining yuqoridagi ta’rifi inertsiya markaziga nisbatan olingan ta’rif edi.agar koordinata boshi a vektorga siljitilsa: r`=r+a, yangi va eski tenzorlar orasidagi munosabat
(6.38).
Bo’ladi. Bu yerda - sistemaning to’liq massai. Bu munosabatni keltirib chiqarish uchun inertsiya markazining ta’rifi yetarli bo’ladi.